高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·素养自测
一、选择题
1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为( B )
A．48eq \r(6) B．64
C．16 D．96
[解析] 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64.
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( A )
A.eq \f(3＋\r(3),4)a2 B．eq \f(3,4)a2
C.eq \f(3＋\r(3),2)a2 D．eq \f(6＋\r(3),4)a2
[解析] 因为侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq \f(\r(2),2)a，所以S表＝eq \f(\r(3),4)a2＋3×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))2＝eq \f(3＋\r(3),4)a2.
3．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( B )
A．80 B．240
C．320 D．640
[解析] 由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，则该等腰梯形的高为eq \r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16－4,2)))2)＝8.
∴等腰梯形的面积为eq \f(1,2)×(4＋16)×8＝80，
∴该棱台的侧面积S＝3×80＝240.故选B.
4．设正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的eq \f(1,2)，则它的体积是原来的( B )
A.eq \f(1,5) B．eq \f(1,8)
C．eq \f(1,16) D．eq \f(1,32)
[解析] 底面边长变为原来的eq \f(1,2)后，面积变为原来的eq \f(1,4)，高变为原来的eq \f(1,2)，所以体积是原来的eq \f(1,8).
5．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( B )
A．1∶9 B．1∶8
C．1∶4 D．1∶3
[解析] 因为平行于棱锥底面的截面将棱锥的高分成1∶2两部分，易得两个棱锥的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B.
二、填空题
6．已知一个长方体的三个面的面积分别是eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(6)，则这个长方体的体积为 eq \r(6) .
[解析] 设长方体从一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq \r(6).
7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C－A1ABD的表面积是 36＋4eq \r(3)＋2eq \r(39) .
[解析] 正三棱柱ABC－A1B1C1的高为AA1＝6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，如图所示：
则四棱锥C－A1ABD的表面积是S＝S梯形A1ABD＋S△ABC＋S△BCD＋S△A1AC＋S△A1CD＝eq \f(1,2)×(6＋3)×4＋eq \f(\r(3),4)×42＋eq \f(1,2)×3×4＋eq \f(1,2)×6×4＋eq \f(1,2)×eq \r(42＋62)×2eq \r(3)×4＝36＋4eq \r(3)＋2eq \r(39).
8．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq \r(3)，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为_1__.
[解析] 如图，
S△B1DC1＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)，三棱锥的高即A到面BB1C1C的距离，即AD＝eq \r(3).
所以VA－B1DC1＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1.
三、解答题
9.如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积．
[解析] ∵VM是棱锥的高，
∴VM⊥MC.
在Rt△VMC中，MC＝eq \r(VC2－VM2)＝eq \r(52－42)＝3(cm)，
∴AC＝2MC＝6(cm)．
在Rt△ABC中，
BC＝eq \r(AC2－AB2)＝eq \r(62－42)＝2eq \r(5)(cm)．
S底＝AB·BC＝4×2eq \r(5)＝8eq \r(5)(cm2)，
∴V锥＝eq \f(1,3)S底h＝eq \f(1,3)×8eq \r(5)×4＝eq \f(32\r(5),3)(cm3)．
∴棱锥的体积为eq \f(32\r(5),3) cm3.
10．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
[解析] 设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝eq \f(1,2)bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a.
∴V三棱锥C－A′DD′＝eq \f(1,3)S△A′DD′·CD＝eq \f(1,6)abc.
则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－eq \f(1,6)abc＝eq \f(5,6)abc.
故V棱锥C－A′DD′∶V剩＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)abc))∶eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)abc))＝1∶5.
B组·素养提升
一、选择题
1．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( A )
A.eq \r(3) B．eq \r(2)
C．eq \f(2,\r(3)) D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 如图所示，正方体的A′，C′，D，B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体棱长为a，
则正四面体棱长为eq \r(2)a.
所以正方体表面积S1＝6a2，
正四面体表面积为S2＝4×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2)a)2＝2eq \r(3)a2，所以eq \f(S1,S2)＝eq \f(6a2,2\r(3)a2)＝eq \r(3).
