2024年中考数学探究性试题总复习-- 一元二次方程（10）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 一元二次方程（10），共16页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
一、综合题
1．[阅读材料]
已知x2+y2+8x-6y+25=0，求x，y的值． ．
解：将25拆分为16和9，可得(x2+8x+16)+(y2-6y+9)=0，
即(x+4)2+(y-3)2=0，
∴．x+4=0，y-3=0，
∴x=-4，y=3．
（1）[解决问题]
已知m2+n2-12n+10m+61=0，求(m+n)2023的值；
（2）[拓展应用]已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2=8b+4c-20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．
2．阅读与思考
我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决与非负数有关的问题和求代数式最大值，最小值等问题．
例如：x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
x2+2x+6=x2+2x+1+5=(x+1)2+5，则当x=−1时，x2+2x+6有最小值，最小值是5．
根据材料用配方法解决下列问题．
（1）若多项式x2+6x+k是一个完全平方式，则常数k的值为____．
A．9B．-9 C．±9D．36
（2）分解因式：x2−2x−8．
（3）当x为何值时，多项式x2−4x+3有最小值?并求出这个最小值．
3．提出问题
为解方程(x2−2)2−11(x2−2)+18=0，我们可以将x2−2视为一个整体，然后可设x2−2=y，则(x2−2)2=y2，于是原方程可转化为y2−11y+18=0，解此方程，得y1=2，y2=9．
当y1=2时，x2−2=2，x2=4，∴x=±2；
当y2=9时，x2−2=9，x2=11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程x4−3x2−4=0．
（2）已知实数m，n满足(m+3n)(m+3n−2)=2m+6n−4，求4m+12n−3的值．
4．阅读下列材料：
材料1：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单.
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值.
解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程−x2+2x+1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= .x1x2= .
（2）类比应用：在（1）的条件下，求x2x1+x1x2的值.
（3）思维拓展：已知实数s、t满足4s2+3s−4=0，4t2+3t−4=0，且s