初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用综合训练题

这是一份初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用综合训练题，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022秋·河南郑州·九年级期末）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i=1：1.25．若，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（ ）（参考数据：）
A．9.0mB．12.8mC．13.1mD．22.7m
3．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为( )
A．6 mB．7 mC．8 mD．9 m
4．（2022秋·河南洛阳·九年级期末）如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米B．50米C．米D．50米
5．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（ ）
A．60 n mileB．60 n mileC．30 n mileD．30 n mile
6．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方米的点D处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米B．米C．米D．米
7．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米B．米C．米D．米
二、填空题
8．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°．已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计），则该公司的广告牌的高度为 米．（结果用根号表示）
9．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上移动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了 .（结果可含有三角函数）
10．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为 ．
三、解答题
11．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）为测量图中铁塔的高度，小明利用自制的测角仪在D点测得塔顶A的仰角为，从点C向正前方行进16米到F处，再用测角仪在E点测得塔顶A的仰角为．已知测角仪的高度为1.5米，求铁塔的高度．（参考数据：．）
12．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）在学校组织的实践活动中，某数学兴趣小组决定利用所学知识测量绿博园观光塔的高度．如图，小轩同学先在湖对面的广场A处放置做好的侧倾器，测得观光塔的塔尖F的仰角为37°，接下来小轩向前走之后到达B处，测得此时观光塔的塔尖F的仰角为45°，已知侧倾器的高度为，点A、B、E在同一直线上，求观光塔的高度（结果精确到，参考数据：，，，）
13．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）豫西大峡谷河流滩多水急，由大大小小99级瀑布，300多个潭组成，潭上飞珠溅玉，雾气腾腾．而这么多瀑布中，最大最美的叫做大淙潭瀑布，大淙潭瀑布落差40余米，宽10余米，不仅气势雄伟，而且声音恢宏，水石相击浪花飞溅，发出的雷鸣声似万马奔腾，声闻于数里之外．瀑布下有一个大深潭，潭中鱼龟虾蟹众多，潭碧水澈，风景迷人．某数学兴趣小组利用皮尺和测角仪进行相关测量，从D点看到瀑布顶端A的仰角为，看到瀑布底端B的俯角为．若瀑布底有一水潭，D点到水潭水平面的距离为，求瀑布顶端到水潭水平面的距离的长．（结果保留整数，参考数据）
14．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）环球国际金融中心（图中所示）是目前某市的标志性建筑．小明家住在金融中心附近的大厦（图中所示），他先在自己家的阳台（图中的点处）测得金融中心的顶端（点）的仰角为，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点处），测得点的仰角为，又点、、在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，根据上述信息求出环球国际金融中心（）的高度．（备用数据：，，）
15．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图所示，电视塔由信号发射塔和主楼两部分组成．某校九年级数学社团利用元旦假期进行校外实践活动，他们选定点为观测点，测得，信号发射塔顶的仰角为，发射塔底的仰角为．请你帮他们求出信号发射塔的高度（结果精确到．参考数据：，，）．
16．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）一个周末，小明在文化广场放风筝．如图是小明在放风筝某时段的示意图，他在处时的风筝线（整个过程中风筝线是拉直状态）与水平线构成角，线段表示小明身高1.7米．若小明在往后退6米到达点处时，风筝线与水平线构成角，此时风筝到达点E处，风筝移动的水平距离米，这一过程中风筝线的长度保持不变．（参考数据：）求：
(1)求的长度．
(2)风筝原来的高度．
