高中数学第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆课时作业

3.1　椭圆

3.1.1　椭圆的标准方程

A级 必备知识基础练

1.若方程=1表示椭圆,则实数m的取值范围为(　　)

A.(0,1) B.(1,2) 

C.(0,2) D.(0,1)∪(1,2)

2.椭圆=1与y轴的一个交点为P,两个焦点为F1,F2,则△PF1F2的面积为(　　)

A.6 B.8 C.10 D.12

3.椭圆的焦距为8,且2a=10,则该椭圆的标准方程是(　　)

A.=1 

B.=1或=1

C.=1 

D.=1或=1

4.已知椭圆=1的一个焦点为(2,0),则这个椭圆的标准方程是(　　)

A.=1 B.=1

C.x2+=1 D.=1

5.椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为(　　)

A.± B.± C.± D.±

6.椭圆+y2=1的左、右焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=(　　)

A. B. C. D.4

7.(多选题)若椭圆=1(m>0)的焦距为2,则m的值是(　　)

A.3 B.15 C.5 D.1

8.若椭圆的焦点坐标为(±3,0),且椭圆经过点(4,0),则椭圆的标准方程为　　　　　　　. 

9.已知椭圆的两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.

B级 关键能力提升练

10.若动点M(x,y)满足方程=10,则动点M的轨迹方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

11.已知F1,F2是椭圆C:+y2=1的两个焦点,P为椭圆C上一点,且△PF1F2的面积为,则∠F1PF2=(　　)

A. B. C. D.

12.已知椭圆=1的焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则三角形F1PF2的面积为(　　)

A. B. C.2 D.4

13. 如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

14.已知点F为椭圆C1:=1的右焦点,点P为椭圆C1与圆C2:(x+2)2+y2=18的一个交点,则|PF|=(　　)

A.1 B. C.2 D.2

15.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,点M在C上,|MF1||MF2|的最大值为25,则a=　　　　　. 

16. 如图所示,F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的等边三角形,则b2=　　　　　. 

17.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+,|PF2|=2-.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求点P的坐标.

C级 学科素养创新练

18.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点为A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆=1上,则的值为　　　　　. 

3.1.1　椭圆的标准方程

1.D　方程=1表示椭圆,则

解得m的取值范围为(0,1)∪(1,2),故选D.

2.D　由椭圆方程可得c2=25-16=9,则|F1F2|=2c=6.设点P的纵坐标为yP,在椭圆=1中,令x=0,则|yP|=4,从而三角形的面积为S=×6×4=12.

3.B　由椭圆的焦距为8,且2a=10,可得a=5,c=4,则b==3,

所以椭圆方程为=1或=1.故选B.

4.D　椭圆=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的焦点在x轴上,且c=2,所以m2=2+4=6,所以椭圆的标准方程是=1.故选D.

5.D　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3.∵点P在椭圆上,∴=1,即y2=,∴y=±.∴点M的纵坐标为±.

6.C　由椭圆+y2=1,可知c=.设点P的纵坐标为yP,所以当x=-时,|PF1|=|yP|=.

又因为|PF1|+|PF2|=4,所以|PF2|=4-|PF1|=,故选C.

7.AC　椭圆=1(m>0)的焦距为2,当焦点在x轴时,=1,解得m=3,当焦点在y轴时,=1,解得m=5,故选AC.

8.=1　由题可知椭圆焦点在x轴上,故设椭圆方程为=1(a>b>0),则有解得

故椭圆的标准方程为=1.

9.解设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),焦点为F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).

∵F1A⊥F2A,∴=0.

又=(-4+c,3),=(-4-c,3),

∴(-4+c)(-4-c)+32=0,∴c2=25,即c=5.

∴F1(-5,0),F2(5,0).

∴2a=|AF1|+|AF2|==4.

∴a=2,

∴b2=a2-c2=(2)2-52=15.

故所求椭圆的标准方程为=1.

10.B　方程=10表示动点M(x,y)到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10,且10>2+2,由椭圆的定义可得动点M的轨迹是椭圆,且a=5,c=2,则b2=a2-c2=52-22=21.

因此椭圆的标准方程为=1.故选B.

11.D　(方法1)由已知a=2,b=1,c=,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,∴m2+2mn+n2=16.

在△PF1F2中,m2+n2-2mncos∠F1PF2=(2c)2,

∴16-2mn-2mncos∠F1PF2=12,

即mn+mncos∠F1PF2=2.

又mnsin∠F1PF2=,

∴=2.

∵∠F1PF2∈(0,π),∴∠F1PF2=.故选D.

(方法2)由椭圆C:+y2=1可知b2=1,

因此=b2tan=tan,且有∠F1PF2∈(0,π),故,∠F1PF2=.

12.C　由已知得2a=6,2c=2.

因为|PF1|=4,所以|PF2|=2.

由余弦定理得cos∠F1PF2==-,

因为∠F1PF2∈(0,π),所以∠F1PF2=.

则△F1PF2的面积×2×4×=2.

故选C.

13. C　由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',

∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',

∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF'.

在Rt△PFF'中,由勾股定理,

得|PF'|==8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,∴椭圆C的方程为=1.

14.B　由题意得F(2,0),左焦点为F1(-2,0),圆(x+2)2+y2=18的圆心坐标为(-2,0),半径为3,因此圆的圆心恰好为椭圆的左焦点.P为椭圆与圆的一个交点,根据椭圆和圆的定义可得|PF|+|PF1|=2a=4,|PF1|=3,所以|PF|=.

15.5　因为F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,点M在C上,所以|MF1|+|MF2|=2a,

所以|MF1||MF2|≤()2=a2,当且仅当|MF1|=|MF2|=a时,等号成立.

又因为|MF1||MF2|的最大值为25,所以a=5.

16.2　设等边三角形POF2的边长为c,则c2=,

解得c=2,从而|OF2|=|PF2|=2.连接PF1(图略),由|OF1|=|OF2|=|OP|知,PF1⊥PF2.

则|PF1|==2.

所以2a=|PF1|+|PF2|=2+2,即a=+1.

所以b2=a2-c2=(+1)2-4=2.

17.解(1)设椭圆C的焦距为2c,由椭圆的定义有a==2.

在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos120°=(2+)2+(2-)2+(2+)(2-)=15,即4c2=15,得c2=,c=,b2=a2-c2=4-,故椭圆C的标准方程为=1.

(2)设点P的坐标为(m,n)(m>0),

△PF1F2的面积|PF1|·|PF2|sin120°=×(2+)×(2-)×.

又由×2c|n|=|n|,有,解得n=±.

将点P的坐标代入椭圆C的方程有=1,解得m=(负值舍去).

故点P的坐标为()或(,-).

18.　由椭圆的标准方程可知,椭圆的焦点在x轴上,且c==4,2a=10,

∴A(-4,0)和C(4,0)分别是椭圆的左、右焦点.

∵点B在椭圆上,∴|BA|+|BC|=2a=10,

∴.