数学必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试优秀课堂检测

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题型一 任意角、角度制与弧度制的概念
【例1】下列说法中错误的是（ ）
A．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系
B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，一定等于弧度
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
【答案】D
【解析】依据弧度的意义可知A正确；
1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确；
根据弧度的定义，一定等于弧度，C正确；
根据角度制与弧度制的定义可知，角的大小与圆的半径长短无关，
而是与弧长和半径的比值有关，所以D错误．故选：D．
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中弧度的圆心角比小圆中弧度的圆心角大
C．所有圆心角为弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
【答案】A
【解析】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；
对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；
对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；
对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
【变式1-2】下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；
相等的角终边一定相同；所以B正确；
小于的角是锐角可以是负角，C错；
第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．故选：B.
【变式1-3】下列说法正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．第二象限角是钝角
C．第一象限角是锐角 D．第四象限角是负角
【答案】A
【解析】锐角大于而小于，是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，
第二象限角不都是钝角，第四象限角有正角有负角．只有A正确．故选：A．
题型二 求终边相同的角
【例2】下列各角中，与终边相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】与终边相同的角为，
当时，，
当时，，
所以，的终边与的终边相同．故选：D.
【变式2-1】与角的终边相同的角可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
所以角的终边与角的终边相同，
所以与角的终边相同的角可表示为.故选：C
【变式2-2】若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当取偶数时，，，
故角的终边在第一象限.
当取奇数时，，，
故角的终边在第三象限.故选：C.
【变式2-3】如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.
（2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为
.
题型三 确定n分角与n倍角的象限
【例3】若是第二象限的角，则是（ ）
A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角
C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角
【答案】A
【解析】是第二象限角，
，
，
当时，，在第一象限；
当时，，在第三象限；
是第一或三象限角．故选：A．
【变式3-1】若是钝角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】，，,在第四象限.故选：D
【变式3-2】（多选）若是第二象限的角，则的终边所在位置可能是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABD
【解析】是第二象限的角，则，，
，，
当时，是第一象限角，
当时，是第二象限角，
当时，是第四象限角，故选：ABD．
【变式3-3】（多选）若是第三象限的角，则可能是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】AC
【解析】由于是第三象限的角，故，
所以，
所以.
当为偶数时，为第一象限角；
当为奇数时，为第三象限角.
所以可能是第一象限角，也可能是第三象限角. 故选：AC.
【变式3-4】的终边在第三象限，则的终边可能在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴
【答案】C
【解析】由于的终边在第三象限，则，
所以，，
因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴.故选：C.
题型四 扇形的弧长、面积计算
【例4】已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，扇形的半径为，
所以扇形面积为.故选：B
【变式4-1】已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．1或5
【答案】C
【解析】设扇形的弧长为，半径为，所以，
解得或，
所以圆心角的弧度数是或.故选：C
【变式4-2】如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设，，，，，
而，，即是的中点，
，，
.故选：C
【变式4-3】已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
（1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
（2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【答案】（1）；（2）取得最大值25，此时
【解析】（1）由题意得，解得(舍去)，．
所以扇形圆心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以当时，取得最大值25，
,解得.
当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.
题型五 sina、csa、tana知一求二
【例5】若为第三象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，.故选：D
【变式5-1】若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，且为第四象限角，
所以，
.故选：D
【变式5-2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
则可解得，所以.故选：A.
【变式5-3】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，结合可得，
因为，所以.故选：B
题型六 正、余弦齐次式的应用
【例6】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故选：A．
【变式6-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，
原式
.故选：A.
【变式6-2】已知，则____________.（可用对数符号作答）
【答案】
【解析】∵，∴，
又，.
故答案为：
【变式6-3】已知，则__________．
【答案】2
【解析】因为，
所以，又因为，
所以，
所以，
所以，即，
所以或（舍）．
故答案为：2.
题型七 sinacsa、sina±csa知一求二
【例7】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
解得：.故选：A
【变式7-1】设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，，
与异号．而已知，所以，．
因为，所以取．故选：C.
【变式7-2】已知是三角形的一个内角，且，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由，将两边平方得，
而，故为钝角.故选：B.
【变式7-3】已知关于的方程的两个根为，，，求：
（1）的值；
（2）方程的两根及此时的值．
【答案】（1）；（2）两根分别为，，或
【解析】（1）.
（2）由（1）得，
所以，解得，
所以方程的两根为，
又因为，
所以，此时；或，此时．
题型八 利用诱导公式求值化简
【例8】的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．故选：B
【变式8-1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
【变式8-2】已知，则______．
【答案】
【解析】由题意得：∵，
∴．
【变式8-3】已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵角的终边经过点，
∴，，
∴.
（2）由（1）知：，，
∴，
∴
.
题型九 解三角函数不等式
【例9】试求关于x的不等式
【答案】或.
