2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次根式（7）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 二次根式（7），共14页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
一、综合题
1．观察下列各式．
第1个等式：1−12=12
第2个等式：4−43=223
第3个等式：9−94=334
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）第4个等式：
（2）请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第n个等式，并给出证明．
2．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：a−b>0，则a>ba−b=0，则a=ba−b0，n>0)，使得(m)2+(n)2=a，即m+n=a，且使m⋅n=b，即m⋅n=b，那么a±2b=(m)2+(n)2±2m⋅n=(m±n)2∴a±2b=|m±n|，双重二次根式得以化简.
例如化简：3±22，
因为3=1+2且2=1×2，
∴3±22=(1)2+(2)2±21×2∴3±22=|1±2|，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成a±2b的形式，且能找到m，n(m>0，n>0)使得m+n=a，且m⋅n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：5±26= ，12±235= ；
（2）化简：9±62；
（3）计算：3−5+2±3.
14．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22＝（1+2）2.设a+b2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b2＝m2+2n2+2mn2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b2的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3＝（m+n3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ .
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + 5＝（ + 5）2；
（3）化简116−67−111+47
15．我们知道，（3）2=3，(3+5)(3−5)=32−(5)2=4，…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式.如3+5与3−5互为有理化因式.利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例如：13=33×3=33，12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+31=2+3.
（1）25分母有理化的结果是 ；
（2）111+10分母有理化的结果是 ；
（3）1n+1−n分母有理化的结果是 ；
（4）利用以上知识计算：11+3+13+5+15+7+⋯+12021+2023.
16．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例1：1+13=3+13=4×13=213
特例2：2+14=8+14=9×14=314
特例3：3+15=415
特例4： .(填写一个符合上述运算特征的例子)；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简：2022+12024×4048= .
17．阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−1=2(3−1)2=3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a+b=2，ab= -3 ，求a2+b2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b ， y = ab ，则a2+b2=(a+b)2−2ab=x2−2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：13+1+15+3+17+5+...+12019+2017；
（2）m 是正整数， a =m+1−mm+1+m，b =m+1+mm+1−m且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
（3）已知15+x2−26−x2=1，求15+x2+26−x2的值．
18．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22＝（1+2）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2＝（m+n2）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2＝m2+2n2+22mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3＝（m+n3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + 3＝（ + 3 ）2；
（3）若a+63＝（m+n3）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
答案解析部分
1．【答案】（1）16−165=445
（2）解：猜想：n2−n2n+1=nnn+1
证明如下：
∵左边=n3+n2n+1−n2n+1=n3n+1
右边=n2·nn+1=n3n+1
∴左边=右边，
∴猜想成立
2．【答案】（1）5；6−29
（2）解：2−23−(−3)=5−23=25−23>0，
∴2−23>−3；
（3）解：100+98−299=(100−99)−(99−98)
=(100−99)(100+99)(100+99)−(99−98)(99+98)(99+98)
=1(100+99)−1(99+98)
∵100+99>99+98，
∴1(100+99)−1(99+98)