2024年中考数学探究性试题总复习-- 锐角三角函数（20）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 锐角三角函数（20），共27页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
一、综合题
1．
（1）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察图4－17，直线l1∥l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。
（2）【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值；
（3）【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cs∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC；
（4）【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF=10 2 ，求⊙O的半径．
2．定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线。如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC=S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×
①平行四边形是倍分四边形（ ）
②梯形是倍分四边形（ ）
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB=3，AD=DC=5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA=BC，以BC为直径的00分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形。
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E(如图③)，若OF=3，求DE．
3．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究.
（1）【初步尝试】我们知道：tan60°= ，tan30°= .
发现：tanA 2tan(12A)（填“=”或“≠”）.
（2）【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求tan(12A)的值”这一问题时，小邕想构造包含12A的直角三角形，延长CA到点D，使DA=AB，连接BD，所以可得∠D=12∠BAC，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求tan(12A)的值.
（3）【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=13.请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值.
4．综合与实践
[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动，并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具，要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度.
[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：
第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），明确需要测量的数据和测量方法：用卷尺测量测角仪CD的高度和测角仪底部C与旗杆底部A之间的距离，用测角仪测量旗杆顶端B的仰角α；
第二步，进行组员分工，制作测量数据记录表；
第三步，选择不同的位置测量三次，依次记录测量数据；
第四步，整理数据，计算旗杆的高，撰写研究报告.
如表是该组同学研究报告中的数据记录和计算结果：
（1）表中n的值为 ；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是 .
（2）该测量模型中，若CD=a，AC=b，仰角为α，用含a，b，α的代数式表示旗杆AB的高度为 .
（3）[拓展应用]第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，固定测角仪的高度为1m，先在点C处测得旗杆顶端B的仰角α=30°，然后朝旗杆方向前进14m到达点H处，再次测得旗杆顶端B的仰角β=60°，请你帮他们求出旗杆AB的高度（结果保留根号）.
5．定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；
【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；
【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．
6．如图，点G在线段AC上，AG=6，点B是线段AG上一动点，以AB为边向下方作正方形ABEF，以BC为腰向下方作等腰直角三角形BCD，∠CBD=90°，当AB＜BC时，2BG－DE=4．
（1）如下表，某同学分别用特殊值法和一般法求CG的长，请你将解答过程补充完整．
（2）过点A，F，G的⊙O交边CD于点H．①连结GH，FH，若△CGH是等腰三角形，求AB的长．②当⊙O与边CD有两个交点时，求AB的取值范围．
7．我们给出以下定义：如图（1）若点P在不大于90°的∠MON的内部，作PQ⊥OM于点Q，PI⊥ON于点I，则PQ+PI称为点P与∠MON的“点角距离”记作d(P，∠MON).如图（2）在平面直角坐标系xy中，x、y的正半轴组成的∠XOY，O为坐标原点.
（1）如图（2）点A(4，1)，则d(A，∠XOY)= ；
（2）若点B为∠XOY内一点，d(B，∠XOY)=6，以点B为圆心r为半径作圆，⊙B与x轴、y轴均相切，求点B的坐标；
（3）已知点C(2，4).
①已知点D的坐标为(1，3)，求OC的解析式和d(D，∠COY)的值.
②已知点E(s，t)在∠COY的内部，d(E，∠COY)=255t−355s，当s为大于0的任意实数时，代数式mt−5s−ms+3m（m为常数）的值为定值，求m的值及该定值.
8．如图
（1）【基础巩固】如图1，△ABC和△ADE都是等边三形，点B、D、E在同条直线上，AC与BE交于点F.求证：△ADF∽△CEF.
（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，若EF=2DF=4，求CF的长度.
（3）【拓展提高】
如图3，在平行四边形ABCD中，∠BAG=∠EAD=∠EDA=60°，BE=3，FD=2，求tan∠BAE的值.
9．某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC沿x轴平移（边AB在x轴上，点C在x轴上方），其中A（a，0），三角形ABC与反比例函数y=23x（x>0）交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：
（1）第一小组提出“当a＝2时，求点D的坐标”；
（2）第二小组提出“若AD＝CE，求a的值”：
（3）第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点E′，点E′恰好也在y=23x（x>0）上，求a的值”；
10．如图，在矩形ABCD中，AD=nAB(n>1)，点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H.
