初中湘教版3.1 比例线段精品达标测试

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一、选择题
1．（2023八下·浦东期末）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列比例式能成立的是（ ）
A．ABAP=BPABB．BPAP=ABBPC．APAB=BPAPD．ABAP=5−12
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴APAB=BPAP=5-12，
∴ABAP=25-1=25+15-15+1=5+12，
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割的定义计算求解即可。
2．（2023七下·东莞期末）某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即BCAB=5−12，在数轴（如题图2）上最接近5−12的点是（ ）
A．PB．QC．MD．N
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；黄金分割
【解析】【解答】解：根据点P、Q、M、N的位置可得MNQN=5-12，则5-12最接近的是点M.
故答案为：C.
【分析】根据点P、Q、M、N的位置可得MNQN=5-12，据此解答.
3．（2023·广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数B．平均数C．众数D．中位数
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数.
故答案为：A
【分析】利用黄金分割的定义，可得答案.
4．（2023·合肥模拟）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（ ）
A．1：1B．4：3C．3：2D．2：3
【答案】C
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【解答】解：
作DH//BF交AC于H
∵DH∥BF，∴AH：HF=AD：DB=2：1
设HF=a，则AH=2a
∵FG∥DH，∴FH：EF=DG：EG=1：2
∴EF=2a，∴AF=3a
∴AF：EF=3a：2a=3：2
故答案为C
【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。
5．（2023·婺城模拟）下列各组数中，成比例的是（ ）.
A．1，−2，−3，−6B．1，4，2，−8
C．5，6，2，3D．2，6，1，3
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.1−2≠−3−6，不符合题意；
B.14≠2−8，不符合题意；
C.56≠23，不符合题意；
D.26=13，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用四条线段成比例的性质，对各选项逐一判断.
6．（2020七上·景德镇期中）已知非负数 x，y，z 满足. 3−x2=y+23=z+54 .，设 W=3x−2y+z ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2B．-4C．-6D．-8
【答案】C
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设 3−x2=y+23=z+54=k ，
则 x=−2k+3 ， y=3k−2 ， z=4k−5 ，
∵x ， y ， z 均为非负实数，
∴ −2k+3⩾03k−2⩾04k−5⩾0 ，
解得 54⩽k⩽32 ，
于是 W=3x−2y+z=3(−2k+3)−2(3k−2)+(4k−5)=−8k+8 ，
∴−8×32+8⩽−8k+8⩽−8×54+8 ，
即 −4⩽W⩽−2 ．
∴W 的最大值是-2，最小值是-4，
∴W 的最大值与最小值的和为-6，
故答案为：C．
【分析】利用设k法，将x、y、z用含k的表示式表示，代入W=3x−2y+z，再根据k的取值范围求解即可。
7．（2020·泸县）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 MN 分为两线段 MG ， GN ，使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与较短的段 GN 的比例中项，即满足 MGMN=GNMG=5−12 ，后人把 5−12 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 MN 的“黄金分割”点．如图，在 △ABC 中，已知 AB=AC=3 ， BC=4 ，若D，E是边 BC 的两个“黄金分割”点，则 △ADE 的面积为（ ）
A．10−45B．35−5C．5−252D．20−85
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF= 12 BC=2，
在Rt △ABF ,AF= AB2−BF2=32−22=5 ，
∵D是边 BC 的两个“黄金分割”点，
∴CDBC=5−12 即 CD4=5−12 ，
解得CD= 25−2 ，
同理BE= 25−2 ，
∵CE=BC-BE=4-( 25 -2)=6- 25 ，
∴DE=CD-CE=4 5 -8，
∴S△ABC= 12×DE×AF = 12×(45−8)×5 = 10−45 ，
故答案为：A.
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 △ADE 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
8．（2020七上·景德镇期末）设 x+y+z=2020 ，且 x2019=y2020=z2021 ，则 x3+y3+z3−3xyz= （ ）
A．673B．20203C．20213D．674
【答案】B
【知识点】代数式求值；比例的性质
【解析】【解答】解：设 x2019=y2020=z2021=a
则 x=2019a,y=2020a,z=2021ax=y−az=y+a
将x，y，z的值代入 x+y+z=2020 可得： 2019a+2020a+2021a=2020
解得： a=13
∵x3=(y−a)3=(y−a)(y2−2ay+a2)=y3−3ay2+3a2y−a3
z3=(y+a)3=(y+a)(y2+2ay+a2)=y3+3ay2+3a2y+a3
3xyz=3y(y−a)(y+a)=3y(y2−a2)=3y3−3a2y
∴x3+y3+z3−3xyz
=(y3−3ay2+3a2y−a3)+y3+(y3+3ay2+3a2y+a3)−(3y3−3a2y)
=9a2y
=9a2⋅2020a
=9×2020×(13)3
=20203
故答案为：B.
