数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积同步达标检测题

这是一份数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积同步达标检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A组·素养自测
一、选择题
1．圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的( D )
A．4倍 B．3倍
C.eq \r(2)倍 D．2倍
[解析] 设该圆锥轴截面正三角形的边长为2r，则圆锥的底面圆半径为r，母线长为2r，故S底＝πr2，S侧＝eq \f(1,2)·2πr·2r＝2πr2，所以S侧＝2S底，即侧面积是底面积的2倍．故选D.
2．已知一个圆柱的表面积等于侧面积的eq \f(3,2)，且其轴截面的周长为16，则该圆柱的体积为( B )
A．8π B．16π
C．27π D．36π
[解析] 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2πr2＋2πrl＝\f(3,2)·2πrl,4r＋2l＝16))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝4,r＝2)).所以该圆柱的体积为V＝π×22×4＝16π.
3．圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2 cm，下底面半径为3 cm，圆台母线长为4 cm，则该圆锥的侧面积为( B )
A．28π cm2 B．36π cm2
C．42π cm2 D．48π cm2
[解析] 如图所示：
圆台的上底面半径为r1＝2 cm，下底面半径为r2＝3 cm，圆台母线长为l＝4 cm，
则eq \f(PA,PA＋4)＝eq \f(2,3)，解得PA＝8 cm，所以圆锥母线长为PB＝PA＋4＝12 cm，
所以该圆锥的侧面积为S侧＝π×3×12＝36π cm2.
故选B.
4．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( C )
A.eq \f(8π,3) B．eq \f(32π,3)
C．8π D．eq \f(8\r(2)π,3)
[解析] 设球的半径为R，则截面圆的半径为eq \r(R2－1)，
∴截面圆的面积为S＝π(eq \r(R2－1))2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，
∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
5.如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40 cm，上口直径约为28 cm，经测量可知圆台的高约为16 cm，圆柱的底面直径约为18 cm，则该组合体的体积约为( D )
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中π的值取3，V圆台＝\f(1,3)S上＋S下＋\r(S上S下)h))
A．11 280 cm3 B．12 380 cm3
C．12 680 cm3 D．12 280 cm3
[解析] 由题意得圆柱的高约为40－16＝24(cm)，则何尊的体积V＝V圆台＋V圆柱＝eq \f(π,3)×(142＋92＋14×9)×16＋π×92×24≈12 280(cm3)，故选D.
二、填空题
6．已知某圆锥的侧面积为12π，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 6eq \r(2)π .
[解析] 某圆锥的侧面积为12π，其侧面展开图是半圆，设半圆的半径为r，
所以12π＝eq \f(πr2,2)，所以r＝2eq \r(6)，因为半径r即为圆锥母线长l，
设圆锥底面圆半径为R，则πRl＝12π，
所以底面半径R＝eq \r(6)，
所以圆锥的高为eq \r(2\r(6)2－\r(6)2)＝3eq \r(2)，
故圆锥的体积为eq \f(1,3)×π×(eq \r(6))2×3eq \r(2)＝6eq \r(2)π.
故答案为6eq \r(2)π.
7．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是 eq \r(3,2) .
[解析] 设大球的半径为R，
则有eq \f(4,3)πR3＝2×eq \f(4,3)π×13，R3＝2，所以R＝eq \r(3,2).
8．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为4π，9π，该圆台的体积为38π，则该圆台的高为_6__.
[解析] 圆台的体积V＝eq \f(1,3)h(S1＋eq \r(S1S2)＋S2)＝eq \f(1,3)h(4π＋eq \r(4π×9π)＋9π)＝38π，得h＝6.
所以该圆台的高为6.
故答案为6.
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
[解析] 该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝eq \f(4,3)πr3＋πr2l＝eq \f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq \f(13π,3).
10．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq \r(3)的圆柱，求圆柱的表面积．
[解析] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).
如图所示易知△AEB∽△AOC，
∴eq \f(AE,AO)＝eq \f(EB,OC)，即eq \f(\r(3),2\r(3))＝eq \f(r,2)，∴r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2eq \r(3)π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2eq \r(3)π＝(2＋2eq \r(3))π.
B组·素养提升
一、选择题
1．有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积应为多少粟？如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2 700立方寸(单位换算：1立方丈＝106立方寸)，一斛粟米卖324钱，一两银子1 000钱，则主人卖后可得银子( D )
A．200两 B．400两
C．432两 D．480两
[解析] 由底面圆的周长为12丈，高为1丈，
得底面半径r＝eq \f(12,2π)≈eq \f(12,2×3)＝2(丈)，
则体积V＝eq \f(1,3)×πr2×h≈eq \f(1,3)×3×22×1
＝4(立方丈)＝4×106(立方寸)，
故主人卖粟后可得银子为eq \f(4×106,2 700)×eq \f(324,1 000)＝480两．
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( A )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
[解析] 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝eq \f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝eq \r(6).由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(eq \r(3))2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.
3.如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为( C )
A．7π cm2 B．8π cm2
C．9π cm2 D．11π cm2
[解析] 由题图知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2 cm，圆柱的高为3 cm，故圆柱一个底面的面积为π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))2＝π(cm2)，圆柱的侧面积为2×π×3＝6π(cm2)，半球面面积为eq \f(1,2)×4×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))2＝2π(cm2)，故该几何体的表面积为S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2)．
二、填空题
4.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是 4 cm.
[解析] 设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3×eq \f(4,3)πr3，即2r＝8，
所以r＝4 cm.
5．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1＝3，底面扇环所对的圆心角为eq \f(π,2)，弧AD长度是弧BC长度的3倍，CD＝2，则该曲池的体积为_6π__.
[解析] 不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，
由弧AD长度为弧BC长度的3倍，底面扇环所对的圆心角为eq \f(π,2)，
所以eq \f(π,2)R＝3×eq \f(π,2)r，即R＝3r，CD＝R－r＝2r＝2，
所以r＝1，R＝3.
故该曲池的体积V＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)R2－\f(π,4)r2))×AA1＝eq \f(π,4)×(R2－r2)×3＝6π.
故答案为6π.
三、解答题
6．已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径．
[解析] 如图，设SO1是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上．
设外接球半径为R.
∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，
∴AO1＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),3)a，
SO1＝eq \r(SA2－AO\\al(2,1))＝eq \r(a2－\f(1,3)a2)＝eq \f(\r(6),3)a，
在Rt△OO1A中，R2＝AOeq \\al(2,1)＋OOeq \\al(2,1)＝AOeq \\al(2,1)＋(SO1－R)2，
即R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)a－R))2，解得R＝eq \f(\r(6),4)a，
∴所求外接球体积V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(\r(6),8)πa3.
∴OO1即为内切球的半径，OO1＝eq \f(\r(6),3)a－eq \f(\r(6),4)a＝eq \f(\r(6),12)a，
∴内切球的半径为eq \f(\r(6),12)a.
C组·探索创新
如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体A1B1C1D1－ABCD，设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1－ABCD的体积为V，AB＝x.
(1)将S表达为x的函数；
(2)求V的最大值．
[解析] (1)连接AC，∵矩形ABCD内接于⊙O，
∴AC为⊙O的直径．
∵AC＝2，AB＝x，∴BC＝eq \r(4－x2)，
∴S＝AB·BC＝xeq \r(4－x2)(0(2)∵长方体的高AA1＝1，
∴V＝S·AA1＝xeq \r(4－x2)
＝eq \r(x24－x2)＝eq \r(－x2－22＋4)，
∵0∴当x2＝2，即x＝eq \r(2)时，V取得最大值，此时Vmax＝2.