2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次函数（12）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次函数（12），共26页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
一、综合题
1．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”
例如(−3，−3)、(1，1)、(2023，2023)都是“不动点”，已知双曲线y=9x
（1）下列说法错误的是（ ）
A．直线y=x的图象上有无数个“不动点”
B．函数y=−1x的图象上没有“不动点”
C．直线y=x+1的图象上有无数个“不动点”
D．函数y=x2的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线y=9x上的“不动点”；
（3）若抛物线y=ax2−3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当a>1时，求c的取值范围．
②如果a=1，过双曲线y=9x图象上第一象限的“不动点”作平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．
2．综合与探究．
如图1，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)经过(2，−3)，(−2，3)，且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求证：△AOC∼△COB．
（3）如图2，动点P从点B出发，沿着线段BA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段AC向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接PQ，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，△APQ是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
3．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点(1，1)是函数y=12x+12的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数y=x+1，y=x2−x的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x(x>0)，y=−x+b的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图像记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图像记为W2，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.
4．如图1，对于平面上小于或等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d(∠MON，P).如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角记为∠xOy.
（1）已知点A(4，0)、点B(3，1)，则d(∠xOy，A)= ，d(∠xOy，B)= .
（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d(∠xOy，P)=4，在图2中画出点P运动所形成的图形.
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=43x(x≥0).
①在图3中，点C的坐标为(4，1)，试求d(∠xOT，C)的值；
②在图4中，抛物线y=−12x2+2x+c经过A(5，0)，与射线OT交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当d(∠xOT，Q)取最大值时点Q的坐标.
5．如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=12aℎ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及SΔCAB；
（3）是否存在一点P，使S△PAB=98S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
6．定义：若直线y=−1与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线L1：y=−x2与直线y=−1相交于P，Q．
（1）抛物线L1的“反碟长”PQ= ．
（2）抛物线随其顶点沿直线y=12x向上平移，得到抛物线L2．
①当抛物线L1的顶点平移到点(6，3)，抛物线L2的解析式是 ▲ ．抛物线L2的“反碟长”是 ▲ ．
②若抛物线L2的“反碟长”是一个偶数，则其顶点的纵坐标可能是 ▲ ．（填写所有正确的选项）
A.15 B.16 C.24 D.25
③当抛物线L2的顶点A和抛物线L2与直线y=−1的两个交点B，C构成一个等边三角形时（点B在点C左右），求点A的坐标．
7．综合与探究
已知抛物线C1：y=ax2+bx−5(a≠0)．
（1）当抛物线经过(−1，−8)和(1，0)两点时，求抛物线的函数表达式．
（2）当b=4a时，无论a为何值，直线y=m与抛物线C1相交所得的线段AB（点A在点 B的左侧）的长度始终不变，求m的值和线段AB的长．
（3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y=m翻折得到抛物线C2，抛物线C1，C2的顶点分别记为G，H．是否存在实数a使得以A，B，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点 A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为(﹣1，0)．
（1）求b的值和点B，C的坐标；
（2）若点D为OC的中点，点P为第一象限内抛物线上的一点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC，BD分别交于点E，F，且PE=EF=FH，求点P的坐标；
（3）若直线y=nx+n（n≠0）与抛物线交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且有一个交点在第一象限，其中x13，y2>y1，结合函数图象，探究n的取值范围．
9．一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.
【初步探究】
（1）求证：△AQG是等腰三角形；
（2）记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；
（3）【深入探究】
将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
②在①的条件下，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.
10．定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图像与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：y=2x2+4x−5的友好同轴二次函数为y=−x2−2x−5.
（1）函数y=14x2−2x+3的友好同轴二次函数为 .
（2）当−1≤x≤4时，函数y=(1−a)x2−2(1−a)x+3(a≠0且a≠1)的友好同轴二次函数有最大值为5，求a的值.
（3）已知点(m，p)，(m，q)分别在二次函数y1=ax2+4ax+c(a>12且a≠1）及其友好同轴二次函数y2的图像上，比较p，q的大小，并说明理由.
11．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，BC=23，∠BOC=60°，D为BC中点.某反比例函数过点D，且与直线OC交于点E.
（1）点E的坐标为 .
（2）好奇的小明在探索一个新函数.若点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q，交该反比例函数图象于点R.若y′=PQ+PR，点P横坐标为x.y′关于x的图像如图2，其中图像最低点F、G横坐标分别为（2，2）、（−2，−2）.
①求y′与x之间的函数关系式.
②写出该函数的两条性质.
（3）已知1