初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性学案

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知识精讲
知识点01 等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
【微点拨】
等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
【即学即练1】如图，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD相交于点P，且AD＝AE，连接AP．
(1)求证：AP平分∠DAE；
(2)连接BC，求证：△ABC为等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据AD＝AE，AP＝AP，利用HL可证得△ADP≌△AEP，即可求证；
（2）根据∠APD＝∠APE，可得∠APB＝∠APC，可证得△ABP≌△ACP，可得AB＝AC，即可求证．
【详解】(1)证明：∵BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，
∴∠ADP＝∠AEP＝90°，
∵AD＝AE，AP＝AP，
∴△ADP≌△AEP（HL），
∴∠DAP＝∠EAP，
∴AP平分∠DAE；
(2)证明：由（1）得∠APD＝∠APE，
∵∠BPD=∠CPE，
∴∠APB＝∠APC，
又AP＝AP，∠DAP＝∠EAP，
∴△ABP≌△ACP（ASA），
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
知识点02 等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
【即学即练2】如图，AD⊥BC，AD＝BD，∠C=70°，求∠BAC的度数．
【答案】∠BAC=65°
【分析】先根据△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD求出∠BAD的度数，再由∠C=70°求出∠CAD的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∵∠C=70°，
∴∠CAD=90°-70°=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+20°=65°．
知识点03 等腰三角形的判定
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
【微点拨】
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【即学即练3】如图，在中，，点D在边上，过点D作，，且．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）由题意易证 ≌，即得出；
（2）根据等角对等边即可证明．
【详解】(1)∵在和中
，
∴ ≌，
∴，
∴；
(2)∵，
∴AB=AC．
能力拓展
考法01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
【典例1】如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，．
(1)求度数；
(2)求的周长．
【答案】(1)20°；(2)22
【分析】(1)由等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出∠CAD度数；
(2)由平行线的性质及等腰三角形性质可得到AM=NM，则求△BMN的周长可转化成求线段AB和线段BN的和，由题中给出的条件即可求出结果．
【详解】(1)解：∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
又∵为的中点，
∴平分，
∴，
故度数为20°；
(2)解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长=16+6=22．
故的周长为22．
考法02 等腰三角形的判定
判定方法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形
在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）
【典例2】如图，点，，，四点共线，且，，．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据AC=BD可得AD=BC，然后利用已知条件根据ASA即可证明全等；
（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF，再结合等角对等边可得，最后利用线段的和差即可求得EG的长度．
【详解】解：（1）证明：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
∴AD=BC，
在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF（ASA）；
（2）∵△ADE≌△BCF，
∴∠ADE=∠BCF，
∴，
∵，
∴．
分层提分
题组A 基础过关练
1．在中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意易得是等边三角形，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴；
故选C．
2．在中，，，，则AB的长是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC=4，
故选：C．
3．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．1.8kmB．3.6kmC．3kmD．2km
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
【详解】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵M点是AB的中点，AB＝3.6km，
∴CM＝AB＝1.8km．
故选：A．
4．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．5B．8C．11D．5或11
【答案】A
【分析】根据题意当腰为5或底边为5时，分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：当腰长为5时，底边长为21﹣2×5＝11，三角形的三边长为5，5，11，不能构成三角形；
当底边长为5时，腰长为（21﹣5）÷2＝8，三角形的三边长为8，8，5，能构成等腰三角形；
所以等腰三角形的底边为5．
故选：A．
5．若等腰三角形的底角为55°，则这个等腰三角形的顶角是________°．
【答案】70
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：∵等腰三角形的底角为55°，
∴等腰三角形的顶角为，
故答案为：70．
6．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角的度数为________．
【答案】65°
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为50°，
∴它的底角的度数为 ．
故答案为：65°
7．直角三角形中，若斜边上的高和中线分别为3cm、4cm，则三角形的面积为 ___．
【答案】
【分析】直角三角形中，根据斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边值、再由三角形的面积公式计算即可得解．
【详解】直角三角形中，∵斜边上的中线为4cm，
∴斜边长为8cm，
∵斜边上的高为3cm，
∴三角形的面积为，
故答案为：．
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB＝9，AD＝6，则△AED的周长为 ___．