（1）【尝试初探】在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由.
（2）【深入探究】若n=2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值.
（3）【拓展延伸】连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）.
11．知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA=ac，sinB=bc
∴c=asinA，c=bsinB
∴asinA=bsinB
（1）拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究asinA，bsinB，csinC之间的关系，并写出探究过程．
（2）解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
12．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 O 处，另一端系小重物 G .测量时，使支杆 OM 、量角器90°刻度线 ON 与铅垂线 OG 相互重合（如图①），绕点 O 转动量角器，使观测目标 P 与直径两端点 A、B 共线（如图②），此目标 P 的仰角 ∠POC=∠GON .请说明两个角相等的理由.
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 K 处测得顶端 P 的仰角 ∠POQ=60∘ ，观测点与树的距离 KH 为5米，点 O 到地面的距离 OK 为1.5米；求树高 PH . （ 3≈1.73 ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 P 距离地面高度 PH （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 E、F （ E、F、H 在同一直线上），分别测得点 P 的仰角 α、β ，再测得 E、F 间的距离 m ，点 O1、O2 到地面的距离 O1E、O2F 均为1.5米；求 PH （用 α、β、m 表示）.
答案解析部分
1．【答案】解：∵△ABC1 ， △ABC2 ， △ABC3 ， △ABC4 同底等高 ∴S△ABC1=S△ABC2=S△ABC3=S△ABC4 【基础巩固】（2）如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，求阴影面积与圆面积的比值； 解：连结OC、OD ∵AD∥MN∴S△AON=S△DON 同理， S△BON=S△CON∴S阴影=S扇形CNDO=14S圆∴阴影面积与圆面积的比为 14 【尝试应用】（3）如图2，在半径为5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cs∠BOC＝x，用含x的代数式表示S△ABC； 解：∵BD＝CD，BO＝CO，DO＝DO∴△BDO≌△CDO∴∠BDO＝∠CDO ∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BDO∵∠ACO＝2∠BDO∴∠BAC＝∠ACO ∴CO∥AB∴∠ABO＝∠BOC， S△ABC=S△ABO 连接AO，过点O作 OH⊥AB 于点H ∴BH=OB×cs∠ABO=5×cs∠BOC=5x ， AB=2AH=10x OH=51−x2 ， ∴S△ABC=S△ABO=12AB⋅OH=25x1−x2 【拓展提高】（4）如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF＝CB，连接BF交CD于点E，若BF＝8EP，S△CEF=10 2 ，求⊙O的半径． 解：连结DF，BD，OD∵AB为直径， CD⊥AB 于点P ∴弧CB＝弧BD，CP＝PD又∵CF＝CB∴弧CF＝弧CB＝弧BD ∴∠BFD＝∠CBF，弧FCB＝弧CBD∴BC∥DF ，BF＝CD 设EP＝a则CD＝8a，PC＝PD＝4a，CE＝3a ∵弧CF＝弧BD∴∠DCB＝∠CBF∴BE＝CE＝3a， PB=BE2−EP2=(3a)2−a2=22a∵BC∥DF∴S△CBF=S△CBD∴S△EBD=S△CBD=S△CBE=S△CBF−S△CBE=S△CEF∴12ED⋅PB=125a⋅22a=102∴a=2∴PB＝4， PD=42 在Rt△ODP中， OP2+PD2=OD2 ，设⊙O半径为r， 则 (r−4)2+(42)2=r2 解得r＝6∴⊙O的半径为6
（1）解：∵△ABC1 ， △ABC2 ， △ABC3 ， △ABC4 同底等高
∴S△ABC1=S△ABC2=S△ABC3=S△ABC4
（2）解：连结OC、OD
∵AD∥MN∴S△AON=S△DON 同理， S△BON=S△CON
∴S阴影=S扇形CNDO=14S圆∴阴影面积与圆面积的比为 14
（3）解：∵BD＝CD，BO＝CO，DO＝DO
∴△BDO≌△CDO
∴∠BDO＝∠CDO
∴∠BDC＝∠BAC＝2∠BDO
∵∠ACO＝2∠BDO
∴∠BAC＝∠ACO
∴CO∥AB∴∠ABO＝∠BOC， S△ABC=S△ABO
连接AO，过点O作 OH⊥AB 于点H
∴BH=OB×cs∠ABO=5×cs∠BOC=5x ， AB=2AH=10x OH=51−x2 ，
