【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题05　立体几何测试卷(二)（教师版）

这是一份【备战2024中职高考】中职数学 二轮复习 专题模拟卷专题05　立体几何测试卷(二)（教师版），共13页。试卷主要包含了单项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题(本大题共20小题，1～12每小题2分，13～20每小题3分，共48分)
1．a、b、c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是( )
A．相交 B．共面
C．异面或相交 D．相交，平行，异面都可能
C 【解析】 若b∥c，由a∥b得，a∥c与a与c相交矛盾．
2．正方体的一条对角线与正方体的所有棱可组成______对异面直线．( )
A．12 B．6 C．3 D．2
B 【解析】 正方体的一条对角线与六条棱有公共点，则可组成的异面直线为12－6＝6.故选B.
3．空间三条直线相互平行，由每两条平行线确定一个平面，则可确定平面的个数为( )
A．3 B．1或2 C．1或3 D．2或3
C 【解析】 三条直线在一个平面时确定一个平面，三条直线不在同一个平面时确定三个平面．
4．已知在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝BD，则四边形EFGH的形状是( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
B 【解析】 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则EFGH是平行四边形．由AC＝BD可知EFGH的邻边相等，故四边形EFGH是菱形．
5．下列结论正确的是( )
A．直线a平行于平面α，则a平行于平面α内的所有直线
B．过直线a外一点可以作无数条直线与a异面
C．若直线a、b与平面α所成角相等，则a平行于b
D．两条不平行直线确定一个平面
B 【解析】 选项A中，a与平面α内的线可能异面，C选项中a与b相交，异面都有可能．D选项中，两条直线可能异面．
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BD异面且成60°角的面对角线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
第6题图
A 【解析】 它们分别是AB1，CD1，B1C，AD1.
7．已知a、b是异面直线，下面结论中不正确的是( )
A．存在着无数个平面与a、b都平行 B．存在着一个平面与a、b等距离
C．存在着一个平面与a、b都垂直 D．存在着无数条直线与a、b都垂直
C 【解析】 根据a、b是异面直线，故只有C项说法错误．
8．边长为a的正三角形，以其一条高为轴旋转，则所得旋转体的表面积为( )
A.eq \f(1,4)πa2 B.eq \f(3,4)πa2 C.eq \f(1,2)πa2 D.eq \f(1,8)πa2
B 【解析】 由题意可得，所得旋转体为圆锥，底面半径为eq \f(a,2)，高为eq \f(\r(3)a,2)，母线长为a.S表＝π×eq \f(a,2)×a＋π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2＝eq \f(3,4)πa2.故选B.
9．如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD
第9题图
C 【解析】 ∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BC，∵BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，同理，PD⊥CD，∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BD，∴A、B、D正确，故选C.
10．下列命题正确的是( )
A．若平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直，则平面α⊥平面β
B．过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直
C．若直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥β
D．垂直于同一平面的两个平面平行
C 【解析】 可利用正方体的棱和面举出选项A、B、D反例．
11．圆柱的高为20cm，若将圆柱截成两个圆柱，表面积增加40cm2，则原来圆柱的体积是( )
A．800cm3 B．600cm3 C．400cm3 D．200cm3
C 【解析】 增加的表面积是两个底面的面积，即S底＝20，所以，V＝20×20＝400(cm3)，故选C.
12．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列正确的是( )
①BM与ED平行； ②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°的角； ④DM与BN垂直．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
第12题图
C 【解析】 此展开图复原为正方体如图所示，由此可知，③④正确，故选C.
第12题图
13．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长均相等，则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值等于( )
A.eq \f(\r(10),4) B.eq \f(\r(6),6) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \f(\r(10),2)
A 【解析】 设BC中点为E，则AE⊥BC，AE⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AE⊥面BB1C1，∴AE⊥平面BB1C1C，∴AC1在平面BB1C1C上射影EC1，∴∠AC1E是所求角，设AB＝2，则AC1＝2eq \r(2)，C1E＝eq \r(22＋12)＝5，cs∠AC1E＝eq \f(C1E,AC1)＝eq \f(\r(5),2\r(2))＝eq \f(\r(10),4).
第13题图
14．二面角α­l­β的棱l上有两点A、B，过A、B分别在二面角的两个面所在的平面内作棱的垂线a，b，则异面直线a，b所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．既不相等又不互补
C 【解析】 当二面角是锐角或直角时异面直线a，b所成的角与它相等，当二面角是钝角时两者互补．
15．将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2 C．18a2 D．24a2
B 【解析】 小正方体的边长为eq \f(a,3)，增加的面积为27×6×(eq \f(a,3))2－6a2＝12a2，∴增加面积12a2.
16．正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．15°
C 【解析】 如图，设底边的长为a，斜高为h，高为PO，则eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)a2×2＝3×eq \f(1,2)×a×h，得h＝eq \f(\r(3),3)a，OD＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3)a,6)，则csα＝eq \f(OD,PD)＝eq \f(1,2)，故所成的角为60°.
