人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用课后作业题

这是一份人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用课后作业题，共40页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，是的外接圆，是的直径，若的半径为，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）已知正六边形的边心距为，则它的外接圆半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ）
A．2 cmB．cmC．1 cmD．3 cm
4．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，以O为圆心的圆与直线交于A、B两点．若恰为等边三角形，则劣弧的长度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在阳光下直立于地面上的电线杆AB，落在水平面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得米，米，斜坡CD的坡度为，在D处测电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且间距相等，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图在矩形中，若，，则矩形的面积 （结果保留根号）．
8．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）圆内接正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为 ．
9．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，，点是的中点．以为直径的交于点，连接．若是的切线，，，则阴影部分的面积是 ．
10．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，），D为线段AB上一动点（D点不与A、B重合），沿OD折叠，点A恰好落在△ABO的边上，则D点坐标是 ．
11．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧，交AC于点E，过点E作交AD于点F，则阴影部分的面积为 ．
12．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为射线AD上一动点．与关于EF所在直线对称，连接AC，分别交、EF于点M、N，．若与相似，则AF的长为 ．
13．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在直角坐标系xOy中，，，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为 ．
14．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）如图在菱形中，，则 ．
15．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E在边BC上，连接DE，将CDE沿DE折叠，若点C的对称点C'到AD的距离为1，则CE的长为 ．
16．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，将一个半径，圆心角的扇形绕点顺时针旋转得到扇形，若，则半径的中点运动的路径长为 cm．
17．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在中，．过点D作，垂足为E，则 ．
18．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，点O是半圆圆心，是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，过点D作于点C，则阴影部分的面积是 ．
19．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）如图，在△中，，,.则边的长为 .
三、解答题
20．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）在中，，、、分别是、、
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
21．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）综合与探究
问题背景：
(1)①如图1，在正方形中，E，N分别是，上的两点，连接，．若，则的值为____________．
②如图2，在矩形中，E是上的一点，N是上一点，连接．若，且，则的值为____________．
问题探究：
(2)如图3，在矩形中，E为边上的动点，F为边上的动点，M为边上的动点，连接，过点M作于点O，交边于点N．若，求的值．
问题拓展：
(3)如图4，把（2）中的条件改为“在四边形中，，点F与点C重合，点M与点B重合，”，请直接写出的值．
22．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线与，的交点分别为，．若，，求的长和的值．
23．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看成平行线）．如图，他们在河岸MN一侧的A处，观察到对岸P点处有一棵树，测得，向前走45m到达B处，测得．（，，，）
(1)求河的宽度（精确到1m）；
(2)据河道建造碑文记载，该河实际宽70m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
24．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．
25．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
26．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）
(1)问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
(2)类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若，则当△CBM是直角三角形时，求线段BE的长．
27．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在Rt中，，以AB为直径作，点D为上一点，且，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
(1)求证：CD是的切线：
(2)若，，求AC的长．
28．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
29．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF拼合在一个平面上，边AC与EF重合．AC＝6，当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．
(1)如图2，点E在边AC上，点F在射线CG上，连接CD，求证：CD平分∠ACG；
(2)若AE＝0时，CD＝__________；AE＝3时，CD＝__________；
(3)当点E从点A滑动到点C时，则点D运动的路径长是__________．
30．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，小明同学在民族广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为100m，从处看风筝的仰角为30°，小明的父母从处看风筝的仰角为50°．求、相距多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1m）