∴S△ABC=S△ABO=12AB⋅OH=25x1−x2
（4）解：连结DF，BD，OD
∵AB为直径， CD⊥AB 于点P
∴弧CB＝弧BD，CP＝PD
∵CF＝CB
∴弧CF＝弧CB＝弧BD
∴∠BFD＝∠CBF，弧FCB＝弧CBD∴BC∥DF ，BF＝CD
设EP＝a，则CD＝8a，PC＝PD＝4a，CE＝3a
∵弧CF＝弧BD
∴∠DCB＝∠CBF
∴BE＝CE＝3a，
PB=BE2−EP2=(3a)2−a2=22a
∵BC∥DF∴S△CBF=S△CBD∴S△EBD=S△CBD=S△CBE=S△CBF−S△CBE=S△CEF
∴12ED⋅PB=125a⋅22a=102
∴a=2∴PB＝4， PD=42
在Rt△ODP中， OP2+PD2=OD2 ，
设⊙O半径为r，
则 (r−4)2+(42)2=r2
解得r＝6
∴⊙O的半径为6
2．【答案】（1）①√；②×.
（2）解：作DE⊥AC交AC于点E，
∵AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB
∴12AC×AB=12AC×DE
∴DE=AB=3
∵DE⊥AC，AD=DC=5，
∴∠DEA=90°，AC=2AE
∴AE=AD2−DE2=4
∴AC=2AE=8
∴BC=AB2+AC2=73
（3）解：①连结OM交CN于点H，连结BM
∵BC为⊙O的直径
∴∠BNC=∠BMC=90°
∵BA=BC，
∴AM=CM，S△BMC=S△ABM>S△BMN
∴倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BNC=S△MNC
在Rt△ANC中，MN=CM=AM=12AC
∴弧MN=弧MC
∴OM⊥NC，NH=CH
设OH=a，则BN=2OH=2a
∵S△BNC=S△MNC
∴MH=BN=2a
∴OC=OM=OH+MH=3a，BC=6a
∴Rt△COH中，CH=OC2−OH2=22a
∴Rt△CMH中，MC=MH2+CH2=23a
∴BM=BC2−CM2=26a
∴sin∠ACB=BMBC=26a6a=63
②连结OM交CN于点H，作MF中点P，连结DP
∵F为OC中点，∴OC=2OF=6，BC=2OC=12，BF=9
∴在Rt△BCM中，BM=BC×sin∠ACB=12×63=46
∴MC=BC2−BM2=43
由①得BN=MH，∠BND=∠MHD=90°，∠BDN=∠MDH，
∴ΔBDN≅ΔMDH（AAS）
∴DM=BD=12BM=26
∴CD=DM2+CM2=62
∵P为MF的中点，
∴DP为△MBF的中位线
∴DP=12BF=4.5，且PD∥BC
∴△DPE∽△CFE
∴DECE=PDCF=4.53=32
∴DE=35CD=35×62=1852
3．【答案】3,33,≠【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求tan(12A)的值”这一问题时，小邕想构造包含12A的直角三角形，延长CA到点D，使DA=AB，连接BD，所以可得∠D=12∠BAC，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求tan(12A)的值【答案】解：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB=AC2+BC2=5. ∴AD=AB=5，∴∠D=∠ABD，∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+5， ∴tan12A=tanD=BC5+2=5−2.【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=13.请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值.【答案】解：如图2，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE. 则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE. ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=13.∴BC=1，AB=10.设AE=x，则EC=3−x，在Rt△EBC中，x2=(3−x)2+1， 解得x=53，即AE=BE=53，EC=43. ∴tan2A=tan∠BEC=BCEC=34.
（1）3；33；≠
（2）解：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴AB=AC2+BC2=5.
∴AD=AB=5，
∴∠D=∠ABD，
∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+5，
∴tan12A=tanD=BC5+2=5−2.
（3）解：如图2，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE.
则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE.
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA=13.