【答案】15
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可求得BE=DE，则可求得答案．
【详解】解：∵ED∥BC，∴∠EDB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠ABD，
∴DE=BE，
∴AE+ED+AD=AE+BE+AD=AB+AD=9+6=15，
即△AED的周长为15，
故答案为：15．
9．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．
【答案】见解析
【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．
【详解】证明：如图，过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF-DF=CF-EF，
∴BD=CE．
10．如图，平分，点C在线段上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行和角平分线得出，再证△ADE≌△ACB即可．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
在△ADE和△ACB中，
∴△ADE≌△ACB，
∴．
题组B 能力提升练
1．在等腰三角形中，是的高，若，则的底角的度数为（ ）
A．或B．或C．或或D．或或
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到，再利用等边对等角的性质可得，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：如图，，，
，
∵，
，
．
如图，当，垂直于延长线，
∵，
∴，
∴，底角为；
当，垂直于，；底角为，
故选：D．
2．如图，在中，，BD平分交AC于点D．若，则的大小为（ ）
A．66°B．70°C．72°D．75°
【答案】C
【分析】根据等边对等角，可得∠ABD=∠A，根据角平分线的性质，∠ABD=∠CBD=，根据三角形内角和为180°列等式，将其它角都代换成计算即可．
【详解】∵BD=AD
∴∠ABD=∠A
∵BD平分
∴∠ABD=∠CBD=，
∴∠A=
∵，
∴
∴
故选 C．
3．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．三角形的三个内角中至少有两个是锐角
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等
【答案】D
【分析】由等边三角形的判定可判断A，由三角形的内角和定理可判断B，由等腰三角形的判定可判断C，由垂直平分线的性质可判断D，从而可得答案．
【详解】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，故A不符合题意；
三角形的三个内角中至少有两个是锐角，正确，故B不符合题意；
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，正确，故C不符合题意；
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到三条顶点的距离相等，原说法错误，故D符合题意；
故选D
4．等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（ ）
A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm
【答案】C
【分析】设这个等腰三角形的第三边长为，先根据三角形的三边关系定理可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：设这个等腰三角形的第三边长为，
则，即，
等腰三角形的两腰相等，
，
则这个等腰三角形的周长为，
故选：C．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则斜边上的中线CD＝_____．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【详解】解： 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，
由勾股定理得：
∵CD是直角三角形ACB的斜边AB上中线，
∴CD= AB=，
故答案为：．
6．如图，在中，，，，点为的中点，则的值是________．
【答案】3
【分析】根据30°角的直角三角形的性质得到AB=6cm，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到结果．
【详解】∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3cm，
∴AB=2BC=6cm，
又∵D为AB的中点，
∴CD=AB=3cm．
故答案为：3．
7．如图，在中，点D在边BC上，，点E，点F分别是AC，BD的中点，，则AC的长为______．
【答案】7
【分析】连接AF，根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行解答即可得．
【详解】解：如图所示，连接AF，
∵AB=AD，点F分别是BD的中点，
∴，
在中，点E分别是AC的中点，，
∴，
故答案为：7．
8．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB＝100°，则∠AFB的度数为_____．
【答案】130°
【分析】根据等边三角形的性质得出∠FAE的度数，再根据三角形外角的性质得出∠AFB的度数即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，
∴∠EAF＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵∠AEB＝100°，
∴∠AFB＝∠AEB＋∠EAF＝30°＋100°＝130°，
故答案为：130°．
9．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2
(1)说明△ADE≌△BFE的理由；
(2)联结EG，那么EG与DF的位置关系是 ，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)EG⊥DF，见解析
【分析】（1）根据平行线的性质及中点的性质，利用ASA即可求解．
（2）根据角的等量关系可得DG=FG，可得三角形DGF是等腰三角形，由根据全等三角形的性质可得DE=EF，进而可求解．
【详解】(1)解：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠F，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（ASA）．
(2)EG⊥DF，理由如下：
∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠F，
∴DG＝FG，
∴△DGF是等腰三角形，
由（1）知：△ADE≌△BFE，
∴DE＝EF，
∴EG⊥DF，
故答案为：EG⊥DF．
10．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
(1)求证：BD=AE．
(2)判断AD与AE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD丄AE，理由见解析
【分析】（1）只需要利用SAS证明△ACE≌△BCD即可得到BD=AE；
（2）先证明∠B＝∠CAE，再由△ABC是等腰直角三角形，得到∠CAE＝∠B＝45°，则∠DAE＝∠BAC＋∠CAE＝90°，由此即可得到结论．
【详解】(1)解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE；
(2)解：AD丄AE，理由如下：
由（1）可知：△BCD≌△ACE，