第16题图
17．三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO＝2eq \r(14)，则P到这三个平面的距离分别是( )
A．1，2，3 B．2，4，6 C．1，4，6 D．3，6，9
B 【解析】 构造一个长方体，设PA＝k，PB＝2k，PC＝3k，则OP＝eq \r(PA2＋PB2＋PC2)＝eq \r(14)k＝2eq \r(14)，∴k＝2∴PA＝2，PB＝4，PC＝6.
第17题图
18．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A．180° B．150° C．120° D．240°
A 【解析】 设底面半径为r，母线长为l，由已知得S全＝3S底，即πrl＋πr2＝3πr2，解得l＝2r.圆心角θ＝eq \f(2πr,l)＝π.
19．若正三棱锥的斜高是高的eq \f(2\r(3),3)倍，则棱锥的侧面积是底面积的( )
A.eq \f(2,3)倍 B．2倍 C.eq \f(8,3)倍 D．3倍
B 【解析】 设斜高为h′，高为h，则eq \f(h,h′)＝eq \f(\r(3),2)，则底面边长为eq \r(3)h′，故eq \f(S底,S侧)＝eq \f(\f(\r(3),4)×\r(3)h′2,3×\f(1,2)×\r(3)h′2)＝eq \f(1,2)，即侧面积是底面积的2倍．
20．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的体积比原来增加几倍( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．2eq \r(2)－1
D 【解析】 球的面积扩大到原来2倍，则半径是原来eq \r(2)倍，体积是原来(eq \r(2))3＝2eq \r(2)倍，比原来增加2eq \r(2)－1倍．
二、 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
21．a，b是异面直线，则过a且与b平行的平面有____________个．
一 【解析】 过a上任意一点作b的平行线l，该平行线与a相交，可以确定一个平面．
设a、b、c表示直线，给出四个论断：①a⊥b②b⊥c③a⊥c④a∥c，以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题____________．
若a⊥b，a∥c，则b⊥c.或b⊥c，a∥c则a⊥b. 【解析】 ③不能选，④只能作条件．
23．一个正四棱锥，它的底面边长是2cm，斜高也是2cm，它的体积是________________．
eq \f(4\r(3),3)cm3 【解析】 如图，PE＝2，OE＝1，则PO＝eq \r(3)，所以，V＝eq \f(1,3)·22·eq \r(3)＝eq \f(4\r(3),3).
第23题图
24．圆锥的轴截面面积是6，体积是4π，则它的底面半径为__________．
2 【解析】 由rh＝6，eq \f(1,3)πr2h＝4π可得，r＝2.
25.正四棱柱的对角线和侧面所成角为30°，底面边长为a，则其体积为__________．
eq \r(2)a3 【解析】 如图，AB＝a，∠AC1B＝30°，∠ABC1＝90°，所以，BC＝eq \r(3)a，由勾股定定可得，CC1＝eq \r(2)a，所以，V＝a2·eq \r(2)a＝eq \r(2)a3.
第25题图
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是AA1的中点，E是BB1上一点，则PE＋EC的最小值为____________．
eq \f(\r(17),2) 【解析】 如图，由正方体的每条棱为1，可得PE＋EC＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(17),2).
第26题图
27．如图，正方体棱长为a，则球的半径为______________．
第27题图
eq \f(\r(3),2)a. 【解析】 如图，OA即为球的半径．OO1＝eq \f(a,2)，AO1＝eq \f(\r(2),2)a，∠OO1A＝90°，所以，OA＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq \f(\r(3),2)a.
第27题图
三、解答题(本大题共9小题，共74分)
28．(6分)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4cm，BC＝2cm，AA1＝1cm.
求(1)A1B与CC1所成角的正切值；
(2)三棱锥B－A1DD1的体积
第28题图
.【解】 (1)因为BB1∥CC1，所以，∠A1BB1是A1B与CC1所成角，tan∠A1BB1＝4；
(2)V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×2×4＝eq \f(4,3).
29．(7分)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求正四棱锥P－ABCD的体积V.
第29题图
【解】 设O为正方形ABCD中心，则PO⊥平面ABCD，PA在平面ABCD上射影是AO，∠PAO是PA与平面ABCD所成的角，为60°，∴AO＝1，PO＝eq \r(3)，AB＝eq \r(2)，V＝eq \f(1,3)sh＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \f(2\r(3),3).
第29题图
30．(8分)如图，已知三棱锥P－ABC的底面是边长为6的正三角形，侧棱PA⊥底面ABC，且PA＝3eq \r(3).求：
第30题图
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)侧面PBC与底面ABC所成的二面角的大小．
【解】 (1)VPABC＝eq \f(1,3)S底面·h＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×6×6×sin60°×3eq \r(3)＝27.
