新教材2023_2024学年高中数学第3章圆锥曲线与方程培优课直线与椭圆的位置关系分层作业湘教版选择性必修第一册

培优课　直线与椭圆的位置关系

A级 必备知识基础练

1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为(　　)

A.1 B.1或2 C.2 D.0

2.直线y=x+1被椭圆=1截得的弦的中点的坐标是(　　)

A.() B.() 

C.(-) D.(-,-)

3.直线y=x+m与椭圆+y2=1交于A,B两点,若弦长|AB|=,则实数m的值为(　　)

A.± B.±1 C.± D.±2

4.(多选题)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:=1(a>b>0)截得的弦长为2 023,则下列直线被椭圆C截得的弦长一定为2 023的有(　　)

A.y=2x-3 B.y=2x+1

C.y=-2x-3 D.y=-2x+3

5.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的标准方程为　　　　　　　　. 

6.若P,Q是椭圆C:=1上的动点,则|PQ|的最大值为　　　　　. 

B级 关键能力提升练

7.已知椭圆=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为5,则b的值是(　　)

A.1 B. C. D.

8.若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

9.经过椭圆+y2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则等于　　　　　. 

10.已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,则直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为　　　　　. 

11.已知椭圆C:=1(a>b>0)的焦距是2,长轴长是4.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点F1(-,0)作斜率为的直线l交椭圆C于M,N两点,F2(,0)是椭圆的右焦点,求△F2MN的面积.

C级 学科素养创新练

12.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)已知直线l:x-y+2=0,椭圆C上是否存在一点,它到直线l的距离最大?最大距离是多少?

培优课　直线与椭圆的位置关系

1.C　因为直线过定点(3,-1)且<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.

2.C　联立消去y整理得3x2+4x-2=0.

设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),

则x1+x2=-,x0==-,y0=x0+1=,

故中点坐标为(-).

3.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),

联立整理可得3x2+4mx+2m2-2=0,

则x1+x2=-,x1x2=.

所以弦长|AB|=,由题意可得|AB|=,解得m=±1,故选B.

4.ACD　∵椭圆C:=1(a>b>0)关于原点、x轴、y轴对称,

直线y=2x+3关于原点、x轴、y轴对称的直线分别为y=2x-3,y=-2x-3,y=-2x+3,

∴选项A,C,D中的直线被椭圆C:=1(a>b>0)截得的弦长一定为2023,故选ACD.

5.=1　设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),则c=1.

因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以.

又b2=a2-c2,所以a2=4,b2=3,椭圆的标准方程为=1.

6.4　由于椭圆中长轴是最长的弦,所以|PQ|max=4.

7.D　由题意|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8.

∵|AF2|+|BF2|的最大值为5,

∴|AB|的最小值为3.

当且仅当AB⊥x轴时,|AB|取得最小值,此时两交点坐标为(-c,),(-c,-),

代入椭圆方程可得=1,利用c2=4-b2,0<b<2,解得b=.

8.B　依题意可得F(-1,0),设P(x,y),

则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为+y2=1,

所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,

故当x=-1时,|OP|2+|PF|2取最小值,最小值等于2.

9.-　依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1.

将y=x-1代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=.

所以两个交点坐标为(0,-1),(),所以=(0,-1)·()=-.

10.-9　易知直线l的斜率存在且不为0,

设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,

得xM==-,yM=kxM+b=,

故直线OM的斜率kOM==-,

则kOM·k=-9,所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为-9.

11.解(1)因为所以

所以椭圆C的标准方程为=1.

(2)由题意可知直线MN的方程为y=(x+),设M(x1,y1),N(x2,y2),

联立直线方程与椭圆方程可得5x2+8x+4=0,

所以x1+x2=-,x1x2=.

所以|MN|=.

又因为F2(,0)到直线MN的距离d=,

所以△F2MN的面积为S=.

12.解(1)由题意可得解得

所以椭圆的标准方程为=1.

(2)设平行于直线l的直线l'的方程为x-y+m=0.

联立消去y得3x2+4(x+m)2=12,

即7x2+8mx+4m2-12=0,

由Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=0,

解得m1=-或m2=.

结合图象(图略)可知当m1=-时,直线l':x-y-=0与椭圆的交点是椭圆C上到直线l的距离最远的点,此时直线l'与直线l间的距离为d=,

所以在椭圆C上存在点到直线l的距离最大,最大距离为.