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    2023版新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念课时作业新人教B版必修第三册
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    高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念练习题

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念练习题,共7页。试卷主要包含了下列结论错误的是,答案等内容,欢迎下载使用。

    A.-6 B.6
    C.-6 eq \r(3) D.6 eq \r(3)
    2.在△ABC中,a=5,b=4,∠C=45°,则 eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))=( )
    A.10 eq \r(2) B.20 eq \r(2)
    C.-10 eq \r(2) D.-20 eq \r(2)
    3.已知e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断中正确的是( )
    A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1
    C.e1·e2=±1 D.|e1·e2|<1
    4.在△ABC中,已知| eq \(AB,\s\up6(→))|=| eq \(AC,\s\up6(→))|=4,且 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))=8,则△ABC的形状为( )
    A.直角三角形 B.钝角三角形
    C.等腰三角形 D.等边三角形
    5.已知|a|=2,|b|=3,a·b=3 eq \r(3),则a与b的夹角为________.
    6.已知|a|=2,b2=3,若(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为150°,分别求a·b.
    7.
    如图,AB是圆C的一条弦,仅由下列一个条件就可以得出 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))=2的是( )
    A.圆C半径为2
    B.圆C半径为1
    C.圆C的弦AB长为2
    D.圆C的弦AB长为1
    8.已知|a|=1,|b|=1,|c|= eq \r(2),a与b的夹角为90°,b与c的夹角为45°,则a·(b·c)=( )
    A.0 B.a
    C.b D.c
    9.已知等腰直角三角形ABC中,C=90°,且S△ABC=1,则下列结论错误的是( )
    A. eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))=0
    B. eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))=2
    C. eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))=2
    D.| eq \(AB,\s\up6(→))|cs B=| eq \(BC,\s\up6(→))|
    10.(多选)下列结论错误的是( )
    A. eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(BA,\s\up6(→))=0
    B.0· eq \(AB,\s\up6(→))=0
    C.若a与b共线,则a·b=|a||b|
    D.(a·b)·c=a·(b·c)
    11.(多选)关于菱形ABCD的说法中,正确的是( )
    A. eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(CD,\s\up6(→))
    B.( eq \(AB,\s\up6(→))+ eq \(BC,\s\up6(→)))⊥( eq \(BC,\s\up6(→))+ eq \(CD,\s\up6(→)))
    C.( eq \(AB,\s\up6(→))- eq \(AD,\s\up6(→)))·( eq \(BA,\s\up6(→))- eq \(BC,\s\up6(→)))=0
    D. eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))= eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))
    12.如图,△ABC的三边长均为1,且 eq \(BC,\s\up6(→))=a, eq \(CA,\s\up6(→))=b, eq \(AB,\s\up6(→))=c,求a·b+b·c+c·a的值.
    13.已知正方形ABCD的边长为1,E是边AB上的动点,则 eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))的值为________, eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________.
    14.(数学运算命题)在△ABC中,已知| eq \(AB,\s\up6(→))|=5,| eq \(BC,\s\up6(→))|=4,| eq \(AC,\s\up6(→))|=3,求:
    (1) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→));
    (2) eq \(AC,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))方向上的投影的数量;
    (3) eq \(AB,\s\up6(→))在 eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影的数量.
    15.
    如图,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=2DC=4,E为腰BC上的动点.求 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))的取值范围.
    8.1.1 向量数量积的概念
    必备知识基础练
    1.答案:A
    解析:因为|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=120°,
    所以a·b=|a||b|cs120°=3×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=-6.
    故选A.
    2.答案:C
    解析:∵||=a=5,||=b=4,C=45°,
    ∴·=-||||cs45°=-5×4×eq \f(\r(2),2)=-10eq \r(2)﹒
    故选C.
    3.答案:C
    解析:∵e1∥e2,|e1|=1,|e2|=1,∴〈e1,e2〉=0或π,
    ∴e1·e2=±1,故选C.
    4.答案:D
    解析:由题意,得4×4×csA=8,
    即csA=eq \f(1,2).又A∈(0,π),
    ∴A=eq \f(π,3).
    又||=||,
    ∴△ABC为等边三角形,故选D.
