浙教版-2023年七年级上册数学举一反三系列 专题2.8 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】（学生版+教师版）

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专题2.8 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9285" 【题型1 归类法】  PAGEREF _Toc9285 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27198" 【题型2 凑整法】  PAGEREF _Toc27198 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc30854" 【题型3 逆向法】  PAGEREF _Toc30854 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc8638" 【题型4 拆项法】  PAGEREF _Toc8638 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc3031" 【题型5 组合法】  PAGEREF _Toc3031 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13946" 【题型6 裂项相消法】  PAGEREF _Toc13946 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc27960" 【题型7 倒数求值法】  PAGEREF _Toc27960 \h 11【知识点1 归类法】运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.【题型1 归类法】【例1】（2022春•普陀区校级期中）计算：8+（﹣1）﹣5﹣（）．【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可．【解答】解：8+（﹣1）﹣5﹣（）＝（8﹣5）+[（﹣1）﹣（）]＝3+（）＝2．【变式1-1】（2022春•徐汇区校级期中）计算：．【分析】利用有理数的加减混合运算，进行计算即可．【解答】解：原式 ．【变式1-2】（2022秋•青浦区期中）计算：．【分析】运用加法交换律和结合律计算．【解答】解：原式＝21＝（21）+（）1＝1．【变式1-3】（2022秋•和平区校级月考）计算：（1）；（2）﹣5．【分析】（1）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可；（2）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可．【解答】解：（1）＝31214＝（32）+（﹣11）﹣4＝1﹣4；（2）﹣5＝（﹣59）+（173）＝﹣1514＝﹣1．【知识点2 凑整法】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消.【题型2 凑整法】【例2】（2022秋•普陀区期末）计算：3.43﹣26.57﹣5．【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算．【解答】解：3.43﹣26.57﹣5＝（3.43+6.57）﹣（25）＝10﹣8＝2．【变式2-1】（2022秋•济南期末）计算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．【分析】根据有理数加减法放入法则进行计算即可．【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5）＝﹣20+15＝﹣5．【变式2-2】（2022秋•上蔡县月考）计算：（1）22（﹣5）﹣（﹣5）．（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可；（2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可．【解答】解：（1）22（﹣5）﹣（﹣5）＝2255＝（25）+（25）＝8﹣3＝5；（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18＝3.75﹣5.18+2.25+5.18＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18）＝6．【变式2-3】（2022秋•石景山区校级期中）计算：（﹣12.7）﹣（﹣5）﹣87.3+3．【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可得出结果．【解答】解： ＝（﹣12.7﹣87.3）+（53）＝﹣100+9＝﹣91．【知识点3 逆向法】主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而使得计算变得更加简单.【题型3 逆向法】【例3】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算．【分析】先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取，并利用加法结合律计算，最后进行有理数的乘法运算即可得解．【解答】解：（﹣92）+（）×3423，923423，（92﹣3423），（92﹣11），81，＝18．【变式3-1】（2022秋•兰山区月考）252525×（）【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解．【解答】解：252525×（）＝25×（）＝25×0＝0．【变式3-2】（2022秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算：（1）（﹣9）×31（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；（2）99（﹣36）．【分析】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝31（﹣9﹣8+16）＝31（﹣1）＝﹣31；（2）原式＝（100）×（﹣36）＝100×（﹣36）（﹣36）＝﹣3600＝﹣3599．【变式3-3】（2022秋•红谷滩区校级期中）简便计算（﹣48）×0.125+48【分析】利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；【解答】解：（﹣48）×0.125+48＝48×（）＝0.【知识点4 拆项法】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【题型4 拆项法】【例4】（2022秋•安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”计算：﹣5．解：原式0启发应用用上面的方法完成下列计算：【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（），再根据有理数的加减运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（）＝﹣4+（）＝﹣4．