人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试优秀同步测试题

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题型一 指数与对数混合运算
【例1】计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1；（2）3
【解析】（1）原式．
（2）原式.
【变式1-1】化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）,
（2）,
（3）方法一（从外向里化简）
．
方法二（从里向外化简）
．
【变式1-2】计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）0；（2）3；（3）1
【解析】（1）方法一：（直接运算）原式．
方法二：（拆项后运算）原式
．
（2）原式．
（3）原式
．
【变式1-3】（1）；
（2）．
【答案】（1）2；（2）4.
【解析】（1）原式．
（2）原式
．
【变式1-4】解关于的方程.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）即，
令（），原方程可化为，
解得（舍）或，
∴，∴，即.
∴原方程的解为.
（2）原方程中需满足，即，
∵
∴
∴，
∴即，
解得（舍）或
∴原方程的解为.
题型二 指数运算中的条件求值
【例2】已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】．故选：B
【变式2-1】已知，，，且，则______．
【答案】4
【解析】因为，，
所以两式相乘得，则．
将代入，得，
所以．
故答案为：4
【变式2-2】若则（ ）
A．10 B．15 C． D．
【答案】C
【解析】因为
两边平方得，即，
所以原式，故选：C
【变式2-3】已知，，且，用表示．
【答案】
【解析】，
因为，所以，所以．
原式．
【变式2-4】）（1）已知，计算：；
（2）设，，求的值．
【答案】（1）4；（2）27
【解析】（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，即，所以，
所以．
（2）因为，所以，即．
又，所以，即，
由，解得，
故的值为27．
题型三 用已知对数表示其他对数
【例3】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以．故选：D.
【变式3-1】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
【变式3-2】已知，则下列能化简为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.故选：B.
【变式3-3】（多选）已知，，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由换底公式得：，，，
其中，
，
故
故选：ABD.
【变式3-4】）（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，
，，
；
（2），，
．
题型四 指数函数与对数函数定义
【例4】若函数（，且）是指数函数，则________．
【答案】8
【解析】因为函数是指数函数，
所以，所以．故答案为：8.
【变式4-1】已知函数是指数函数，且，则______．
【答案】
【解析】由题意，设（且），
因为，所以，又，所以，
所以，所以．
故答案为：
【变式4-2】下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数(且)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.
【变式4-3】若函数是对数函数，则 .
【答案】5
【解析】根据对数函数的定义有，解得，
故答案为：5．
【变式4-4】已知为对数函数，，则______．
【答案】1
【解析】设（，且），则，∴，即，
∴，
∴．
题型五 指数函数的图象与性质
【例5】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
【答案】C
【解析】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，
而.故选：C．
【变式5-1】已知函数，则函数的图像经过（ ）．
A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限
C．第二、四象限 D．第一、二象限
【答案】B
【解析】因为，所以函数的图象经过一、二象限，
又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到，
所以函数的图象经过二、三、四象限，如图，
故选：B
【变式5-2】函数且的图象可能是（ ）

A．①③ B．②④ C．④ D．①
【答案】C
【解析】当时，，函数的图象为过点的上升的曲线，
函数图象由函数向下平移个单位可得，故①②错误；
当时，，函数的图象为过点的下降的曲线，
函数图象由函数向下平移个单位可得，故④ 正确③错误；故选：C
【变式5-3】函数（且）与的图象有可能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，函数递增，恒过定点（0，1），递减，
当时，函数递减，恒过定点（0，1），递增，故选：D
【变式5-4】函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，
当时，是增函数，当时，的减函数，
且时，，即图象过点；
符合条件的图象是．故选：A．
题型六 对数函数的图象与性质
【例6】如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为_____________．
【答案】b＞a＞1＞d＞c
【解析】由对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图象可得：
lga2＞lgb2＞0＞lgc2＞lgd2，
即
∴b＞a＞1＞d＞c．
故答案为：b＞a＞1＞d＞c．
【变式6-1】已知函数的图象如图，则________．
【答案】8
【解析】由图像可得：过点和，
则有：，解得．
∴．
故答案为：８．
【变式6-2】已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由于函数的图像不经过第四象限，
所以，即，所以.故填：.