参考答案：
1．A
【分析】连接CD，根据题意得知△ACD为直角三角形，直到三边的长，∠D余弦值=邻边÷斜边，在⊙O内，∠B=∠D，所以余弦值也相等．
【详解】解：连接CD，
在△ACD中，∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
又∵AC=3，AD=5，
∴CD=4，
∴csD=，
又∵∠D=∠B，
∴csD=csB=，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．B
【分析】连接OA，OB，过O作OC⊥AB于C，根据正六边形的边心距的概念可知OC=，∠AOC=，根据三角函数可求．
【详解】解：连接OA，OB，过O作OC⊥AB于C，如图，
则OC=，∠AOC=，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的计算问题，解题的关键是转化为直角三角形的边角计算问题．
3．A
【分析】如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G，证明△ACE为等边三角形，根据y的最大值求得△ACE的边长，再在直角三角形ABG中用三角函数求得AB的长即可．
【详解】】解：如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G
由正六边形的对称性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE
∴△ACE为等边三角形，GE为AC边上的高线
∵动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动
∴当点P运动到点E时△ACP的面积y取最大值3
设AG=CG=a（cm），则AC=AE=CE=2a（cm），GE=a（cm）
∴2a×a÷2=3（cm）
∴a2=3
∴a=（cm）或a=-（舍）
∵正六边形的每个内角均为120°
∴∠ABG=×120°=60°
∴在Rt△ABG中，=sin60°
∴
∴AB=2（cm）
∴正六边形的边长为2cm
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，以图中y值的最大值为突破口，求得等边三角形△ACE的边长，是解题的关键．
4．A
【分析】作OP⊥CD于点P，设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，根据勾股定理求出，利用面积法求出，进而求出，根据弧长公式即可求解．
【详解】解：如图，作OP⊥CD于点P，设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，
当y=0时，，，当x=0时，，
∴点C、D的坐标分别为，
∴，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴劣孤的长度为．
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数、勾股定理、等腰直角三角形、弧长公式、利用三角函数解直角三角形等知识，综合性较强，理解相关知识并根据题意添加辅助线，求出OP的长是解题关键．
5．B
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在中，由坡度的定义和特殊锐角三角函数值，可求出，进而求得DN，CN，在中，求出AM，进而求出AB的值即可．
【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC交BC的延长线于点N，
∵斜坡CD的坡比为1：，即，即，
∴∠DCN=30°，
又∵CD=4，
∴，，
∴，
在Rt△AMD中，∠ADM=30°，，
∴，
∴米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形的应用，掌握仰角、坡度的定义是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键．
6．B
【分析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG=90°，AB=3，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG=∠α，从而可以得到tanα的值．
【详解】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得，GE∥BF，CE=EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵，
∴，
∵BC=2，
∴GB=1，
∵l3∥l4，
∴∠α=∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，
∴∠ABG=90°，
∴，
∴tanα的值为，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．
【分析】先根据矩形的性质得出，，再根据，求出，则矩形的面积．
【详解】解：矩形中，，
，，
，
，
，
矩形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、解直角三角形，属于基础题，解题的关键是掌握矩形的性质．
8．4
【分析】如图，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G，根据正六边形的特点可得∠AOG＝30°，解直角三角形求出AG即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G．
由正六边形的性质可得：∠AOB＝360°×＝60°，OA＝OB，
∴在Rt△AOG中，∠AOG＝30°，OG＝，
∴tan∠AOG＝，
∴AG＝2，
∴AB＝2AG＝4，
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查正六边形的性质，解直角三角形，熟知正六边形的性质是解题的关键．
9．
【分析】连接OE，由图形可知：S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD，通过圆的性质可以分别求出四边形OBED和扇形OBD的面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接OE，
∵O是AB的中点，
∴OB=AB=2，
在Rt△ABC中，BC=AB•tanA=，
∵E是BC的中点，
∴BE=BC=，S△OBE=×OB•BE=，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵OB=OD，OE=OE，
∴Rt△OBE≌Rt△ODE（HL），
∴S△ODE=S△OBE=，
∴S四边形OBED=，
∵∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴S扇形OBD=，
∴S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD=．
【点睛】本题主要考查了圆的综合性质，切线的性质，扇形的面积等知识，熟练掌握圆的综合性质，将不规则的阴影面积用规则面积表达出来是解决本题的关键．
10．（，）或（，-）
【分析】由点A和点B的坐标可得∠OAB=60°，∠OBA=30°；设点A关于OD的对称点为A′；根据题意，需要分两种情况：①当A′落在边AB上时，②当A′落在边OB上时．画出图形，根据背景图形即可求解．
【详解】解：∵A（3，0），B（0，-3），
∴OA=3，OB=3，
∴AB=6，
∵∠OAB=90°，AB=2OA，
∴∠ABO=30°，∠OAB=60°，
设点A关于OD的对称点为A′．根据题意，需要分两种情况：
①当A′落在边AB上时，如图，
由折叠可知，∠OAA′=∠OA′A=60°，∠ODA=∠ODA′=90°，