【变式4-1】（2022秋•铁西区期末）计算：1.5﹣（﹣4）+3.75﹣（+8）．【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝1438＝﹣7+8＝1．【变式4-2】（2022秋•浦东新区期中）计算：．【分析】可按法则从左往右算求出结果；亦可把带分数写成整数与分数和的形式，再利用加法的交换律和结合律，把整数与分数分别相加．【解答】解：原式＝52（5﹣2）+（）＝3+（）＝3＝3．【变式4-3】（2022秋•凉山州期末）：．【分析】写成几个整数的和以及几个分数的和即可．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（）]+[（﹣2022）+（）]+4044+（）＝（﹣2021﹣2022+4044）+（）＝1+（﹣1）＝0．【知识点5 组合法】找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目.【题型5 组合法】【例5】（2022秋•南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝　﹣50　．【分析】根据结合律，可得答案．【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣9999＝49﹣99＝﹣50，故答案为：﹣50．【变式5-1】（2022秋•襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，正好为4的倍数，从而得出结论．【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．【变式5-2】（2022秋•工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（　　）A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101【分析】原式两项两项合并正好得50个（﹣1），最后计算结果即可．【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+⋯+（99﹣100） ＝﹣50，故选：B．【变式5-3】（2022秋•工业园区月考）计算：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；（2）||+||﹣||．【分析】（1）两个一组计算，再相加即可求解；（2）先计算绝对值，再抵消计算即可求解．【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2）＝﹣2×25＝﹣50；（2）||+||﹣|| ＝0．【知识点6 裂项相消法】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【题型6 裂项相消法】【例6】（2022秋•嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的计算．他们的解法如下：解： 根据阅读材料，请你完成下列问题：（1）计算：；（2）直接写出结果：　　；（不需要计算过程）（3）计算：．【分析】（1）将原式裂项，再两两抵消计算可得；（2）原式利用（）裂项求和即可得；（3）利用相同的方法裂项计算可得．【解答】解：（1）原式；（2）原式[（1）+（）+（）+（）+（）]（1），故答案为：；（3）原式【变式6-1】（2022秋•遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：先观察下列等式：，，将以上等式两边分别相加得：然后用你发现的规律解答下列问题：（1）猜想并写出：　　；（2）直接写出下列各式的计算结果：①　　；②　　；（3）探究并计算：．【分析】（1）观察上述式子，发现拆项规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简所求式子，计算即可得到结果；（3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：；（2）①原式＝11；②原式＝11；（3）原式（）（）．故答案为：（1）；（2）①；②【变式6-2】（2022秋•虹口区期末）先阅读，再答题1，，， 根据你发现的规律，试写出（1）；（2）　　；计算：．【分析】（1）根据题目中的式子，可以写出相应的结果；（2）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果；（3）根据题目中式子的特点，可以计算出相应的结果．【解答】解：（1）；（2）； ＝1＝1．故答案为：；．【变式6-3】（2022秋•高安市期中）阅读下面的文字，完成解答过程．（1）1，，，则　　，并且用含有n的式子表示发现的规律．（2）根据上述方法计算：．（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：　（）　（其中n，k均为正整数），并计算．【分析】（1）根据题中给出的列子可直接得出结论；（2）分别计算出，，的值，再进行计算即可；（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可．【解答】解：（1）∵1，，，∴．故答案为：；（2）∵（1），（），（），∴（1）（1）．故答案为：；（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：（）．（1）．故答案为：（）．【题型7 倒数求值法】【例7】（2022秋•城厢区校级月考）先阅读理解，再回答问题计算：．解：（方法一）原式＝ （方法二）原式的倒数为＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10．故原式．请阅读上述材料，选择合适的方法计算：．【分析】首先应用乘法分配律，求出原式的倒数是多少；然后用1除以原式的倒数，求出算式的值是多少即可．【解答】解：原式的倒数为：（）÷（）＝（）×（﹣54）36+12 ∴原式．【变式7-1】（2022秋•南开区期中）（）÷（）．【分析】先求所求式子的倒数，然后计算即可．【解答】解：原式的倒数是（）÷（）＝（）×（﹣20）（﹣20）（﹣20）（﹣20）（﹣20）＝5+8+（﹣18）+30＝25，故原式．【变式7-2】（2022秋•宽城县期末）阅读下列材料：计算：，解法一：原式．解法二：原式．解法三：原式的倒数．所以原式．（1）上述得到的结果不同，你认为解法 　一　是错误的；（2）计算：　15　；（3）请你选择合适的解法计算：．【分析】（1）有理理数的除法没有分配律，据此可判断；（2）利用乘法的分配律进行求解即可；（3）仿照解法三进行解答即可．【解答】解：（1）除法没有分配律，故解法一错误，故答案为：一；（2）363636＝18﹣9+6＝15，故答案为：15；（3）原式的倒数＝（）÷（）＝（）×（﹣210）（﹣210）（﹣210）（﹣210）（﹣210）＝﹣90﹣28+63+50＝﹣5，∴．【变式7-3】（2022秋•怀安县期末）先计算，再阅读材料，解决问题：（1）计算：（）×12（2）选择合适的方法计算：（）÷（）【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；（2）先求出原式倒数，再可以求出所求式子的值．【解答】解：（1） ＝3+2﹣6＝﹣1；（2）原式的倒数是： ＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，故原式．