【解析】作出正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象，作出直线y＝和y＝，如图所示．
由图可知，在[0，2π]上当所以原不等式的解集为或.
【变式9-1】求不等式在的解集．
【答案】
【解析】因函数在R上单调递减，则，
即，
作出函数在区间上的图象，如图：
观察图形知：，由得，
所以不等式在的解集为.
【变式9-2】函数 的定义域是 .
【答案】
【解析】由函数 ，则，即，
解得，
所以函数的定义域是，
故答案为：
【变式9-3】已知，若，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由题，当时，原不等式可化为，解得，
当时，由原不等式可得，解得，
综上.
题型十 三角函数的性质及应用
【例10】数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，要求函数的单调减区间，
即求函数的单调增区间.
令，
所以.故选：A.
【变式10-1】设函数，，若，函数是偶函数，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【解析】因为是偶函数，
所以，.，
又，所以或.故选：C.
【变式10-2】已知函数，且，，则______．
【答案】
【解析】，令，得，
又，所以函数的图象关于直线对称，即．
因为，所以，，
所以，所以．
故答案为：
【变式10-3】若函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则______．
【答案】
【解析】因为，
且函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，
所以，函数的最小正周期，所以，则，
因此，.
题型十一 三角函数值域的求法
【例11】函数在区间的值域为（ ）
A．[，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]
【答案】C
【解析】当时，，，，故选：C
【变式11-1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，
设，，则，
由二次函数的图像及性质可知，
所以的值域为，故选：C.
【变式11-2】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设,因为，所以，
因为正切函数在上为单调递增函数，且,
所以．
∴函数的值域为，故选：A．
【变式11-3】函数，的值域为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
，
则当时，，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
题型十二 三角恒等变换求角与求值
【例12】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以,故选：A.
【变式12-1】已知，均为锐角，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为锐角，且，
所以，，
于是，
又为锐角，所以.故选：C.
【变式12-2】求下列各式的值．
（1）； （2）； （3）； （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
【变式12-3】求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）
.
（2）
（3）
题型十三 三角函数图象变换及应用
【例13】要得到函数的图像，需（ ）
A．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．将函数图像上所有点向左平移个单位长度
D．将函数图像上所有点向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】对于A，将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图像，错误；
对于B，将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图像，错误；
对于C，将图像上所有点向左平移个单位长度后，
得到的图像，错误；
对于D，将图像上所有点向左平移个单位长度后，
得到的图像，正确.故选:D.
【变式13-1】为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】因为，
将其图象上所有的点向右平移个单位长度，
得到函数的图象.A，B，C都不满足.故选：D
【变式13-2】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，得的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
所得图像的函数解析式是．故选：C．
【变式13-3】已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,的周期为,
将的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，
是周期的整数倍，，，
，的最小值等于.故选：B
【变式13-4】已知函数的图像如图.
（1）根据图像，求的表达式及严格增区间；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图像，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围.
【答案】（1），增区间为；（2）[-1,2].
【解析】（1）根据函数的图象，可得，
，所以，，
由五点法作图，可得，
，故，
令，求得，Z，
的单调递增区间，Z．
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象，
把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，
得到的图象，
由在上有解，即在上有解，
因为，，所以，
所以的取值范围为．
题型十四 三角函数实际应用
【例14】阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ）
A． B．π C． D．2π
【答案】B
【解析】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：
所以，则，可得.故选：B
【变式14-1】某游乐场的摩天轮示意图如图所示，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h（单位：米）与时间（单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟，则1号座舱与地面的距离h与时间的函数关系的解析式为___________；
【答案】
【解析】设函数解析式为：，
因为最小正周期，所以，
的最大值为62，最小值为2，所以，
摩天轮正中心离地面32米，所以，
当时，，所以，.
所以解析式为：.
故答案为：.
【变式14-2】某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：．
（1）求实验室这一天上午8时的温度；
（2）求实验室这一天的最大温差．
【答案】（1）10℃；；（2）4℃．
【解析】（1）.
故实验室上午8时的温度为10℃．
（2），
因为，所以，．
当时，；当时，，
故，于是在上取得最大值12，取得最小值8．
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．
【变式14-3】某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据：
一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．
（1）若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；
（2）如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？
【答案】（1）函数模型更好，函数解析式为
（2）当与时，船能够安全进港，停留的时间最多不能超过16h.
【解析】（1）函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系.
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，
该曲线可近似地看成正弦函数的图像.
从拟合曲线知，函数在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，
此为半个周期，函数的最小正周期为12，因此.
又当时，；当时，
，
所求函数的表达式为
（2）由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，
故在船舶航行时，水深应大于或等于7+4.5=11.5(m).令,
可得

取 ，则 ；取，则；
取时，（不符合题意，舍去).
当与时，船能够安全进港，
船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，
而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.0
3
6
9
12
15
18
21
24
10
13
9.9
7
10
13
9.9
7
10