(2)∵PA⊥底面ABC，AB＝AC，∴△PAB≌△PAC，∴PB＝PC，取BC的中点D，连接PD，AD，则AD⊥BC，PD⊥BC，故∠PDA为侧面PBC与底面ABC所成的二面角的平面角，在Rt△PDA中，AD＝3eq \r(3)，PD＝3eq \r(6)，PA＝3eq \r(3)，∴∠PDA＝45°即为所求二面角大小．
31．(8分)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都是a，M是侧棱CC1的中点．求：
第31题图
(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的全面积；
(2)二面角M－AB－C的大小．
【解】 (1)S全＝3a2＋2×eq \f(\r(3),4)a2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(\r(3),2)))a2.
(2)取AB的中点N，连接MN、CN，∵MC⊥AC，MC⊥BC，AC＝BC，∴MA＝MB，∵N为AB的中点，∴MN⊥AB，CN⊥AB，∴∠MNC为二面角MABC的平面角，∵在△ABC中可得CN＝eq \f(\r(3),2)a，CM＝eq \f(1,2)CC1＝eq \f(1,2)a，∴在Rt△MCN中，tan∠MNC＝eq \f(MC,CN)＝eq \f(\r(3),3)，∴∠MNC＝30°，即二面角M－AB－C为30°.
32.(9分)如图，过圆锥的顶点S作截面SAB与底面成60°的二面角，且A，B分底面圆周为1∶2两段弧，已知截面SAB面积为8eq \r(3).
第32题图
(1)求圆锥的侧面积；
(2)求底面圆心到截面SAB的距离．
【解】 如图，取AB中点D，连接OD，SD，则∠SDO＝60°.设半径为r，因为A，B分底面圆周为1∶2两段弧，所以，∠AOB＝120°，则OD＝eq \f(r,2)，SD＝r，AD＝eq \f(\r(3)r,2)，所以，eq \f(\r(3)r,2)·r＝8eq \r(3)，r＝4.可求得SO＝2eq \r(3)，设底面圆心到截面SAB的距离为h，由V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×4×sin120°×2eq \r(3)＝eq \f(1,3)×8eq \r(3)×h，得h＝eq \r(3).
第32题图
33．(9分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，沿对角线BD对折成二面角A－BD－C，使A在平面BCD上的射影E在BC上．
第33题图
(1)求异面直线AB与CD所成的角；
(2)求二面角C－AB－D的正弦值．
【解】 (1)因为A在平面BCD上的射影E在BC上，所以，AE⊥平面BCD，所以，AE⊥CD.因为BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，所以，CD⊥AB，即异面直线AB与CD所成的角为90°；(2)因为CD⊥平面ABC，DA⊥BA，由三垂线定理可知，AC⊥AB，所以，∠CAD是二面角C－AB－D的平面角．在Rt△DCA中，∠DCA＝90°，CD＝3，AD＝4，所以，sin∠CAD＝eq \f(3,4)，即二面角C－AB－D的正弦值为eq \f(3,4).
34．(9分)若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的圆锥形器皿中，此圆锥形器皿的高度至少要多少厘米？
【解】 如图，设圆锥的高为hcm，因为轴截面为正三角形，所以底面半径为eq \f(h,\r(3))cm，根据体积相等有，eq \f(1,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,\r(3))))2h＝π×22×6，解得：h＝6cm.答：此圆锥形器皿的高度至少要6cm.
第34题图
35．(9分)圆柱的轴截面对角线为定值，为了使圆柱的侧面积最大，求轴截面对角线与底面所成角的正切值．
【解】 如图，设圆柱底面半径为r，高为h，由题意可得轴截面对角线DB＝eq \r(4r2＋h2)为定值，即4r2＋h2为定值．侧面积S＝2πrh≤πeq \f(4r2＋h2,2)，当且仅当2r＝h时，侧面积最大．轴截面对角线与底面所成角为∠DBA，此时，tan∠DBA＝eq \f(h,2r)＝1.
第35题图
36．(9分)如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
(2)在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为eq \r(2)，若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．
第36题图
【解】 (1)如图(1)，取CD中点F，连接EF，AF，则EF∥PC，EF＝eq \f(1,2)PC＝eq \f(\r(6),2)，∠AEF是异面直线AE与PC所成的角．因为AE＝eq \f(\r(5),2)，AF＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(17),2)，所以，在△AEF中，cs∠AEF＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(17),2)))2,2×\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝－eq \f(\r(30),10)；
(2)如图(2)，假设点G存在，BG＝x，则AG＝eq \r(x2＋1)，由VD－PAG＝VP－AGD得，eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(x2＋1)×1×eq \r(2)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×1，即eq \r(x2＋1)＝eq \r(2)，所以x2＝1，因为0 图(1) 图(2)