17．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）驻马店新一代天气雷达楼位于驻马店市天中广场东南角，东临乐山大路，南临通达路．建筑造型采用简洁现代的建筑风格，在结构上通过层层退台的裙房处理及塔楼6个方向曲面变化，利用雷达独特的球形造型，充分体现了驻马店市腾飞的精神面貌，寓意驻马店市像一颗正在冉冉升起的“天中明珠”，屹立于中原大地．某数学活动小组到天中广场测量雷达楼的高度，如图，他们在测量点A处测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是28°，然后沿水平方向前进100米到达C点，此时测得雷达楼球形天线罩顶端B的仰角是45°；雷达楼底部D和A、C两点在同一水平线上．
(1)求雷达楼BD的高度（结果精确到1米，参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）；
(2)雷达楼BD的实际高度是110米，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议．
18．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）大楼AB是某地标志性建筑，如图所示，某校九年级数学社团为测量大楼AB的高度，一小组先在附近一楼房CD的底端C点，用高为1.5米的测杆CE在E处观测AB大楼顶端B处的仰角是72°，另一小组到该楼房顶端D点处观测AB大楼底部A处的俯角是30°，已知楼房CD高约是45米，根据以上观测数据求AB大楼的高（精确到0.1米）．（已知：≈1.73，sin72°≈0.951，cs72°≈0.034，tan72°≈3.08）
19．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，几名数学小组的成员为测量郑大钟楼的高度，在钟楼附近一高处平台D处测得钟楼顶端A处的仰角为45°．钟楼底部B处的俯角为22°．已知平台的高CD约为16米．请计算钟楼的高AB的值．（结果精确到1米；参考数据：，，）
20．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）上蔡奎星楼位于上蔡故城东垣上，始建于西汉年间，奎星楼共有三层，为砖木结构，拱角飞檐，六棱菱形．每层都有雄峙的翅角向上，顶层塔尖为独具风格的葫芦顶．每块砖和大门之上，雕刻着古代戏剧人物，与楼顶五颜六色的琉璃筒瓦、飞鸟走兽、怒龙奋爪相映辉．远远望去，雄武多彩．小刚站在奎星楼前C处测得奎星楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的居民楼上的D处测得奎星楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为1m，已知小强所在的高度DE为2m，根据测得的数据计算奎星楼AB的高度．（参考数据：，，）
21．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）2021年“五一”期间，修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面，这一始建于北魏天兴元年（公元398年）的建筑，在1600多年后，以崭新的面貌向世人展示历史印记，古代安阳“魁星取水”景观即将重现．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米）
22．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度（结果保留根号）；
（2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，）
23．（2022秋·河南新乡·九年级期末）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点与佛像的底部在同一水平线上．已知佛像头部为，在处测得佛像头顶部的仰角为，头底部的仰角为，求佛像的高度（结果精确到．参考数据：，，）
24．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货轮相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？
25．（2022秋·河南洛阳·九年级期末）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
26．（2022秋·河南濮阳·九年级期末）手机软件SmartMeasure（智能测量）是一款非常有创意且实用性很高的数码测距工具．如图，测量者AB使用SmartMeasure测量一棵大树的高，软件显示，，，请你根据数学知识求出大树的高．（结果可保留根号）（为了计算方便，约定，，）
参考答案：
1．C
【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度．
【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠DEF=,
∴,
由题可知，△DCE为直角三角形，
在Rt△DEC中，
即： ,
∴,
故选：C
【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形．
2．C
【分析】分别解直角三角形和，求出NE和MB的长度，作差即可．
【详解】解：∵，DF的坡度i=1：1.25，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴顶端M与顶端N的高度差为，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
3．D
【详解】过点A作AF⊥DE于点F，则四边形ABEF为矩形，
∴AF＝BE，EF＝AB＝3m．
设DE＝xm，在Rt△CDE中，CE＝＝xm．
在Rt△ABC中，∵＝，AB＝3m，
∴BC＝3m．
在Rt△AFD中，DF＝DE－EF＝(x－3) m，
∴AF＝＝(x－3) m．
∵AF＝BE＝BC＋CE，
∴(x－3)＝3＋x，
解得x＝9，
∴这棵树DE的高度为9m.
故选D.
点睛：此题主要考查了锐角三角形函数，解题关键是明确角的锐角三角函数值与直角三角形的边角关系，代入数据即可.
