2024年数学中考一轮复习专题：一元二次方程

这是一份2024年数学中考一轮复习专题：一元二次方程，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．一元二次方程x（x﹣1）=0的解是（ ）
A．x=0 B．x=1
C．x=0或x=﹣1 D．x=0或x=1
2．关于x的方程 x2−3kx−2=0 实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．有一个实数根
3．用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是（ ）
A．（x+4）2=9B．（x-4）2=9C．（x-8）2=16D．（x+8）2=57
4．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14B．11C．10D．9
5．已知有等腰三角形两边长为一元二次方程x2-3x+2=0的两根，则等腰三角形周长是（ ）
A．4B．5C．4或5D．不能确定
6．某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x，则所列方程为（ ）
A．50(1+x)2=80B．50(1−x)2=80
C．50(1+2x)=80D．50(1+x2)=80
7．如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（ ）
A．x（81﹣4x）＝440B．x（78﹣2x）＝440
C．x（81﹣2x）＝440D．x（84﹣4x）＝440
8．若(a2+b2)(a2+b2−2)=8，则a2+b2=（ ）
A．−2B．4或−2C．−4或2D．4
二、填空题
9．若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
10．已知y≠0，且3x2−2xy−8y2=0，求xy= ．
11．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有x个队参赛，根据题意，可列方程为 ．
12．已知 x1 ， x2 是一元二次方程 x2−x−4=0 的两实根，则 (x1+4)(x2+4) 的值是 ．
13．若关于x的一元二次方程x2−(m2−4)x+m−1=0的两根互为相反数，则m= ．
14．对于任意实数a、b，定义一种运算： a⊗b=a2+b2−ab ，若 x⊗(x−1)=3 ，则x的值为 .
15．某工厂废气年排放量为450万立方米，为改善空气质量，决定分两期治理，使废气的排放量减少到288万立方米．如果每期治理中废气减少的百分率相同，设每期减少的百分率为x，则可列方程为 ．
16．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.
三、解答题
17．已知(x+7)2=2021， 求(x+6)(x+8)-9 的值．
18． 已知a是方程2x2−7x−1=0的一个根，求代数式a(2a−7)+5的值．
19． 已知关于x的一元二次方程x2−6x+(2m+1)=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
20．已知一块面积为400cm2的正方形画布.
（1）直接写出正方形画布的边长；
（2）甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布.其中：
甲的方案是：长方形的面积为300cm2，且长宽之比为3：2；
乙的方案是：长方形的面积为150cm2，且长宽之比为5：3.
问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由.
21．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价1元，其销售量增加12个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
22．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：方程x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x=0或x=1．
故选：D．
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：对于关于x的方程 x2−3kx−2=0 ，
∵Δ=(−3k)2−4×1×(−2)=9k2+8>0 ，
∴此方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
3．【答案】A
【解析】【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】∵x2+8x+7=0，
∴x2+8x=-7，
⇒x2+8x+16=-7+16，
∴（x+4)2=9．
∴故选A．
【点评】此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
1+x+x(1+x)=144 ，
解得： x1=11，x2=−13 （舍去），
故答案为：B．
【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：x2-3x+2=0，
(x-1)(x-2)=0，
x-1=0，x-2=0，
解得x1=1，x2=2．
分为两种情况：
①三角形的三边长分别为1、1、2时，
∵1+1=2，
∴此时不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形；
②三角形的三边长分别为1、2、2时，
此时符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此等腰三角形的周长是1+2+2=5．
故答案为：B．
【分析】先求出方程的两个根x1=1，x2=2，再利用三角形三边的关系及等腰三角形的性质求解即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x，
根据题意可得：50(1+x)2=80，
故答案为：A.
【分析】 设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x， 根据“ 三月份的口罩产量是80万个 ”列出方程50(1+x)2=80即可.
7．【答案】D
8．【答案】D
【解析】【解答】解：设 a2+b2=x（x≥0），
则原式可化为x（x-2）=8，
去括号得：x2−2x−8=0
因式分解得：（x-4）（x+2）=0，
解得：x=4或x=-2（舍去），
故答案为：D.
【分析】设 a2+b2=x（x≥0），则原式可化为x（x-2）=8，解方程得x的值，去符合题意的x的值即可求解.
9．【答案】a≠1
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a-1）x2+4x-3=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠1.
【分析】根据一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0，且a、b、c是常数，a≠0；进行分析求解即可得出答案．
10．【答案】2或−43
【解析】【解答】解：∵3x2−2xy−8y2=0，
∴(3x+4y)(x−2y)=0，
∴3x+4y=0或x−2y=0，
∴x=−43y或x=2y，
∵y≠0，
∴当x=−43y时，xy=−43；
当x=2y时，xy=2．
故答案为：2或−43.