∴BC=1，AB=10.
设AE=x，则EC=3−x，
在Rt△EBC中，x2=(3−x)2+1，
解得x=53，即AE=BE=53，EC=43.
∴tan2A=tan∠BEC=BCEC=34.
4．【答案】（1）13.1；减小误差
（2）btanα+a
（3）解：由题意得：DC=FH=AE=1m，DF=CH=14m，∠DEB=90°，∠BFE=60°，∠BDF=30°，
∵∠BFE是△DBF的外角，
∴∠DBF=∠BFE−∠BDF=30°，
∴∠BDF=∠DBF=30°，
∴FD=FB=14m，
在Rt△BFE中，BE=BF·sin60°=14×32=73，
∴AB=BE+AE=1+73，
∴旗杆AB的高度为(1+73)m.
5．【答案】解：【性质初探】过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，
∵▱ABCD，
∴AE∥BC，
∴AG＝EH，
∵四边形ABCE恰为等腰梯形，
∵AB＝EC，
∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），
∴∠B＝∠ECH，
∵∠B＝80°，
∴∠BCE＝80°；
【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，
∵四边形BCEF是等腰梯形，
∴BF＝CE，
由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，
∴△BFC≌△CEB（SAS），
∴BE＝CF；
【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
∵GO⊥AC，
∴AC＝CG，
∵AB∥CD，∠ABC＝45°，
∴∠DCG＝45°，
∴∠CDG＝90°，
∴CD＝DG，
∴BA＝DG＝2，
∵∠CDG＝90°，
∴CG＝2 2，
∴AG＝22，
∵∠ADC＝∠DCG＝45°，
∴∠CDM＝135°，
∴∠GDM＝45°，
∴GM＝DM＝2，
在Rt△AGM中，（22）2＝（AD+2）2+（2）2，
∴AD＝6﹣2，
∴BC＝6﹣2．
6．【答案】（1）解：如图，
探究1：∵AG=6，BG=3
∴AB=3
∵四边形ABEF是正方形
∴BE=AB=3
又∵2BG－DE=4
∴DE=6－4=2
∴BD=3+2=5
∵△BCD是等腰直角三角形
∴BC=BD=5∴CG=BC－BG=5-3=2
探究2：
∵2BG－DE=4
∴DE=2x－4
∵四边形ABEF是正方形，AG=6
∴BE=AB=6－x
∵△BCD是等腰直角三角形∴CG=BC－BG=BD－BG=2x－4＋6－x－x=2
（2）解：①Ⅰ．当CG=GH时，∠C=∠GHC=45°
∴∠CGH=90°=∠AGH，GH=CG=2
∵∠A+∠FHG=180°，∠A=90°
∴∠FHG=90°∴四边形AFHG是矩形
∴AF=GH=2∴AB=2Ⅱ．当CG=CH时，CH=2，作HM⊥AC，HN⊥AF，
CM=HM=2=AN
∴MG=2−2，HN=AM=8−2
∵∠GHM=∠FHN，tan∠GHM=2−22
∴FN=HN⋅tan∠FHN=(8−2)×2−22=92−10
∴AB=AN+NF=102-10．
②当点D在圆上时，连结DF，DG，设AB=m，则EF=m，
BC=BD=8-m，BG=6-m，DE=DB-BE=8-m-m=8-2m，
由△DEF~△GBD得，DEEF=BGBD，即8−2mm=6−m8−m解得m1=5−333，m2=5+333(舍去).
当⊙O与边CD相切于点H时，连结FG，OH，作OR//AC
交CD于点R，作OP⊥AC，RQ⊥AC，易知PG=AP=3，设OP=n，
则QR=n=CQ，OR=PQ=5−n，
∴OH=22(5−n)
由OG=OH得[22(5−n)]2=n2+32，解得n=42−5.AB=AF=82−10
综上所述，82−10≤AB≤5−333.