【变式6-3】画出函数的图象.
【答案】答案见解析．
【解析】按照流程：
1.图像向上平移1个单位；
2. 图像向右平移个单位．
【变式6-4】当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，故AD错误；
BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.故选：B
题型七 指对幂比较大小问题
【例7】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
；
，，，；
，，，，
综上，．故选：．
【变式7-1】设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得：
又
综上： 故选：A.
【变式7-2】已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数的性质，可得，
在同一坐标系中，画出函数和图象，如图所示，
结合图象，可得，所以.故选：D.
【变式7-3】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在上为增函数，且，
所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，即，
所以，故选：B.
【变式7-4】已知，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
，
，
所以．故选：A
题型八 指数函数与对数函数恒过定点
【例8】函数且的图象恒过定点，则点坐标为__________．
【答案】
【解析】令，即，则，所以定点为，
故答案为：
【变式8-1】若且，则函数的图像恒过定点（ ）
A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质，当时，则，
则函数过定点.故选：D.
【变式8-2】（多选）下列四个函数的图象都有恒过的定点，定点坐标相同的函数是（ ）
A．
B．且
C．且
D．
【答案】ABCD
【解析】对于A、函数可化为，
令，得，，故函数的图象恒过
对于B、当，即时，无论取何值，，故函数的图象恒过
对于C、令，则，，故函数的图象恒过；
对于D、令，则，，故函数的图象恒过．
综上，ABCD都符合题意.故选：ABCD
【变式8-3】已知函数(且）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则__________．
【答案】
【解析】由题意函数的图象恒过定点，故得，
又点也在函数的图象上，
，解得，
故答案为：．
【变式8-4】已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】函数过定点，所以，
将代入直线，得，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即，时“=”成立.故选：C.
题型九 指数函数与对数函数的定义域
【例9】函数的定义域为______．
【答案】
【解析】因为，
所以，则，即，解得，
故函数的定义域为．
【变式9-1】已知函数的定义域为，则_________．
【答案】
【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，
当时，由，可得，解得，合乎题意.
【变式9-2】函数的定义域为______．
【答案】
【解析】根据题意，由，解得且，因此定义域为.
故答案为：.
【变式9-3】函数的定义域为____________．
【答案】
【解析】依题意，解得，所以函数的定义域为；
故答案为：
【变式9-4】函数的定义域_____________
【答案】
【解析】要使函数有意义，
需满足，即，解得
故函数定义域为
题型十 指数函数与对数函数的值域
【例10】函数的值域是__________.
【答案】
【解析】因为指数函数在上为单调递减函数，
所以当x=-3时，函数有最大值为，
当x=1时，函数有最小值为.
所以值域为.
故答案为：
【变式10-1】函数在的值域为______．
【答案】
【解析】，
设，当时，，所以，
所以在的值域为．
故答案为：．
【变式10-2】函数，的最大值为______.
【答案】-2
【解析】因为 ，则，
由于 是减函数，所以，
故答案为：-2
【变式10-3】已知，，设函数，_____.
【答案】
【解析】因为，，，
由，，
所以=，
令，，则在上单调递增，
，，
；
故答案为：
【变式10-4】已知函数，则使有意义的x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域是，
由得．
所以使有意义的x的取值范围是．故选：B．
题型十一 利用单调性解指数与对数不等式
【例11】不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】由，得，
所以，即，
得，解得或，
所以不等式的解集为，
故答案为：
【变式11-1】关于的不等式的解集为______;
【答案】
【解析】由题知：，
整理得：，即，
解得，即.
故答案为：
【变式11-2】已知是在定义域上的单调函数，且对任意都满足：，则满足不等式的的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意得为正常数，
令，则，
且，解得，
原不等式为，可得，解得，
故答案为：
【变式11-3】如图，函数的图象为折线，则不等式的解为___________.
【答案】
【解析】因为经过，
所以时，令，
当时，可得，
所以的解集为.
