人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算导学案

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本节讲解平面向量数量积的坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．
问题 在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
[提示] 由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，
则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2．
由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，
故a·b＝8．
8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2．
知识点1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？
[提示] 公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a＝(m,0)，则|a|＝m．( )
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0．( )
(3)a·b≠0，则a与b不垂直．( )
[提示] (1)×．若a＝(m,0)，则|a|＝|m|．
(2)×．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．
(3)√．a·b≠0⇔a与b不垂直．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝( )
A．5 B．4 C．－2 D．－1
D [a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1．]
知识点2 三个重要公式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)向量的模：a2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)⇔|a|＝eq \r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))．
(2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(,x1－x22＋y1－y22)．
(3)向量的夹角公式：
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系式是什么？
[提示] (1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；
(2)θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0；
(3)θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2<0．
3．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cs〈a，b〉＝________．
－eq \f(\r(2),10) [因为a＝(2,2)，b＝(－8,6)，所以a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，|b|＝eq \r(－82＋62)＝10．
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－4,2\r(2)×10)＝－eq \f(\r(2),10)．]
4．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________．
±4 [|a|＝eq \r(32＋x2)＝5，所以x2＝16，即x＝±4．]
类型1 向量数量积的坐标运算
【例1】 (1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________．
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．
(1)12 [因为b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，
所以b＋c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．
又因为a＝(2,3)，
所以a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12．]
(2)[解] a·b＝1×2＋3×5＝17．
因为3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，
所以3a－b＝(1,4)，
所以|3a－b|＝eq \r(,12＋42)＝eq \r(,17)．
因为a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，
所以2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
所以(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8．
1．向量数量积坐标运算的技巧
(1)进行向量数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2，
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解．
2．求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算．
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，
于是有|a|＝eq \r(,x2＋y2)．
eq \([跟进训练])
1．(1)已知O为坐标原点，点A(1,0)，B(0,2)，若OC⊥AB于点C，则eq \(OC,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))＝________．
(2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．
(1)eq \f(8,5) (2)5 [(1)设点C的坐标为(x，y)，由A(1,0)，B(0,2)，得eq \(AB,\s\up7(→))＝(－1,2)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(x－1，y)，
因为OC⊥AB于点C，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up7(→))·\(AB,\s\up7(→))＝0，,\(AC,\s\up7(→))∥\(AB,\s\up7(→))，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2y＝0，,2x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,5)，,y＝\f(2,5)，))
所以eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(2,5)))，eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＝(1,2)，
所以eq \(OC,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))＝eq \f(8,5)．
(2)a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，
所以x＝2，y＝1，
所以a＝(2,1)．
所以a－2b＝(4，－3)，
所以|a－2b|＝eq \r(42＋－32)＝5．]
类型2 向量数量积的坐标公式与垂直、夹角问题
【例2】 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，若a与b垂直，则实数x的值是( )
A．4 B．－4 C．1 D．－1
(2)已知平面向量a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设a与b的夹角为θ．
①若θ＝120°，求λ的值；
②要使θ为锐角，求λ的取值范围．
[思路探究] (1)根据向量垂直的坐标关系求解．
(2)①由θ＝120°求cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，建立方程求λ的值．
②要使θ为锐角，则cs θ>0，且a与b不能共线，建立不等式求λ的取值范围．
(1)D [因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，a与b垂直，所以a·b＝0，即1×2＋2x＝0，解得x＝－1．故选D．]
(2)[解] ①由于a＝(1,3)，b＝(2，λ)，则
a·b＝2＋3λ，当θ＝120°时，cs 120°＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，
得eq \f(2＋3λ,\r(10)×\r(4＋λ2))＝－eq \f(1,2)，平方整理得13λ2＋24λ－12＝0，
解得λ＝eq \f(－12±10\r(3),13)，由于a·b＝2＋3λ<0，所以λ<－eq \f(2,3)，得λ＝eq \f(－12－10\r(3),13)．
②由θ为锐角，得cs θ>0，且cs θ≠1，因为a·b＝|a||b|·cs θ＞0，
所以a·b>0，即1×2＋3λ>0，解得λ>－eq \f(2,3)．若a∥b，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6．
但若a∥b，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6．综上所述，λ>－eq \f(2,3)且λ≠6．
利用向量法求夹角的方法技巧
(1)若求向量a与b的夹角，利用公式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角．
(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系：
①若θ为直角，则充要条件为向量a⊥b，则转化为a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
②若θ为锐角，则充要条件为a·b>0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)．
③若θ为钝角，则充要条件为a·b<0，且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反)．
eq \([跟进训练])
2．已知a＝(sin α，cs α)，|b|＝2．
(1)若向量b在a方向上的投影的数量为－1，求a·b及a与b的夹角θ；
(2)若a＋b与b垂直，求|2a－b|．
[解] (1)由向量数量积的几何意义知，a·b等于|a|与b在a方向上的投影的数量的乘积，
所以a·b＝1·(－1)＝－1．
设a与b的夹角θ，θ∈[0，π]，
则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1,1×2)＝－eq \f(1,2)，所以θ＝eq \f(2π,3)．