【分析】令 x2019=y2020=z2021=a ，可将x、z的值用y与a表示，利用 x+y+z=2020 求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
二、填空题
9．（2023八下·浦东期末）已知P点为线段AB的黄金分割点，AP=4cm，且AP>BP，则AB= cm
【答案】25+2/2+25
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P点为线段AB的黄金分割点，AP=4cm，且AP>BP，
∴BPAP=APAB=5-12，
∵AP=4cm，
∴AB=25+2，
故答案为：25+2.
【分析】根据黄金分割的定义求出BPAP=APAB=5-12，再根据AP=4cm计算求解即可。
10．（2023·肇源月考）一个比例中，两内项互为倒数，一个外项是3.5，另一个外项是 .
【答案】27
【知识点】有理数的倒数；比例的性质
【解析】【解答】解：∵一个比例中，两内项互为相反数，
∴两内项之积为1，
∴两外项之积为1.
∵一个外项为3.5，
∴另一个外项为27.
故答案为：27.
【分析】由题意可得：两内项之积为1，根据比例的性质可得两外项之积为1，据此求解.
11．（2021九上·嘉祥期中）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若BCnAC=nACAB＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若BC2AC=2ACAB＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若BC3AC=3ACAB＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝ ．
【答案】63
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，BC6AC=6ACAB=k6，
∴BC=6k6AC，
∵AB=BC+AC，
∴AB=AC+6k6AC=(1+6k6)AC，
∵6ACAB=k6，
∴6AC(1+6k6)AC=k6，
即：61+6k6=k6，
整理得：6k62+k6−6=0，
解得：k6=63或k6=−62，
经检验，k6=63或k6=−62是上述分式方程的解，
∵k6>0，
∴k6=63，
故答案为：63．
【分析】由题意得BC6AC=6ACAB=k6，则BC=6k6AC，再由AB=BC+AC=AC+6k6AC=(1+6k6)AC，即得6AC(1+6k6)AC=k6，整理得6k62+k6−6=0，再解方程即可.
12．（2021九上·四川月考）如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形， ABAD=CEDE ，现将矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形 AEC′B′ ，连接BB′，若AB＝2，则线段 BB′ 的长度为 .
【答案】215+233
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：BB'交AE于M，作E H′ ⊥AB'于 H′ ，连接B'E，如图，
∵四边形ABCD为黄金矩形，
∴AB＝ 5−12 BC，
∴BC＝ 15−1 ×2＝ 5 ＋1，
∵四边形ABFG、GHED均为正方形，
∴AG＝AB＝2，DE＝DG＝ 5 ＋1−2＝ 5 −1，
在 Rt△ADE 中，AE＝ (5−1)2+(5+1)2 ＝2 3 ，
∵矩形ABCD沿AE向上翻折，得四边形AEC'B'，
∴C'B'＝CB＝ 5 ＋1，EC'＝EC＝3− 5 ，AB'＝AB＝2，BB'⊥AE，B'M＝BM，
易得四边形B'C'E H′ 为矩形，则E H′ ＝C'B'＝ 5 ＋1，
∵12 B'M×AE＝ 12 AB'×E H′ ，
∴B'M＝ 2×(5+1)23=15+33 ，
∴BB'＝2B'M＝ 215+233 .
故答案为： 215+233 .
【分析】BB交：4E于M，作EH⊥AB于H'，连接BE，利用黄金矩形的定义求出BC的长，再利用正方形的性质得到AG、DE和DG长，在 Rt△ADE 中，利用勾股定理求出AE，然后利用折叠的性质得到CB'、C'E和AB'的长， BB'⊥AE， B'M=BM，则EH'=C'B'，然后利用面积法求出B'M，从而求出BB的长.