∴△OAA′是等边三角形，
∴AA′=3，
∴AD=AA′=，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴AE=AD=，DE=AD=，
∴OE=OA-AE=，
∵点D在第四象限，
∴D（，-）；
②当A′落在边OB上时，此时点A′在y轴上，如图，
由折叠可知，∠AOD=∠A′OD=45°，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∴∠DEO=∠AED=90°，∠EOD=∠EDO=45°，∠ADE=30°，
设AE=m，则OE=DE=m，
∴m+m=3，
解得m=，
∴m=，
∵点D在第四象限，
∴D（，），
故答案为：（，）或（，-）．
【点睛】本题在一次函数背景下考查折叠问题，涉及含30°的直角三角形，等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识，包括分类讨论思想等，关键是根据题意作出图形，解三角形．
11．
【分析】根据题意阴影部分面积可以用扇形DAE面积，减去△AFE的面积即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，AB=AE，
∴，且AC平分∠DAB，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴△AFE等腰三角形，
在△AFE中，过点F作FG⊥AE于点G，如图，
则有AE=2AG，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数解直角三角形、扇形面积的计算、阴影面积求法等相关知识点，根据题意找到等量关系，分步求解是解题的关键点．
12．1或3/3或1
【分析】分两种情形①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF．②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，分别求解即可．
【详解】解： ，

点E为AB的中点，

①当EM⊥AC时，

与关于EF所在直线对称，

△EMN∽△EAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠B=90°，
∴tan∠CAB=，
∴∠CAB=30°，
∴∠AEM=60°，
∴∠AEF=30°，
∴AF=AE•tan30°=，
②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，
同理可得：AF=AE•tan60°=3，
故答案为1或3．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．
【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式为，从而可设点的坐标为，过点作轴于点，从而可得，再根据正切的定义可得，然后根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后在中，利用正切三角函数建立方程，解方程求出的值，由此即可得出答案．
【详解】解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，
如图，过点作轴于点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
所以点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数、相似三角形的性质、正切等知识点，熟练掌握相似三角形的性质和待定系数法是解题关键．
14．2
【分析】根据余弦值可求出AD的长，从而可利用勾股定理可求出DE的长．再根据菱形四边相等即得出AB的长，从而可求出BE的长，最后根据正切的定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴在中，．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理和菱形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
15．或2
【分析】当点C'落在矩形ABCD的内部，过点C'作C'M⊥AD于点M，当点C'落在矩形ABCD的外部，过点C'作C'G⊥AD于点G，则C'G＝1，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】解：如图1，当点C'落在矩形ABCD的内部，过点C'作C'M⊥AD于点M，
∵将△CDE沿DE折叠，
∴AB＝DC＝C'D＝2，∠CDE＝∠C'DE，
∵C'M＝1，
∴，
∴∠C'DM＝30°，
∴∠C'DC＝60°，
∴∠CDE＝∠C'DC＝30°，
∴；
如图2，当点C'落在矩形ABCD的外部，过点C'作C'G⊥AD于点G，C'E与AD交于点H,则C'G＝1，
同理CD＝C'D＝2，
∴∠C'DG＝30°，
∴∠C'HD＝60°，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠C'HD＝∠HEC＝60°，
∴∠DEC＝∠HEC＝30°，
∴CE＝2．
综上可得，CE的长为或2．
故答案为：或2．．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角函数、勾股定理、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．
【分析】证明是等边三角形，求出，，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，．
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
半径的中点运动的路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点运动轨迹，弧长公式，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．
【分析】首先根据题目中的，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出．
【详解】∵，
∴△ADE为直角三角形，
又∵，
∴ ,
解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
,
又∵AB=12,
∴ ,
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图
在△EBC中：
S△EBC= ;
又∵S△EBC
∴ ,
解得,
在Rt△BFC中，
,
故填：．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，三角形的等面积法求一边上的高线，解题关键在于熟练掌握解直角三角形的计算，平行四边形的性质，勾股定理的计算和等面积法求一边上的高．
18．
【分析】求出半圆半径、OC、CD长，根据AD∥BO，得到 ，根据即可求解 ．
【详解】解：连接OA，
∵，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=8，∠AOB=60°
∵AD∥BO，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴在Rt△OCD中，，
∵AD∥BO，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD∥BO，得到 ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．
19．
【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题
【详解】过A作AD⊥BC于D点，
∵，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD=.