7．【答案】（1）5
（2）解：如图，过点B作BE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵d(B，∠XOY)=6，
∴BE+BF=6，
∵⊙B与x轴、y轴均相切，
∴BE=BF，
∴BE=BF=3，
∴点B的坐标为(3，3)；
（3）解：设直线OC的解析式为y=kx(k≠0)，
把点C(2，4)代入得：4=2k，解得：k=2，
∴直线OC的解析式为y=2x；
过点D作DG⊥y轴于点G，过点D作DH⊥OC于点H，连接CD，
∵C(2，4)，D(1，3)，O(0，0)，
∴DG=1，OC=22+42=25，OD=12+32=10，CD=(2−1)2+(4−3)2=2，
设OH=x，则CH=25−x，
在Rt△CDH中，DH2=CD2−CH2=2−(25−x)2，
在Rt△ODH中，DH2=OD2−OH2=10−x2，
∴2−(25−x)2=10−x2，解得：x=755，
∴DH2=OD2−OH2=10−(755)2=15，则DH=55（负值舍去），
∴d(D，∠COY)=1+55；
②过点E作EM⊥y轴于点M，过点E作EN⊥OC于点N，
∵E(s，t)，
∴ME=s，
把y=t代入y=2x，得：t=2x，解得：x=t2，
∴P(t2，t)，则OM=t，MP=t2，
∴PE=t2−s，
根据勾股定理可得：OP=OM2+MP2=52t，
∴sin∠MPO=OMOP=255，
∴EN=PE⋅sin∠MPO=255×(t2−s)=55t−255s，
∴d(E，∠COY)=ME+NE=55t−255s+s
∵d(E，∠COY)=255t−355s，
∴55t−255s+s=255t−355s，整理得：s+55s=55t，
即t=s+5s，
∵当s为大于0的任意实数时，代数式mt−5s−ms+3m（m为常数）的值为定值，
∴mt−5s−ms=0，则mt=5s+ms，
把t=s+5s代入得：(m+5m)s=(5+m)s，
∴m=1，
把m=1代入mt−5s−ms+3m得：t−5s−s+3=3，
综上：m=1，定值为3.
8．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠AED=∠ACB=60°，
∴A，B，C，E四点共圆，∠BEC=∠BAC=60°，
∴∠ADF=∠CEF，
∵∠AFD=∠CFE，
∴△ADF∽△CFE
（2）解：∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，
∵EF=2DF=4，
∴DF=2，AD=DE=AE=6，
∵△ADF∽△CEF，
∴AFCF=DFEF=ADCE=12，CE=12，
∵∠BAD+∠DAF=∠DAF+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=12，
∵∠AEF=∠BCF=60°，∠AFE=∠BFC，
∴△AFE∽△BFC，
设AF=a，CF=2a，
∴AFBF=EFCF，a14=42a，解得a=27，
∴CF=47.
（3）解：如图添加辅助线，构造以AB为边的等边△ABH，连接DH，过点B作BM⊥AE交AE的延长线于点M，
∵∠EAD=∠EDA=60°，
∴△EAD是正三角形，
∵∠BAE+∠EAF=∠EAF+∠HAD=60°，
∴∠BAE=∠HAD，
在△BAE和△HAD中， AB=AH∠BAE=∠HADAE=AD，
∴△BAE≌△HAD，
∴∠AEB=∠ADH=120°，BE=DH=3，
∴∠FDH=∠AED=60°，
∴AE∥DH，
∴△AEF∽△HDF，AEHD=EFDF，
设EF=x，AE=ED=x+2，
则x+23=x2，
解得x=4，
∴AE=6，
在Rt△BEM中，∠BEM=60°，
∴EM=BE⋅cs60°=32，BM=BE⋅sin60°=332，
∴tan∠BAE=BMAM=33232+6=35.