2．在正六棱台ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，AB＝2，A1B1＝3，AA1＝eq \r(10)，则该棱台的体积为( D )
A.eq \f(59\r(3),4) B．eq \f(59\r(3),2)
C．eq \f(57\r(3),4) D．eq \f(57\r(3),2)
[解析] 设上、下底面的中心分别为M，N，上、下底面的面积分别为S1、S2，过A作AP⊥A1N，垂足为P，如图所示，
则AP＝MN＝eq \r(10－3－22)＝3，
故该棱台的体积V＝eq \f(1,3)(S1＋S2＋eq \r(S1S2))h＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)×22×6＋\f(\r(3),4)×32×6＋\r(\f(\r(3),4)×22×6×\f(\r(3),4)×32×6)))×3＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(3)＋\f(27\r(3),2)＋9\r(3)))×3＝eq \f(57\r(3),2).
故选D.
3．(2020·全国Ⅰ卷理)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )
A.eq \f(\r(5)－1,4) B．eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(\r(5)＋1,4) D．eq \f(\r(5)＋1,2)
[解析] 如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝eq \r(PE2－OE2)＝eq \r(b2－\f(a2,4))，
由题意得PO2＝eq \f(1,2)ab，即b2－eq \f(a2,4)＝eq \f(1,2)ab，
化简得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2－2·eq \f(b,a)－1＝0，
解得eq \f(b,a)＝eq \f(1＋\r(5),4)(负值舍去)．故选C.
二、填空题
4．某几何体的直观图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为 20＋4eq \r(2) .
[解析] 由直观图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为5×2×2＋4×eq \f(1,2)×2×eq \r(2)＝20＋4eq \r(2).
5．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，过点A，E，F作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体积较小的多面体的体积为 eq \f(7a3,24) .
[解析] 如图，依次连接AE，EF，FD1，D1A，四边形AEFD1即为所求截面，
因为点E、F分别为棱BC、CC1的中点，所以EF∥D1A，
可知ADD1－ECF为三棱台，所以S△ADD1＝eq \f(1,2)×a×a＝eq \f(a2,2)，S△ECF＝eq \f(1,2)×eq \f(a,2)×eq \f(a,2)＝eq \f(a2,8)，
其体积VADD1－ECF＝eq \f(1,3)(S△ADD1＋eq \r(S△ADD1·S△ECF)＋S△ECF)×CD＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)＋\r(\f(a2,2)×\f(a2,8))＋\f(a2,8)))×a＝eq \f(7a3,24)，
且正方体的体积为VABCD－A1B1C1D1＝a×a×a＝a3，
则另一部分的体积为V＝VABCD－A1B1C1D1－VADD1－ECF＝a3－eq \f(7a3,24)＝eq \f(17a3,24)，
因为eq \f(17a3,24)>eq \f(7a3,24)，所以体积较小的多面体的体积为eq \f(7a3,24).故答案为eq \f(7a3,24).
三、解答题
6．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
[解析] 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O
作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，∴3×eq \f(1,2)a×h′＝2×eq \f(\r(3),4)a2.
∴a＝eq \r(3)h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.
∴h′＝2eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)h′＝6.
∴S底＝eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(\r(3),4)×62＝9eq \r(3)，S侧＝2S底＝18eq \r(3).
∴S表＝S侧＋S底＝18eq \r(3)＋9eq \r(3)＝27eq \r(3).
C组·探索创新
如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积( D )
A．与点E，F的位置有关
B．与点Q的位置有关
C．与点E，F，Q的位置都有关
D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值
[解析] VA′－EFQ＝VQ－A′EF，
由于△A′EF的底边EF长度不变，高A′A长度也不变，所以S△A′EF＝eq \f(1,2)×2×4＝4.棱锥的高即Q到△A′EF的距离始终为A′D′也不变，所以VQ－A′EF＝eq \f(1,3)×4×4＝eq \f(16,3)为定值，与点E，F，Q位置均无关．