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题.
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用直角三角形的边角关系，进行计算即可解答；
（2）利用直角三角形的边角关系，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
21．(1)①1．②．
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质即可得出结果；
②根据矩形的性质及相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）过点A作交于点Q，过点B作交于点K．根据平行四边形的判定得出四边形和四边形是平行四边形，再由相似三角形的判定和性质即可求解；
（3）连接，过点B作于点H．由等边三角形的判定和性质得出，再由正弦函数及相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：①∵正方形，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：1；
②∵矩形，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：；
（2）如图，过点A作交于点Q，过点B作交于点K．
∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴四边形和四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）．
如图，连接，过点B作于点H．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查矩形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及正弦函数的定义，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
22．，
【分析】在中，根据，，求得的长，根据勾股定理求得，根据垂直平分线的性质得出，继而求得，在中，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴,
∴,
在中，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键．
23．(1)68m；
(2)误差，建议：多次测量求平均值或使用精确度更高的测量工具等．
【分析】（1）过点P作于点C，设，利用，可得再表示出，利用
求出x的值即可；
（2）求出误差．建议：多次测量求平均值或使用精确度更高的测量工具等．
【详解】（1）解：过点P作于点C，设，
∵，∴．
在中，，．
∴，即．
∴解得．
答：河的宽度约为68m．
（2）解：．
多次测量求平均值或使用精确度更高的测量工具等．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法．
24．(1)AD＝BE，AD⊥BE
(2)结论仍然成立，证明见解析
(3)P点运动轨迹的长度是π；P点到直线BC距离的最大值是
【分析】（1）分别求出AD、BE的长即可解答；
（2）先证明△BCE∽△ACD ，可得＝，∠CBO＝∠CAD即可解答；
（3）利用锐角三角函数可求∠EBC=30°，由弧长公式可求P点运动轨迹的长度，由直角三角形的性质可求P点到直线BC距离的最大值即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE
∵点D，E分别为AC，BC的中点
∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=
∴ AD＝BE．
故答案为：AD＝BE，AD⊥BE．
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
∵AC＝，BC＝1，CD＝，EC＝，
∴，＝，
∴，
∵△CDE绕点C顺时针旋转，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，∠CBO＝∠CAD，
∴AD＝BE，
∵∠CBO+∠BOC＝90°，
∴∠CAD+∠AOP＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴BE⊥AD．
（3）解：∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
如图3，取AB的中点G，作⊙G，以点C为圆心，CE为半径作⊙C，当BE是⊙C切线时，点P到BC的距离最大，过点P作PH⊥BC，交BC的延长线于H，连接GP，
∵BE是⊙C切线，
∴CE⊥BE，
∵＝，
∴∠EBC＝30°，
∴∠GBP＝30°，
∵GB＝GP，
∴∠GBP＝∠GPB＝30°，
∴∠BGP＝120°，
∵点P的运动轨迹为点C→点P→点C→点B→点C，
∴P点运动轨迹的长度＝×2＝π，
∵∠ABP＝30°，BP⊥AP，
∴AP＝AB＝1，BP＝AP＝，
∵∠CBP＝30°，PH⊥BH，
∴PH＝BP＝．
∴P点到直线BC距离的最大值．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、锐角三角函数等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
25．(1)25
(2)
【分析】（1）根据三角函数求出AB的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长即可；
（2）先运用勾股定理求出BC，再由于D为AB上的中点可得AD=BD=CD=25，设DE=x、EB=y，利用勾股定理列方程组即可求出x的值，最后运用正弦的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=30，
∴csA=，解得：AB=50.
∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，
∴CD==25．
（2）解：在Rt△ABC中，.