9．【答案】（1）解：过点C作CH⊥AB，
∵等边三角形ABC
∴AC=AB=2，AH=1，∠AFC=90°，∠CAH=60°，
∴CF=AHtan∠CAH=tan60°=3
∵a=2，
∴点C（3，3）
设直线AC的函数解析式为y=kx+b
∴2k+b=03k+b=3
解之：k=3b=-23
∴y=3x−23
与反比例函数联立方程组y=3x−23y=23x
解得：x1=3+1，x2=−3+1（舍去）
带入y=3x−23可得点D(3+1，−3+3)
（2）解：过点D作DF⊥x轴，垂足为点F设AF=m，则DF=3m
∴点D(a+m，3m)
因为AD=CE∴点E(a+m+1，3(1−m))
因为点D，E均在反比例函数y=23x上
∴3ma+m=23①a+m+1·31-m=23②
由（1）得：a+m=2m（3）
带入（2）得(2m+1)(1−m)=2
化简得：2m−m−3=0
由（3）得： a=2m−m=3
（3）解：连接CE′，过点E做EG⊥x轴，垂足为点G
易得△ACE′≌△ABE
∴∠ACE′=∠ABC=60°
∴∠ACE′=∠BAC=60°
故CE′∥AB
∴点C(1+a，3)，点E′(2，3)
∴CE′=BE=a−1
∴BG=a−12，EG=3(a−1)2∴E(a+52，3(a−1)2)
∵点E在反比例函数y=23x上
∴a+52⋅3(a−1)2=23
解得：a1=−2+17，a2=−2−17（舍去）
故a=−2+17
10．【答案】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴ABDE=AEDH，
∴2x4x−a=ax，解得：x=(2+2)a2或(2−2)a2，
∴AB=(2+2)a或(2−2)a，
∴tan∠ABE=AEAB=2−22或2+22
（3）解：∵矩形EBFG∽矩形ABCD，AD=nAB(n>1)，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH，
∴EH=n2BE，
∵△ABE∽△DEH，
∴DEAB=EHBE=n2，即DE=n2AB，
∴AE=AD−DE=n2AB，
∴tan∠ABE=AEAB=n2；
如图，当FH=BF=nBE时，
HG=FH2−FG2=n2−1FG=n2−1BE，
∴EH=EG−HG=(n−n2−1)BE，
∵△ABE∽△DEH，
∴DEAB=EHBE=n−n2−1，即DE=(n−n2−1)AB，
∴AE=AD−DE=n2−1AB，
∴tan∠ABE=AEAB=n2−1；
综上所述，tan∠ABE的值为n2或n2−1.
11．【答案】（1）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．
在RtΔABE中，sinB=AEAB=AEc，
同理：sinB=CDBC=CDa，sin∠BAC=CDAC=CDb，sin∠BCA=AEAC=AEb．
∴AE=csinB，AE=bsin∠BCA， CD=asinB，CD=bsin∠BAC．
∴csinB=bsin∠BCA，asinB=bsin∠BAC．
∴bsinB=csin∠BCA，asin∠BAC=bsinB．
∴asin∠BAC=bsinB=csin∠BCA．
（2）解：在ΔABC中，∠CBA=180∘−∠A−∠C=180∘−75∘−60∘=45∘.
∵ABsinC=ACsin∠CBA，
∴ABsin60∘=60sin45∘
解得：AB=306
答：点A到点B的距离为AB=306m．
12．【答案】（1）解：由题意可知
∠PON=90°，∠COM=90°，
∴∠POC=90°-∠CON，∠GON=90°-∠CON，
∴∠POC=∠GON.
（2）解：过点O作OQ⊥PH于点Q，
由题意可知四边形OKHQ是矩形，
∴OQ=KH=5，OK=QH=1.5，
在Rt△PQO中，∠POQ=60°，
∴PQ=OQtan∠POQ=5tan60°=53
∴PH=PQ+QH≈5×1.73+1.5≈10.2.
答：树高为10.2m.
（3）解：过点O1作O1D⊥PH于点D，
由题意可知DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，
在Rt△PDO1和Rt△PDO2中
tanα=PDO1D，tanβ=PDO2D，
O1D=PDtanα，O2D=PDtanβ，
∵O2D-O1D=O1O2=m
∴O1D=PDtanα，O2D=PDtanβ
∴PDtanβ-PDtanα=m
解之：PD=mtanαtanβtanα-tanβ
∴PH=PD+DH=mtanαtanβtanα-tanβ+1.5
答：PH的长为mtanαtanβtanα-tanβ+1.5米.测量组别
CD的长（米）
AC的长（米）
仰角α
计算AB的高（米）
位置1
1
14.4
40°
13.1
位置2
1
16.2
36°
12.8
位置3
1
15.9
38°
13.4
平均值
13.1
研究结论：旗杆的高为n米
探究1
假设BG=3，求CG的长．
探究2
设BG=x，求CG的长．
解：…
解：…