故答案为：.
【变式11-4】解下列不等式：
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题且，且，得且，
，则，由，
，
化简得，
则或，解得或，
故不等式解集为.
（2）由题，
则或，解得.
故不等式解集为.
题型十二 判断函数零点所在的区间
【例12】已知函数，则下列区间中含零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知函数，
，
，
所以含零点的区间是，故选：A
【变式12-1】方程的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，显然单调递增，
又因为，，
由零点存在性定理可知：的零点所在区间为，
所以的根所在区间为.故选：B
【变式12-2】设函数的图象与的图象的交点横坐标为，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可令函数，则的零点即为，
又在上单调递增，，，
所以．故选：B．
【变式12-3】已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，，，
所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.
【变式12-4】设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为在单调递增，且有零点，
所以，解得，
故答案为：
题型十三 判断函数零点的个数
【例13】函数的零点个数为________．
【答案】1
【解析】解法一：令，可得方程，即，
故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．
由图可知，函数与的图象只有一个交点，
故函数只有一个零点，
故答案为：1
解法二：∵，
，
∴，
又的图象在上是不间断的，
∴在上必有零点，
又在上是单调递增的，
∴函数的零点有且只有一个，
故答案为：1
【变式13-1】函数的零点个数为________．
【答案】1
【解析】令，可得方程．
在同一平面直角坐标系内作出函数与的图象，如图，
由图可知，函数与的图象只有一个交点，
故方程只有一个解，
故函数只有一个零点．
故答案为：1.
【变式13-2】若偶函数在定义域内满足，且当时，；则的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．9 D．18
【答案】D
【解析】由可知偶函数周期为2，
故先画出时，的函数图象，
再分别利用偶函数关于轴对称、周期为2画出的函数图象，
则的零点个数即为的零点个数，
即的交点个数，易得在上有个交点，
故在定义域内有18个交点. 故选：D
【变式13-3】已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】令，，则，即，
分别作出函数和直线的图象，如图所示，
由图象可得有两个交点，横坐标设为，，
则，，
对于，分别作出函数和直线的图象，
如图所示，由图象可得，
当时，即方程有两个不相等的根，
当时，函数和直线有三个交点，
即方程有三个不相等的根，
综上可得的实根个数为，
即函数的零点个数是5.故选：B.
【变式13-4】已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】C
【解析】作出函数的图象，如图示，
则的图象上上关于坐标原点对称的点，
即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，
由图象可知，交点有2个，
所以函数的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．故选：．
题型十四 根据函数零点的个数求参数
【例14】（多选）已知函数，，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为，因为方程有两个不相等的实根，
则方程在和时各有一个实根，则，
当时，由得，可得；
当时，由可得，可得.
由题意可得，解得，故选：BC.
【变式14-1】若函数有两个零点，则整数a的值共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．17个
【答案】A
【解析】因为方程在R上有且仅有一解，
所以要使函数在R有两个零点,
只需在R上有且仅有一个解,同时该解不能为.
因为在R上值域为(0,+∞），因此要满足即有解,只需a>0.
又因为在R上单调递增,因此当a>0时, 在R上有且仅有一个解.
因为且a>0,所以整数a可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中当a=3或a=9时, .
因此满足条件的a为1,2,4,5,6,7,8共7个.故选：A
【变式14-2】已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，与有2个交点，
当时，递增且值域为；
当时，在上递减，上递增且值域为；
所以的图像如下：
由图知：时，有2个零点.故选：A
【变式14-3】已知函数（），．若，在上有三个零点，则 a 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①当时，因为，所以1为一个零点，
又，因为，所以，
所以，所以1为的一个零点．
②当时，，，
所以在上无零点．
③当时，，在上无零点，
所以．在上的零点个数是在上的零点个数，
因为，．
函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点，
所以，，又，
即时，在上有两个零点；
综上，a 的取值范围为.故选：A.
【变式14-4】已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，则或．
函数的图象如图所示，
因为关于的方程有个不同的实数根，
所以或，解得，
所以实数的取值范围为．故选：A