又∵AD=BD=CD=25，设DE=x，EB=y，则
在Rt△BDE中，①，
在Rt△BCE中，②，
联立①②，解得x=7
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，根据勾股定理列方程求解是解答本题的关键
26．(1)①1；②90°；
(2)，∠DBE=90°；
(3)BE=3+
【分析】（1）根据直角三角形的性质求得∠ABC=∠CED=45°，则有CA=CB，CD=CE，通过证明△ACD≌△BCE即可解答①和②；
（2）根据直角三角形的性质求得∠ABC=∠CED=30°，根据含30°直角三角形的性质和相似三角形的判定证明△ACD∽△BCE即可解答所求；
（3）由（2）知∠DBE=∠DCE=90°，BE=AD，由直角三角形的性质可证CM=BM= ，则有DE=2 ，利用勾股定理求解BE即可．
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，
∴∠ABC=∠CED=45°，∠ACD=∠BCE，
∴CA=CB，CD=CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAB=∠CBE=45°，
∴=1，∠DBE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，
故答案为：①1；②90°；
（2）解：，∠DBE=90°．理由为：
∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，，，
∴∠ABC=∠CED=30°，∠BCE=∠ACD，
∴BC=AC，CE=CD，
∴，又∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴，∠CBE=∠CAB=60°，
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°；
（3）解：由（2）知：∠DBE=∠DCE=90°，BE=AD，
∵AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，BC=AC=2，
∵点M为DE的中点，∠DBE=∠DCE=90°，
∴CM=BM=DE，
∴△CBM是等腰直角三角形，
∴BC=BM=2，解得：BM=，
∴DE=2BM=2，
在Rt△DBE中，DB=4-AD，BE=AD，
由勾股定理得：（2）2=（4-AD）2+（）2，
解得：AD=+1或AD=－+1(舍去)，
∴BE=AD=3+．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
27．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（4-r）2=r2+22，推出r=1.5．由，推出，可得CD=BC=3，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接OC．
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，
∴（4-r）2=r2+22，
∴r=1.5．
∵，
∴，
∴CD=BC=3，
在Rt△ABC中，．
∴AC的长为．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
28．（1）见解析；（2）
【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出．根据圆周角定理结合题意可知，即得出．由此易证，即得出．
（2）过点作，垂足为．根据题意可求出，结合（1）可知，即可求出．根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，最后再利用三角函数即可求出最后结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作，垂足为．
∵，，
∴．
由（1）知．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键．
29．(1)证明见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BG于点N，利用AAS证明DEM≌DFN，可得DM=DN，即可得到结论；
（2）当AE=0时，由ACD是等腰直角三角形，得AC=CD=6；从而可得CD的长度，当AE=3时，作EH⊥CD于点H，解ECD即可得到CD的长度；
（3）由（1）知，CD平分∠ACG，从而可确定点D在射线CD上运动，通过起点和终点可以分析出点D是往返型运动，再确定在运动过程中CD的最大值和最小值即可求解．
【详解】（1）证明：过D点作DM⊥AC于点M，DN⊥BG于点N，
∴∠DME＝∠DNF=90°，
∵∠ACG=90°，
∴∠MDN=90°，
∵DEF是等腰直角三角形
∴∠EDF=90°，DE=DF，
∴∠EDM+∠MDF=∠MDF+∠FDN=90°，
∴∠EDM=∠FDN，
∴DEM≌DFN （AAS）．
∴
∴点D在∠ACG的角平分线上．
∴CD是∠ACG的角平分线．
（2）当AE=0时，
∵AC=6，ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD=6，
∴CD=．
当AE=3时，作EH⊥CD交CD于点H，
CE=6-3=3，
∵∠ACD=45°，
∴EH=CH=CE=,
在EDF中，FE=6
∴DE=FE=，
在EDH中，EH=， DE =，
∴DH= ==，
∴CD=CH+DH=+=．
故答案为：，
（3）由（1）知，点D在∠ACG的平分线上运动，当点E从点A滑动到点C时，线段CD的长度先变长再变短．
当点E与点A重合时，CD最短=，
当DE⊥AC时，CD最长=6，
故点D的运动路径=）=．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，能够熟练全等三角形的判定和性质，以及分析动点的运动轨迹是解决本题的关键．
30．
【分析】如图，过作于，，在中，，求出的值，在中，，求出的值，然后根据计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴．
即A、C相距约．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于根据三角函数值求的值．