∴∠B＝∠CAE，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠BAC＝45°
∴∠CAE＝∠B＝45°，
∴∠DAE＝∠BAC＋∠CAE＝90°，
∴AD⊥AE．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【答案】C
【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【详解】连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=NC，
∵BC=6，
∴MN=2．
故选：C．
2．如图，在ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，∠DCE的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．65°
【答案】D
【分析】根据等腰三角形及三角形内角和得出∠ACB的度数，从而由平角知道∠ACD的度数，又因为CE为角平分线，从而得出∠DCE的度数．
【详解】由题尺规作图得CE为∠ACD的角平分线
∴
在ABC中，BA＝BC，∠B＝80°
∴
∵
∴
∴
故选：D．
3．如图，在中，和的角平分线相交于点，过点做交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：①；②点到各边的距离相等；③；④设，，则．其中结论正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，再逐个判断即可．
【详解】解： 过作于，于，如图1，
平分，
，
，
，
，
，
同理，
，
故①正确；
和的平分线交于，，，，
，，
，即点到各边的距离相等，
故②正确；
和的平分线交于，
，，
，
，
故③正确；
连接，如图2，
，，
，
故④正确；
即正确的是①②③④，
故选：D．
4．如图，已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点（，不与点重合）连接，连交射线于点，且，当是等腰三角形时，则的度数为（ ）
A．或或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】分两种情况：①当，即时，②当，即时，运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得的度数，根据、的度数以及的内角和即可求解．
【详解】解：∵，OE平分，
∴．
∵，
∴，
当，即时，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
当，即时，
∵，，
∴．
∵，
∴．
综上所述，的度数为或．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，分别交AB，AC于点E，F，BE＝DE，DF＝6，点D到BC的距离为4，则△DFC的面积为 _____．
【答案】12
【分析】由等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠EDB=∠CBD，可得，再利用三角形的面积计算可求解．
【详解】解：∵DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EDB=∠CBD，
∴，
∵DF=6，点D到BC的距离为4，
∴S△DFC=×6×4=12．
故答案为：12．
6．如图，是等边的角平分线，，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为__________．
【答案】
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由是等边的角平分线，根据等边三角形的性质可得，，进而可得，然后由直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，，然后由，可得，代入数据计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵线段的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵是等边的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
7．如图，在中，，，是的平分线且，若、分别是、上的动点，则的最小值是______．
【答案】9.6
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【详解】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC=BC•AD=AC•BQ，
∴．
故答案为：9.6．
8．如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接MN，∠DMN=70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a、b分别交与点D、E，
（1）当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置：___________________；
（2）当△NPE是等腰三角形时，则∠NPE的度数为___________________．
【答案】 MN中点处 70°或40°或55°
【分析】（1）根据全等三角形对应边相等得到MP=NP，即点P是MN的中点；
（2）需要分类讨论：PN=PE、PE=NE、PN=NE．
【详解】（1）∵a//b
∴∠DMN=∠PNE，∠MDE=∠DEN，
∴当△MPD与△NPE全等时，即△MPD≌△NPE时MP=NP，
即点P是MN的中点．
故答案为：MN中点处
（2）①若PN=PE时，
∵∠DMN=∠PNE=70°，
∴∠DMN =∠PNE=∠PEN=70°．
∴∠NPE=180°-∠PNE-∠PEN=180°-70°-70°=40°．
∴∠NPE =40°；
②若EP=EN时，则∠NPE =∠PNE=∠DMN =70°；
③若NP=NE时，则∠PEN=∠NPE，此时2∠NPE=180°-∠PNE=180°-∠DMN =180°-70°=110°
∴∠NPE =55°；
综上所述，∠NPE的值是40°或70°或55°．
故答案为：40°或70°或55°．
9．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．
(1)如图1，试说明BE＝CF．
(2)如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．
【答案】(1)见解析
(2)BN=MG，见解析
【分析】（1）根据垂线的性质即等量代换得∠ABD＝∠ACE，利用ASA可得△ABD≌△FCD和△ACE≌△BCE，根据其性质即可求解．
（2）过点M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，利用ASA可得△BPH≌△MPG，进而可得GM＝BH，利用ASA可得△BMN≌△HMN，可得BN＝NH，进而可求解．
【详解】(1)解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（ASA），
∴AB＝CF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝22.5°，
在△ACE和△BCE中，
，
∴△ACE≌△BCE（ASA），
∴AE＝BE，
∴BEABCF．
(2)（2）BNMG，理由如下：
过点M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，如图所示：
∵BD＝CD，BD⊥CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵，
∴∠PMB＝∠DCB＝∠PBM＝45°，∠BPM＝∠BDC＝90°，
∴BP＝PM，
∵∠BHP+∠HBP＝90°，∠BHP+∠HMN＝90°，
∴∠HBP＝∠HMN，
在△BHP和△MGP中，
，
∴△BPH≌△MPG（ASA），
∴GM＝BH，