4．D
【分析】过B作BM⊥AD于M，先证∠BAD＝∠ABC，得BC＝AC＝100米，再在Rt△BCM中，由锐角三角函数定义求出BM即可．
【详解】解：过B作BM⊥AD于M，如图：
由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴BC＝AC＝100米，
∵BM⊥AD，
∴∠BMC＝90°，
在Rt△BCM中，sin∠BCM＝，
∴BM＝BC×sin∠BCM＝100×＝50，
即B点到河岸AD的距离为50米，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．B
【详解】如图，作PE⊥AB于E．
在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，
∴PE=AE=×60=n mile，
在Rt△PBE中，∵∠B=30°，
∴PB=2PE=n mile．
故选B．
6．C
【分析】根据题意可得米，，根据，即可求解．
【详解】解：∵米，米，
∴米，
∵，
∴，
∴（米），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题意找出已知边和已知角．
7．A
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（29-）
【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，进而可求出EF即BG的长；在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长；根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．
【详解】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，i=tan∠BAF=，
∴∠BAF=30°，
∴BF=AB=8，AF=，
∴BG=AF+AE=21+，
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=21+，
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=21，
∴DE=AE=，
∴CD=CG+GE-DE=21++8-=29-，
∴该公司的广告牌的高度为（29-）米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
9．6tan15°
【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可．
【详解】解：设木桩上升了xcm，
则tan15°，
解得：x＝6tan15°，
则木桩上升了6tan15°cm，
故答案为：6tan15°．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
10．
【分析】先在和中，求出、 ，再求长度之比即可．
【详解】解：在中，
∵，
即，
∴.
在中，
∵，，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正弦函数的定义及其应用．
11．铁塔的高度为49.5米
【分析】设米，在中，根据三角函数得出，得出，在中，根据三角函数得出，求出x的值，最后求出结果即可．
【详解】解：由题意，得米，米，，
设米，在中，，
∴（米），
∴米．
在中，，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的根，
∴（米）．
答：铁塔的高度为49.5米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，列出关于x的方程．
12．米
【分析】如图，延长交于点G，证明四边形是矩形，可得，，设，则，，在中，，，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，延长交于点G，
根据题意得：，，，，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，，
∴，
解得：，经检验符合题意，
即，
∴，
答：观光塔的高度为．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，熟练的利用仰角的含义结合三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键．
13．
【分析】过点D作于E，则四边形为矩形，在和中，根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：过点D作于E，则四边形为矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
则，
∴，
答：瀑布顶端到水潭水平面的距离的长约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
14．492米
【分析】构造所在的直角三角形，可得，那么减去60，即为；即为长，利用的正切值即可求得环球国际金融中心（）的高度．
【详解】过点Q作，交于点E，则
根据题意，得：，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设（米），则米，米，
∴米，
在 中，，
即．
解得：．
答：环球国际金融中心（）的高度约为492米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
15．
【分析】根据AC=DC，只需解直角三角形BCD，求得BC即可．
【详解】解：在中，
∴
在中，，
∴
∴
所以，信号发射塔的高度约为．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本思路是解题的关键．
16．(1)的长度为6米
(2)风筝原来的高度为20.9米
【分析】（1）设米，则米；米，根据三角函数可以表示出BE、AD，根据BE＝AD列出等量关系式，即可求出AF；
（2）根据CD所在位置，根据三角函数正切关系，可以得出结论．
【详解】（1）设米，则米；米
在中，（米）
在中，（米）
由题知，可得
解得
即的长度为6米
（2）在中，
米
∴米
答：风筝原来的高度为20.9米．
【点睛】本题考查三角函数的知识点，理解并灵活运用三角函数相关知识点是解题的关键．
17．(1)雷达楼的高度约为113米
(2)误差为3米，可多次测量，取测量数据的平均值
【分析】(1)先设BD= x米；根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，Rt△ADB和等腰Rt∆CDB，应利用其公共边BD以及等腰三角形的性质构造等量关系，解三角形可求得DB的值，即可求出答案；
(2)计算(1) 求得的结果与实际高度的差即可，建议多次测量，去测量数据的平均值．
【详解】（1）设BD= x米；
由题意得：．
∴
∴
∴=x
在中，
即
∴
所以雷达楼的高度约为113米．
（2）误差为：（米）
减少误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值．
