初中数学第3章 图形的相似3.1 比例线段精品练习

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1．（2023九上·杭州期末）若点Р是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=2，则AP的长为（ ）
A．5−1B．3−5C．5+1D．3+5
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP是较长线段；
则AP=5−12AB=5−12×2=5−1，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的特点可得AP=5-12AB进行计算.
2．（2023九上·礼泉期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1 ，2，3，4B．2，3，4，5C．1 ，2，3，6D．1 ，3，4，7
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故A不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，故B不符合题意；
C、1×6=2×3，故C符合题意；
D、1×7≠3×4，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用成比例线段的特征，最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的积，再对各选项逐一判断.
3．（2023九上·杭州期末）若ab=47，则ab+a的值为（ ）
A．411B．34C．311D．37
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ab=47 ，
∴设a=4k，b=7k，
∴ab+a=4k7k+4k=411.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质设a=4k，b=7k，进而代入所求式子，分母合并同类项后再约分即可.
4．（2023九上·赵县期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄、金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（ ）cm．
A．5-1B．25-2C．55-5D．105-10
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝5-12AB＝5-12×10＝55-5（cm），
故答案为：C
【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
5．（2023九上·嵊州期末）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A．AFB．DFC．AED．DE
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据作图可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB，
设DB=DF=a，则AB=2a，
∴根据勾股定理可得：AD=AB2+BD2=5a，
∴AF=AD−DF=5a−a，
∴AFAB=5a−a2a=5−12，
∴以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，故A正确.
故答案为：A.
【分析】根据作图可知∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB，设DB=EF=a，则AB=2a，AD=5a，AF=AD-DF=5a-a，则AFAB=5−12，据此解答.
6．（2023九上·鄞州期末）已知ab=23，则下列说法错误的是（ ）
A．a+bb=53B．ab=a+2b+3C．2a=3bD．a2=b3
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设a=2x，则b=3x，
A、a+bb=2x+3x3x=53，说法正确，不符合题意；
B、a+2b+3=2x+23x+3=2(x+1)3(x+1)=23=ab，说法正确，不符合题意；
C、2a=4x，3b=9x，即2a≠3b，说法错误，符合题意；
D、a2=2x2=x，b3=3x3=x，即a2=b3，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质，设a=2x，b=3x，将a=2x与b=3x代入A选项的左边，合并并约分后即可判断A选项；将a=2x与b=3x代入B选项的右边，分子、分母分别提取公因式分解因式约分后即可判断B选项；将a=2x与b=3x代入C选项的左边与右边，分别计算后即可判断C选项；将a=2x与b=3x代入D选项的左边与右边，分别约分后即可判断D选项.
7．（2022九上·晋中期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°−137.5°=222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了（ ）
A．轴对称B．旋转C．平移D．黄金分割
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵137.5°÷222.5°≈0.618，黄金分割数的近似值为0.618，
∴体现了“黄金分割”．
故答案为：D．
【分析】利用“黄金分割”的定义求解即可。
8．（2022九上·门头沟期末）如果xy=13，那么x+yy的值是（ ）
A．23B．43C．34D．14
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵xy=13，
∴y=3x，
∴x+yy=x+3x3x=43，
故答案为：B
【分析】根据xy=13可得y=3x，再将其代入x+yy计算即可。
二、填空题
9．（2023九上·镇海区期末）已知线段a=1，b=2，则a，b的比例中项线段长等于 .
【答案】2
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵a=1，b=2，
∴a，b的比例中项线段长等于b=1×2=2，
故答案为2.
【分析】根据比例中项的概念可得：a、b的比例中项为ab，据此计算.
10．（2023九上·宁波期末）已知线段a=16，b=4，线段c是线段a，b的比例中项，则c= .
【答案】8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a=16，b=4，线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2=ab=16×4=64，
∴c=8（负值舍去），
故答案为：8.
【分析】由线段c是线段a，b的比例中项，根据成比例线段的性质可得成=ab，进而代入求解即可.
11．（2023九上·龙泉驿期末）已知ab=cd=45(b+d≠0)，则a−2cb−2d＝ ．
【答案】45
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ab=cd=45，
∴ab=-2c-2d=45，
∴a-2cb-2d=45.
故答案为：45
【分析】利用分式的性质可得到ab=-2c-2d=45，再利用比例的性质可求出结果.
12．（2023九上·龙泉驿期末）若四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3，c=4，d=6，则a= ．
【答案】2
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵ 四条线段a，b，c，d成比例，
∴a：b=c：d，
∴a：3=4：6，
解之：a=2.
故答案为：2
【分析】利用已知条件：四条线段a，b，c，d成比例，可得到a：b=c：d，然后代入计算求出a的值.
13．（2023九上·成都期末）黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm．（结果保留根号）
【答案】(255−855)
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设该演员的上半身长为xm，根据题意得
x160+10-x=5-12
解之：x=255-855，
经检验x=255-855是方程的根，
故答案为：(255−855)
【分析】利用当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，可得到此时的身高，设该演员的上半身长为xm，根据上半身长：下半身长5-12，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
三、解答题
14．（2022九上·余杭月考）已知ab=cd.
判断a−ba=c−dc是否成立，并说明理由.
【答案】解：比例式成立. 理由如下：
∵ab=cd ，∴ba=dc ，
∴1－ ba ＝1－ dc ，
即 a−ba=c−dc
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】利用比例的性质可得到ba=dc，可得到1-ba=1-dc，再将等式的两边通分即可证得结论.
15．（2022九上·怀宁月考）a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=60，a3=b4=c5，求△ABC的面积．
【答案】解：设a3=b4=c5=k，
∴a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b+c=60，
∴3k+4k+5k=60，
解得：k=5，
∴a=15，b=20，c=25
∴a2+b2=152+202=625=252=c2
∴△ABC是直角三角形
∴S=12ab=150
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】先求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形 ，然后利用三角形的面积公式计算即可.
四、综合题
16．（2022九上·长兴月考）已知a3=b2 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1） a−ba
（2） 2a−ba+2b
【答案】（1）解：设a3=b2=k，则a=3k，b=2k，
a−ba=3k−2k2k=12
（2）解：2a−ba+2b=6k−2k3k+4k=47
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设a3=b2=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
17．（2022九上·舟山期中）已知a：b=3：4，求：
（1）a+bb
（2）2a−7b4b
【答案】（1）解：a+bb
=ab+1
=34+1
=74
（2）解：2a−7b4b
=12×ab−74
=12×34−74
=−118
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）将原式转化为ab+1，代入计算求出结果.
（2）先将原式转化为12×ab−74，代入计算求出结果.