(2)若a＋b与b垂直，则(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，所以a·b＝－4，
所以|2a－b|＝eq \r(,2a－b2)＝eq \r(,4a2－4a·b＋b2)
＝eq \r(,4－4×－4＋22)＝2eq \r(,6)．
类型3 向量数量积的坐标公式的综合问题
【例3】 在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动．
(1)求证：eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))为定值；
(2)求eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(EM,\s\up7(→))的最大值．
解平面几何图形中的数量积问题，常用方法是什么？
[提示] 处理平面几何图形中的数量积问题常用方法有：①几何法，②基底思想，③坐标法．
[解] 法一：(几何法)(1)在边长为1的正方形ABCD中，
eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝|eq \(EC,\s\up7(→))||eq \(BC,\s\up7(→))|cs ∠BCE＝|eq \(BC,\s\up7(→))|2＝1(定值)．
(2)如图，作CN⊥EM，垂足为N，则△EBM∽△CNM，
得eq \f(EM,CM)＝eq \f(MB,MN)，
所以EM·MN＝CM·MB＝eq \f(1,4)，
所以eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(EM,\s\up7(→))＝|eq \(EC,\s\up7(→))||eq \(EM,\s\up7(→))|cs ∠CEN＝|eq \(EM,\s\up7(→))|(|eq \(EC,\s\up7(→))|·cs ∠CEN)＝|eq \(EM,\s\up7(→))||eq \(EN,\s\up7(→))|＝|eq \(EM,\s\up7(→))|(|eq \(EM,\s\up7(→))|＋|eq \(MN,\s\up7(→))|)＝|eq \(EM,\s\up7(→))|2＋|eq \(EM,\s\up7(→))||eq \(MN,\s\up7(→))|＝|eq \(EM,\s\up7(→))|2＋eq \f(1,4)≤ |eq \(AM,\s\up7(→))|2＋eq \f(1,4)＝1＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,2)，
所以当点E在点A时，eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(EM,\s\up7(→))取得最大值eq \f(3,2)．
法二：(坐标法)以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x,0)，x∈[0,1],
(1)eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝(1－x,1)·(0,1)＝1(定值)．
(2)由上述可知，C(1,1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，
则eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(EM,\s\up7(→))＝(1－x,1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))＝(1－x)2＋eq \f(1,2)，当x∈[0,1]时，(1－x)2＋eq \f(1,2)单调递减，
当x＝0时，eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(EM,\s\up7(→))取得最大值eq \f(3,2)．
解决向量数量积的最值的方法技巧
(1)“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断．
(2)“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围．
eq \([跟进训练])
3．(1)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up7(→))·(eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→)))的最小值是( )
A．－2 B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(4,3) D．－1
(2)如图，在由5个边长为1，一个顶角为60°的菱形组成的图形中，eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝__________．
(1)B (2)－4 [(1)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，eq \r(3))，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up7(→))＝(－x，eq \r(3)－y)，eq \(PB,\s\up7(→))＝(－1－x，－y)，eq \(PC,\s\up7(→))＝(1－x，－y)，
所以eq \(PA,\s\up7(→))·(eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→)))＝(－x，eq \r(3)－y)·(－2x，－2y)
＝2x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－eq \f(3,2)，
当x＝0，y＝eq \f(\r(3),2)时，eq \(PA,\s\up7(→))·(eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→)))取得最小值为－eq \f(3,2)，故选B．
(2) 以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：
则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\r(3)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(3),2)))，
所以eq \(AB,\s\up7(→))＝(－1,2eq \r(3))，eq \(CD,\s\up7(→))＝(－2，－eq \r(3))，
所以eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝2－6＝－4．]
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于( )
A． 3 B．eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－3
C [3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，所以x＝－eq \f(1,3)．]
2．已知向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
D [因为向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，则a·b＝－6，|a|＝2eq \r(2)，|b|＝3，则cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(\r(2),2)，
又0°≤〈a，b〉≤180°，
所以a与b的夹角为135°．]
3．(多选题)已知向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝－2B．a∥b
C．b⊥(a＋b)D．|a|＝|b|
AC [因为向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，设b＝(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x＝3，,0－y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，))所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，故a·b＝－2，|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，又因为b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b)．故选AC．]
4．已知向量a＝(2,4)，b＝(－2,2)，若c＝a＋(a·b)b，则|c|＝________，cs〈a，b〉＝________．
6eq \r(5) eq \f(\r(10),10) [由题知a·b＝2×(－2)＋4×2＝4，
所以c＝a＋4b＝(－6,12)，|c|＝eq \r(－62＋122)＝6eq \r(5)．
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(4,\r(4＋16)×\r(4＋4))＝eq \f(\r(10),10)．]
5．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞) [由于a与b的夹角α为钝角，则a·b<0，且a与b不共线，
因为a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2λ－1<0，,－λ≠－2，))
解得λ>－eq \f(1,2)且λ≠2，因此，实数λ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．本节课学习了哪些平面向量的坐标表示？
[提示] (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(2)坐标表示下的运算：
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2)．
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，可由cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出cs θ．由三角函数值cs θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π．
2．求向量模的最值(范围)有哪些方法？
[提示] 求向量模的最值(范围)的2种方法
1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(重点)
2．能运用向量数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式．(重点、难点)
3．能根据向量的坐标判定两个向量垂直．(重点)
1．通过推导向量数量积的坐标运算及通过求夹角与模，体会逻辑推理素养与数学运算素养，培养学生数学抽象的核心素养．
2．利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的核心素养．
数量积
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
代数法
把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解
几何法
弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解