【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
18．241.3米
【分析】过E作EF⊥AB于F，则四边形ACEF是矩形，得到EF=AC，AF=CE，利用三角函数在Rt△ACD中求出AC，在Rt△BEF中求出BF，即可得到AB大楼的高．
【详解】解：过E作EF⊥AB于F，则四边形ACEF是矩形，
∴EF=AC，AF=CE，
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，CD=45，
∴AC=，
在Rt△BEF中，∠BEF=72°，EF=AC=，
∴BF=EF∙tan72°=×3.08=239.78，
∴AB=AF+BF=239.78+1.5≈241.3(米)，
答：AB大楼的高为241.3米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造直角三角形解决问题是解题的关键．
19．钟楼的高AB的值约为56米．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得四边形DCBE是矩形，DE=BC，BE=DC=16米，再根据锐角三角函数可得DE的长，进而可得AB的值．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：
根据题意可得四边形DCBE是矩形，
∴DE=BC，BE=DC=16米，
在Rt△ADE中，
∵∠ADE=45°，
∴AE=DE，
∴AE=DE=BC，
在Rt△BDE中，∠BDE=22°，
∴（米），
∴AB=AE+BE=DE+CD=40+16=56（米）．
答：钟楼的高AB的值约为56米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，关键是借助仰角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．
20．魁星楼AB的高度约为12米
【分析】作DF⊥AB于F，证明四边形FBED为矩形，设，得到，， ，在中，利用正切定义解得，最后由解答．
【详解】解：作DF⊥AB于F，
设，
∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，
∴四边形FBED为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
由题意得，，
即，
解得，，
答：魁星楼AB的高度约为12m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及矩形的判断与方法、正切定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．魁星阁顶端距离地面的高度约为米．
【分析】推出四边形CFGD是矩形，于是得到，求得DE=AD，设AE=CE=x，得到BE，解直角三角形即可得到答案．
【详解】由题意知，，，四边形是矩形．
设米．
在中，
∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴，
即．解得．
∴（米）．
答：魁星阁顶端距离地面的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
22．（1）无人机的高度AC=；（2）AB的长度为243m．
【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函数即可求解；
（2）先证明四边形ABFC为矩形，在Rt△BFE中，求得EFm，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：CD=8(m)，
在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，
∴，
∴AC=120(m)，
答：无人机的高度AC=；
（2）根据题意得：DE=8(m)，
则CE= DE+CD=520(m)，
过点B作BF⊥CE于点F，
则四边形ABFC为矩形，
∴AB=FC，BF=AC=，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，
∴，
∴EF=(m)，
∴AB=FC=CE-EF=520-276.8243(m)，
答：AB的长度为243m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
23．17.4m
【分析】先设出佛像的高度为x，再求出AD=BD，最后利用三角函数关系式得到关于x的分式方程，解分式方程并检验即可．
【详解】解：设佛像的高度为xm，
∵∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD=x，
∵佛像头部为，
∴CD=x-4，
∵∠DAC=37.5°，
∴tan∠DAC= = ≈0.77，
解得：x≈17.4，
经检验，该方程有意义，且符合题意，
因此x≈17.4是该方程的解，
∴佛像的高度约为17.4m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到了锐角三角函数、等角对等边、解分式方程等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能根据题意得到相等关系等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
24．A港与B港相距海里．
【分析】先作于点C，根据题意求出，从而得出的值，得出的值，即可求出答案．
【详解】解：作于点C，
由题意得，
∴海里，
∵乙货船从B港沿西北方向出发，
∴，，
∴海里，
∴海里，
答：A港与B港相距海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
25．拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．
【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90，拦截点D处到公路的距离DA＝BE+CF．解Rt△BCE，求出BE＝BC＝×1000＝500米；解，求出CF＝CD＝500米，则DA＝BE+CF＝（500+500）米．
【详解】解：如图，过B作AB的垂线，两线交于点E，过D作AB的平行线，则∠E＝∠F＝90．
∵在中，∠E＝90，
∴∠BCE＝30，
∴BE＝BC＝500；
∵在中，∠F＝90，∠DCF=45，CD＝BC＝1000米，
∴CF＝CD＝500米，
∴DA＝BE+CF＝（500+500）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．的高度为
【分析】过点作于，利用锐角三角函数的定义分别求出、，进而求出，再根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：过点作，垂足为，
在中，
，
，
，
在中，
，
答：的高度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题关键．