    5.答案:eq \f(π,6)
    解析:设a与b的夹角为θ,则csθ=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(3\r(3),2×3)=eq \f(\r(3),2),又因为θ∈[0,π],所以θ=eq \f(π,6).
    6.解析:因为|a|=2,b2=3,所以|b|=eq \r(3).
    (1)当a∥b时,a·b=|a||b|cs0°=2×eq \r(3)×1=2eq \r(3)
    或a·b=|a||b|cs180°=2×eq \r(3)×(-1)=-2eq \r(3).
    (2)当a⊥b时,a·b=|a||b|cs90°=2×eq \r(3)×0=0.
    (3)当a与b的夹角为150°时,a·b=|a||b|cs150°=2×eq \r(3)×(-eq \f(\r(3),2))=-3.
    关键能力综合练
    7.答案:C
    解析:如图所示,
    过点C作OC⊥AB于点O,则O是AB的中点,
    所以·=(+)·=·=eq \f(1,2)2=2,
    所以||=2.
    故选C.
    8.答案:B
    解析:∵b·c=|b||c|cs〈b,c〉=1×eq \r(2)×cs45°=1,
    ∴a·(b·c)=a,故选B.
    9.答案:C
    解析:在等腰直角三角形ABC中,
    C=90°,S△ABC=1,
    则eq \f(1,2)AC2=1,得AC=eq \r(2),得AB=2,
    所以·=0,选项A正确.
    ·=||||cs45°=2,选项B正确.
    ·=||||cs135°=-2,选项C不正确.
    向量在上投影的数量为||,即||csB=||,选项D正确,故选C.
    10.答案:BCD
    解析:∵=-,
    ∴+=-+=0,∴A正确;
    ∵数量积是一个实数,不是向量,∴B错误;
    ∵a与b共线,当方向相反时,a·b=-|a||b|,∴C错误;当c与a不共线,且a·b≠0,b·c≠0时,(a·b)·c≠a·(b·c),∴D错误.故选BCD.
    11.答案:ABC
    解析:因为四边形ABCD为菱形,
    所以AB∥CD,所以∥,A正确;
    因为对角线AC与BD互相垂直,
    且+=,+=,
    所以⊥,即(+)⊥(+),B正确;
    因为-=,-=,
    又因为⊥,即·=0,
    所以(-)·(-)=0,C正确;
    易知〈,〉=180°-〈,〉,
    且||=||=||=||,
    所以·=-·,D错误.
    12.解析:
    延长BC至C′,使=a,
    如图,易得〈a,b〉=〈,〉=120°,则a·b=|a|·|b|cs120°=-eq \f(1,2),
    同理,b·c=c·a=-eq \f(1,2).
    故a·b+b·c+c·a=-eq \f(3,2).
    13.答案:1 1
    解析:如图所示,根据平面向量的数量积的定义可得·=·=||||·csθ.
    由图可知,||csθ=||,
    因此·=||2=1.
    ·=||||csα=||csα,
    而||csα就是向量在上的投影的数量,故当在上的投影的数量最大,即投影的数量为||时,·取得最大值,所以·的最大值为1.
    14.解析:∵||=5,||=4,||=3,
    ∴||2=||2+||2,
    ∴△ABC为直角三角形,且C=90°.
    ∴csA=eq \f(AC,AB)=eq \f(3,5),csB=eq \f(BC,AB)=eq \f(4,5).
    (1)·=-·=-5×4×eq \f(4,5)=-16.
    (2)在方向上的投影的数量为||·cs〈,〉=3×eq \f(3,5)=eq \f(9,5).
    (3)在方向上的投影的数量为||·cs〈,〉===eq \f(-5×4×\f(4,5),4)=-4.
    核心素养升级练
    15.解析:如图,过E作EE′⊥AB,垂足为E′,过C作CC′⊥AB,垂足为C′.
    则在上的投影为,∴在上的投影的数量为||,由向量数量积的几何意义知·=||·||=4||.
    ∵点E在腰BC上运动,∴点E′在线段C′B上运动,
    ∴||≤||≤||,
    ∴2≤||≤4,∴8≤4||≤16,
    ∴·的取值范围是[8,16].
    必备知识基础练
    进阶训练第一层
    关键能力综合练
    进阶训练第二层
    核心素养升级练
    进阶训练第三层
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