【分析】将方程左边利用十字相乘法进行因式分解，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个二元一次方程，解两个方程，用含y的式子表示出x，据此分别求解即可.
11．【答案】12x(x−1)=28
【解析】【解答】解： 设共有x个队参赛， 则每个队比赛（x-1）场
∵参赛的每两个队之间都要比赛一场
∴12x(x−1)=28
故答案为：12x(x−1)=28
【分析】根据 参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛28场即可求出答案。
12．【答案】16
【解析】【解答】 ∵x1 ， x2 是一元二次方程 x2−x−4=0 的两实根，
∴x1+x2=1 ， x1x2=−4 ，
∴(x1+4)(x2+4)
=x1x2+4x1+4x2+16
=x1x2+4(x1+x2)+16
=−4+4×1+16
=−4+4+16
=16 ，
故答案为： 16 ．
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-ba=1，x1·x2=ca=4，将（x1+4）（x2+4）变形为x1x2+4（x1+x2）+16，然后整体代入计算即可.
13．【答案】-2
14．【答案】-1或2
【解析】【解答】解：根据新定义内容可得： x⊗(x−1)=x2+(x−1)2−x(x−1)=3 ，
整理可得 x2−x−2=0 ，
解得 x1=−1 ， x2=2 ，
故答案为：-1或2.
【分析】利用定义新运算可得x⊗(x−1)=x2+(x−1)2−x(x−1)=3，然后求出方程的解即可.
15．【答案】450(1−x)2=288
【解析】【解答】解： 设每期减少的百分率为x， 根据题意，得：450(1−x)2=288。
故答案为： 450(1−x)2=288。
【分析】设每期减少的百分率为x，第一期废气的排放量减少到450（1-x），，第二期废气的排放量减少到450（1-x）2，即可得出方程450(1−x)2=288。
16．【答案】②③④
【解析】【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣ 1p ，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣ 2p ＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝ −b+b2−4ac2a ，x2＝ −b−b2−4ac2a ，
若x1＝2x2，则， −b+b2−4ac2a ＝ −b−b2−4ac2a ×2，
即， −b+b2−4ac2a ﹣ −b−b2−4ac2a ×2＝0，
∴−b+3b2−4ac2a ＝0，
∴b+3b2−4ac ＝0，
∴3 b2−4ac ＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac.
若2x1＝x2时，则， −b+b2−4ac2a ×2＝ −b−b2−4ac2a ，
即，则， −b+b2−4ac2a ×2﹣ −b−b2−4ac2a ＝0，
∴−b+3b2−4ac2a ＝0，
∴﹣b+3 b2−4ac ＝0，
∴b＝3 b2−4ac ，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac.
故④正确，
故答案为：②③④
【分析】 ①先解一元二次方程，求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；
③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=（px+1）（x+q）=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；
④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
17．【答案】解：
【解析】【解答】解：∵ (x+7)2=2021，
∴(x+6)(x+8)-9 =x2+14x+48-9=(x+7）2-10，
=2021-10=2011.
【分析】将原式展开再配方可得(x+7）2-10，然后整体代入计算即可.
18．【答案】解：∵a是方程2x2−7x−1=0的一个根，
∴把x=a代入方程2x2−7x−1=0，得2a2−7a−1=0，
∴2a2−7a=1，
=6．
【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=a代入方程，即可求解．
19．【答案】（1）解：根据题意得Δ=(−6)2−4(2m+1)≥0，解得m≤4；
（2）解：根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，而2x1x2+x1+x2≥20，
所以2(2m+1)+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．
【解析】【分析】（1）首先求出一元二次方程的根的判别式，然后根据方程有实数根，即可得出根的判别式∆≥0，即可求得m的取值范围为 m≤4；
（2）首先根据根与系数的关系，可得 x1+x2=6，x1x2=2m+1， 然后代换为2(2m+1)+6≥20 ，解得 m≥3， 又由（1）知： m≤4，故而得出3≤m≤4．
20．【答案】（1）正方形的边长为20cm
（2）解：甲的方案不可行，乙方案可行.理由如下：
甲方案中，设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则3x⋅2x=300，即6x2=300，x2=50，解得：x=±52，
因为x>0，所以x=52，
∴长方形的长为152cm.
∵152>20，
但正方形纸片的边长只有20cm，因此甲方案不可行：
乙方案中，设长方形纸片的长为5acm，宽为3acm，
则3a⋅5a=150，即15a2=150，解得：a=±10，而a>0，所以a=10
所以长方形的长为510cm，因为510