13．（2020九上·四川期中）若 k=a+bc=a+cb=b+ca(k≠0) ， 则 k 的值为 ．
【答案】-1或2
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 k=a+bc=a+cb=b+ca(k≠0) ,得
b+c=ak①，a+c=bk②，a+b=ck③，
①+②+③，得
2（a+b+c）=k（a+b+c），
移项，得
2（a+b+c）-k（a+b+c）=0，
因式分解，得
（a+b+c）（2-k）=0
a+b+c=0或k=2，
当 a+b+c=0 时， a+b=−c ，
k=a+bc=−cc=−1 ，
∴k=−1 或2．
故答案为：-1或2．
【分析】将 进行变形，求出k的值即可。
三、解答题
14．（2022九上·宁波月考）已知2a=3b=4c，且2a−b+c=10，求a+2b−3c的值。
【答案】解：∵2a=3b=4c，
∴3a=2b，4a=2c，
∵2a-b+c=10，
∴2a-1.5a+2a=10，
解得：a=4，
∴b=6，c=8，
∴a+2b-3c=4+2×6-3×8=-8.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】由比例性质可得3a=2b，4a=2c，再结合2a-b+c=10，可得到2a-1.5a+2a=10，解得a=4，从而求得b=6，c=8，再代入式中计算即可.
15．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 xa−b=yb−c=zc−a(a，b，c 互不相等)，求 x+y+z 的值.
解：设 xa−b=yb−c=zc−a=k ，则 x=k(a−b) ， y=k(b−c)，z=k(c−a) ，
∴x+y+z=k(a−b+b−c+c−a)=k⋅0=0 ， ∴x+y+z=0 .
依照上述方法解答下列问题：
已知 y+zx=z+xy=x+yz ，其中 x+y+z≠0 ，求 x+y−zx+y+z 的值.
【答案】解：设 y+zx=z+xy=x+yz=k ，
则 y+z=kx，(1)x+z=ky，(2)x+y=kz，(3)
① +②+③得2x+2y+2z=k(x+y+z)，
∵x+y+z≠0 ，
∴k=2 ，
∴ 原式 =2z−z2z+z=z3z=13 .
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【分析】按照题干中的例题思路，设 y+zx=z+xy=x+yz=k ，将这一式子变形可得 y+z=kx， x+z=ky，x+y=kz，再将这三个式子相加，即可求出k的值，从而可以用z表示（x+y）的值，再代入到所求式子中约分化简，即可求解.
四、综合题
16．（2020九上·湖北月考）定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 PBPA=PAAB =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， k=5−12 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 k=5−12 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA【答案】（1）证明：设 AB=1 ， PA=x ，则 PB=1−x ，
由 PBPA=PAAB 得： PA2=PB⋅AB ，
即 x2=1−x ，
解得 x=−1±52 ，
∵x>0 ，
∴x=5−12 ，
∴k=PAAB=x=5−12 ；
（2）解：①设 A(x1,0) ， B(x2,0) ，则 OA=−x1 ， OB=x2 ， AB=x2−x1 ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： x1 ， x2 是方程 x2+nx+2n=0 的两根，
∴x1+x2=−n ， x1x2=2n ，
∵原点 O 是线段 AB 的黄金分割点，且 OA∴OAOB=OBAB ，即 OB2=OA⋅AB ，
∴x22=−x1(x2−x1) ，
整理得： (x1+x2)(x2−x1)=−x1x2 ，
∴−n(x2−x1)=−2n ，
∴x2−x1=2 ，
即 AB=2 ；②A(5−3,0) ， B(5−1,0) .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系；黄金分割
【解析】【解答】（2）②由（2）①得： AB=2 ，
由黄金分割点的定义得： OBAB=OB2=5−12 ，
解得 OB=5−1 ，
则 OA=AB−OB=2−(5−1)=3−5 ，
故 A(5−3,0) ， B(5−1,0) .
【分析】（1）设 AB=1 ， PA=x ，从而可得 PB=1−x ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设 A(x1,0) ， B(x2,0) ，从而可得 OA=−x1 ， OB=x2 ， AB=x2−x1 ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 x1+x2=−n ， x1x2=2n ，然后根据黄金分割点的定义可得 OAOB=OBAB ，从而可得 x22=−x1(x2−x1) ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得.