∵MN⊥AB，CE⊥AB，
∴MN∥CE，
∴∠BMN＝∠BCE∠ACB＝22.5°，
∴∠BMN＝∠HMN＝22.5°，
在△BMN和△HMN中，
，
∴△BMN≌△HMN（ASA）
∴BN＝NH，
∴BNBHMG．
10．如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°．
(1)尺规作图：
①作△ABC的高AD；
②作∠CAD的平分线AE，交BC于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：△AEC是等腰三角形；
(3)若AC＝6，求AB的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）①先以A为圆心，大于A到的距离为半径画弧，得与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过A与两弧的交点画线段，交于D，则可得答案；
②先以A为圆心，任意长为半径画弧，得与的两边相交的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过A与两弧的交点画线段，交于E，则可得答案；
（2）利用三角形的高的含义先求解，再利用角平分线的性质求解，从而可得结论；
（3）利用含的直角三角形的性质求解，再证明，再利用勾股定理可得答案．
【详解】(1)解：①如图，则AD为所作；
②如图，则AE为所作．
(2)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAC＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴EA＝EC，
∴△AEC是等腰三角形；
(3)在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，
∴AD＝AC＝×6＝3，
在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴．
11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD＝BE．
(1)求证：；
(2)若∠BDC＝70°，求∠DBC的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)40°
【分析】（1）由“ASA”可证△ABD≌△ECB；
（2）由全等三角形的性质可得BD=BC，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】(1)∵ADBC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
(2)∵△ABD≌△ECB
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝70°，
∴∠DBC＝40°．
12．已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂足为D，交BC于点F．
(1)如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若AD＝4，求BC的长．
【答案】(1)△ABC为直角三角形，理由见解析；(2)8
【分析】（1）根据已知求得∠BAD＝∠CAD＝∠B，由∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，求得∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，即可求出∠ACD＝60°，得到△ABC为直角三角形；
（2）过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．于是得到∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，求得∠BCG＝∠G，根据等式的性质得到AG＝BC，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】(1)解：△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AE＝AC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CDF＝90°，
∴∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD，
又∵∠BAC＝2∠B，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B，
∵∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，
∴∠BAF＝∠B＝∠CAD＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCA＝90°，
即△ABC为直角三角形；
(2)如图2，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．
则：∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，
又∵∠BAF＝∠B，
∴∠BCG＝∠G，
∴CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG，
∴AG＝BC，
在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，
∴AG＝2AD＝2DG，
∴BC＝2AD，
∵AD＝4，
∴BC＝2AD＝8．
13．如图所示，点E，F在BC上且．
(1)求证：；
(2)若PO平分，则PO与线段BC有什么关系?为什么?
【答案】(1)见详解
(2)PO垂直平分BC；理由见详解
【分析】（1）根据已知条件证明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）即可得出结论；
（2）根据Rt△ABF≌Rt△DCE可得出∠E＝∠F，即△PEF为等腰三角形，又因为PO平分∠EPF，根据三线合一可知PO垂直平分EF，从而得出PO垂直平分BC．
【详解】(1)证明：∵BE＝CF，BC＝CB，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，
∵
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴；
(2)解：PO垂直平分BC，
∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠E＝∠F，
∴△PEF为等腰三角形，
又∵PO平分∠EPF，
∴PO⊥BC（三线合一），EO＝FO（三线合一），
又∵EB＝FC，
∴BO＝CO，
∴PO垂直平分BC．
14．在中，，是边上一点，点在的右侧，线段，且．
(1)如图1，若＝60°，连接CE，DE．则的度数为 ; BD与CE的数量关系是 ．
(2)如图2，若＝90°，连接、．试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)60°；BD＝CE
(2)的形状是直角三角形；理由见解析
【分析】（1）在中，由等腰对等角可得，利用SAS证明可得BD＝CE；
（2）先证，再利用SAS证明，得出，进而得出．
【详解】(1)解：在中，
∵，＝60°
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
，
∴BD＝CE，
故答案为：60°，BD＝CE；
(2)解：的形状是直角三角形．
理由：
∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴．
在和中，
∵，
，
∴，
∴，
即的形状是直角三角形．
课程标准
课标解读
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
1.理解等腰三角形是轴对称图形
2.掌握等边对等角的性质
3.掌握“三线合一”的性质