人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算课时练习

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算课时练习，共7页。试卷主要包含了答案等内容，欢迎下载使用。

A．11 B．5
C．－1 D．－2
2．已知向量 eq \(BA,\s\up6(→))＝( eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2))， eq \(BC,\s\up6(→))＝( eq \f(\r(3),2)， eq \f(1,2))，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
3．已知向量a＝(2，－3)，b＝(m，2)，且a⊥b，则m＝( )
A．－3 B．3
C． eq \f(4,3) D．－ eq \f(4,3)
4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A． eq \r(3) B．2 eq \r(3)
C．4 D．12
5.
如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ eq \r(2)，BC＝2，点E在边CD上，且 eq \(DE,\s\up6(→))＝2 eq \(EC,\s\up6(→))，则 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(BE,\s\up6(→))的值是________．
6．已知向量a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，b＝(0，－2)，在下列条件下分别求k的值：
(1)a＋b与ka－b平行；
(2)a＋b与ka－b的夹角为 eq \f(2π,3).
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3).若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A．( eq \f(7,9)， eq \f(7,3)) B．(－ eq \f(7,3)，－ eq \f(7,9))
C．( eq \f(7,3)， eq \f(7,9)) D．(－ eq \f(7,9)，－ eq \f(7,3))
8．已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
9．已知向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，2)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，1)，在x轴上有一点P，使 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
10．(多选)已知向量a＝(2，7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的值可以为( )
A． eq \f(21,2) B．－ eq \f(6,7)
C． eq \f(6,7) D．1
11．已知a＝(3，0)，b＝(k，5)，且a与b的夹角为 eq \f(3π,4)，则实数k的值为__________．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求：
(1) eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))的值；
(2) eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))的最大值．
13．在平面直角坐标系中，已知三点A(4，0)，B(t，2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求| eq \(OD,\s\up6(→))|的最小值．
14．已知平面上三点A，B，C，满足 eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，4)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(2－k，3).
(1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k的值；
(2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值．
15.平面内有向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，7)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(5，1)， eq \(OP,\s\up6(→))＝(2，1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1)当 eq \(QA,\s\up6(→))· eq \(QB,\s\up6(→))取最小值时，求 eq \(OQ,\s\up6(→))的坐标；
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cs ∠AQB的值．
8．1.3 向量数量积的坐标运算
必备知识基础练
1．答案：D
解析：∵＝(2，－3)，＝(2，2),
∴·＝2×2＋(－3)×2＝－2.
故选D.
2．答案：A
解析：因为＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
所以·＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2)，
因为||＝||＝1，
所以cs〈，〉＝＝eq \f(\r(3),2)，
因为向量的夹角范围为[0，π]，
所以向量和的夹角为30°，即∠ABC＝30°.
故选A.
3．答案：B
解析：因为a⊥b，
所以a·b＝2m－6＝0，
所以m＝3.
故选B.
4．答案：B
解析：∵|a|＝2，
∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cs60°＋4×12＝12，
∴|a＋2b|＝2eq \r(3).故选B.
5．答案：eq \f(32,9)
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
∵AB＝eq \r(2)，BC＝2，
∴A(0，0)，B(eq \r(2)，0)，C(eq \r(2)，2)，D(0，2)，
∵点E在边CD上，且＝2，
∴Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)，2)).
∴＝(eq \f(2\r(2),3)，2)，＝(－eq \f(\r(2),3)，2)，
∴·＝－eq \f(4,9)＋4＝eq \f(32,9).
6．解析：(1)因为a＝(1，1)，b＝(0，－2)，
所以a＋b＝(1，－1)，ka－b＝(k，k＋2)，
又a＋b与ka－b平行，
所以－k＝k＋2，解得k＝－1.
(2)因为a＋b＝(1，－1)，ka－b＝(k，k＋2)，
所以(a＋b)·(ka－b)＝1×k＋(－1)×(k＋2)＝－2,
因为a＋b与ka－b夹角为eq \f(2π,3)，所以(a＋b)·(ka－b)＝|a＋b||a－b|cseq \f(2π,3)，
即－2＝－eq \r(2)×eq \r(k2＋（k＋2）2)×eq \f(1,2)，
解得k＝－1±eq \r(3).
关键能力综合练
7．答案：D
解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2).
又(c＋a)∥b，
∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0. ①
又c⊥(a＋b)，
∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0. ②
联立①②解得x＝－eq \f(7,9)，y＝－eq \f(7,3)，故选D.
8．答案：C
解析：由＝(2，3)，＝(3，t)，
得＝(1，t－3).
因为||＝1，所以eq \r(1＋（t－3）2)＝1，所以t＝3.
所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
9．答案：C
解析：设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，故·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3，0)，故选C.
10．答案：CD
解析：a与b的夹角为钝角必须满足a·b＝2x－21<0且a与b不共线，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－21<0，,7x＋6≠0，))
∴x11．答案：－5
解析：因为a＝(3，0)，b＝(k，5)，
且a与b的夹角为eq \f(3π,4)，
所以cseq \f(3π,4)＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3k＋0,3\r(k2＋25))，
所以eq \f(3k,3\r(k2＋25))＝－eq \f(\r(2),2)，
解得k＝±5.由题意可知，k<0.
所以实数k的值为－5.
12．解析：(1)建立如图所示平面直角坐标系：
则D(0，0)，C(0，1)，B(1，1)，设E(1，x)，(0≤x≤1)，
所以＝(1，x)，＝(1，0)，
所以·＝1×1＋x×0＝1.
(2)因为＝(1，x)，＝(0，1)，
所以·＝1×0＋x×1＝x，
因为0≤x≤1，
所以·的最大值是1.
13．解析：(1)由题意得，＝(t－4，2)，＝(2，t)，＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝(t－4，2)·(2，t)＝2t－8＋2t＝0⇒t＝2；
若∠B＝90°，则·＝(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0⇒t2－12t＋28＝0⇒t＝6±2eq \r(2)；
若∠C＝90°，则·＝12－2t＋t2－2t＝t2－4t＋12＝0，无解．
∴t的值为2或6±2eq \r(2).
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＝6－t,y＝t－2))⇒D(10－t，t－2)，
则||＝eq \r(（10－t）2＋（t－2）2)＝eq \r(2t2－24t＋104)
＝eq \r(2（t－6）2＋32)，
所以当t＝6时，||的最小值为4eq \r(2).
14．解析：(1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥，得4(2－k)＝6，解得k＝eq \f(1,2).
(2)因为＝(2－k，3)，所以＝(k－2，－3)，
所以＝＋＝(k，1).
由于A，B，C三点构成直角三角形，
所以当A是直角时，⊥，所以·＝0，得2k＋4＝0，解得k＝－2；
当B是直角时，⊥，所以·＝0，得k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；
当C是直角时，⊥，所以·＝0，得16－2k＝0，解得k＝8.
综上所述，实数k的值为－2或－1或3或8.
核心素养升级练
15．解析：(1)设＝(x，y)，∵Q在直线OP上，
∴向量与共线．
又＝(2，1)，∴x－2y＝0，
∴x＝2y，∴＝(2y，y).
又＝－＝(1－2y，7－y)，
＝－＝(5－2y，1－y)，
∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4，2).
(2)由(1)知＝(－3，5)，＝(1，－1)，·＝－8，
||＝eq \r(34)，||＝eq \r(2)，
∴cs∠AQB＝＝eq \f(－8,\r(34)×\r(2))＝－eq \f(4\r(17),17).
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