初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理导学案

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知识点01 勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．
【微点拨】
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，， ．
【即学即练1】《九章算术》中有一道题目译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分有3尺，牵绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽”．设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设绳索的长为x尺，则木柱高为（x-3）尺，长8尺构成直角三角形，利用勾股定理列方程．
【详解】解：设绳索的长为x尺，由题意得，
故选：B．
知识点02 勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
【即学即练2】在学习勾股定理的过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与儿何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ）
A．分类思想B．类比思想C．统计思想D．数形结合思想
【答案】D
【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：D．
知识点03 勾股定理的作用
1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.与勾股定理有关的面积计算；
4.勾股定理在实际生活中的应用．
【即学即练3】如图所示的图形是由两个直角三角形和三个正方形组成的，其中三个正方形阴影部分的面积和是56，大直角三角形一边长为6，则斜边长（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】A
【分析】根据图形面积，可求出大正方形面积为28，即AB2＝28，由此即可求出AC．
【详解】解：由图形可知，两个小正方形的面积和＝大正方形的面积，
∵三个正方形阴影部分的面积和是56，
∴AB2＝28，
∴AC2＝AB2+BC2＝28+36＝64，
∴AC＝8．
故选：A．
考法01 用勾股定理解三角形
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.
【典例1】如图，中，，，是边靠近点的三等分点，，则长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】作交AD于点E，求出，再求出，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：作交AD于点E，
∵，
∴，
∴E是AD中点，
∵，，
∴，
∵是边靠近点的三等分点，E是AD中点，
∴，
∴．
故选：C
题组A 基础过关练
1．如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（ ）
A．B．C．D．25
【答案】C
【分析】直接利用勾股定理解答即可．
【详解】解：由勾股定理可得：AC=．
故答案为C．
2．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（ ）
A． B．28C．128D．100
【答案】D
【分析】由勾股定理即可求出答案．
【详解】由勾股定理可知：．
故选：D．
3．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，他们少走的路长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用勾股定理可得，再利用即可得．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
即他们少走的路长为，
故选：D．
4．直角三角形的两条直角边长分别为2和3，那么它的斜边的长是（ ）
A．或B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，斜边长，
故选：D．
5．在如图所示的直角三角形中，x=____．
【答案】13
【分析】直接利用勾股定理求解即可得出结果．
【详解】解：，
故答案为：13．
6．如图，，，，．若，则AD的长为__________．
【答案】13
【分析】多次利用勾股定理求相关边的长即可．
【详解】解：在Rt△BCD中，
∵∠C=90°
∴△BCD是直角三角形
在Rt△BCD中
∵BC=3，CD=4
由勾股定理可得：
∵∠ABD=90°
∴△ABD是直角三角形
在Rt△ABD中
∵BA=12，BD=5
由勾股定理可得：
故答案为：13．
7．如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长．
【答案】△ABC的面积为，CD的长为cm
【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高．
【详解】解：∵∠ACB=90
∴
∵
∴
∴
答：△ABC的面积为，CD的长为cm．
题组B 能力提升练
1．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线平移至的位置，连接，则的长是（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】根据题意得到△DCE≌△ABC，进而得到DE=2，∠CBD=∠CDB=30°，求出BE=2DE=4，利用勾股定理求出BD即可．
【详解】解：∵将沿直线平移至的位置，是边长为2的等边三角形，
∴△DCE≌△ABC，
∴∠E=∠ACB=60°，∠DCE=∠ABC=60°，DE=2，CD=AB=BC，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，BE=2DE=4，
∴BD=，
故选：C．
2．如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA与点D，PE⊥OB与点E，若OD=4，OP=5，则PE的长为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理列式求出PD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD．
【详解】解：∵OD=4，OP=5，PD⊥OA，
∴由勾股定理得，，
∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=3．
故选A．
3．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（ ）．
A．28B．50C．26D．169
【答案】B
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求解．
【详解】根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积是：，即，
则．
故选：B．
4．如图，字母B所代表的正方形的边长是（ ）
A．12B．15C．144D．306
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出字母B所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△DEF中，由勾股定理得，DF2＋EF2＝DE2，
∴字母B所代表的正方形的面积＝EF2＝DE2−DF2＝225−81＝144（cm2），
∴字母B所代表的正方形的边长＝12（cm），
故选A．
5．周长为24，斜边长为10的直角三角形面积为________．
【答案】24
【分析】设直角三角形两直角边长为a，b，由周长与斜边的关系得a+b＝14，中由完全平方公式和勾股定理求出ab的值，即可求出三角形的面积．
【详解】解：解：设直角三角形两直角边长为a，b，
∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10，
∴24﹣（a+b）＝10，
即a+b＝14，
由勾股定理得：a2+b2＝102＝100，
∵（a+b）2＝142，
∴a2+b2+2ab＝196，
即100+2ab＝196，
∴ab＝48，
∴直角三角形的面积＝ab＝24，
故答案为：24．
6．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．
【答案】16
【分析】利用勾股定理，求出空白部分面积，通过间接作差得出阴影部分面积．
【详解】解：由题意作出如下图，
得，BD＝5-3＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，
则大正方形面积＝AC2＝34，
△ADC面积＝（5×3−2×3）＝，
阴影部分的面积S＝34−4×＝16，
故答案为：16．
7．如图，在中，，垂足为D，．求AC的长．
【答案】
【分析】由勾股定理可先求出BD的长，然后设，则，进而根据勾股定理可建立方程求解
【详解】解：，
，
∵，
∴在中，，
设，则，
在中，，即，
解得，，即
8．如图，在中，，，，CD是高．求CD的长．
【答案】
【分析】在中，由勾股定理可求得AB的长度，然后根据等积法即可求得CD的长．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
又∵CD是的高，
∴，
解得：，
∴CD的长为．
9．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，．求的长和四边形的面积．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而再利用直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半求出AC、AB的长，即可得出四边形ABCD的面积．
【详解】过点作，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
10．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米．
【答案】(1)见解析
(2)两个村庄相距41千米．
【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
（2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
【详解】(1)解：∵S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a-b），S四边形AECD=c2，
它们满足的关系式为：a（a+b）=b（a-b）+c2，
即a2+b2=c2；
(2)解：如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC=AE，CE=AB，
∴DE=AD-AE=25-16=9千米，
∴CD= =41（千米），
∴两个村庄相距41千米．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5cm的小木棒，点A、C、E共线．若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（ ）
A．7cmB．6cmC．8cmD．8cm
【答案】C
【分析】过点作于点，过点作于点，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，利用勾股定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
（等腰三角形的三线合一），
，
，
又，
（等腰三角形的三线合一），
故选：C．
2．如图中，，，点F是延长线上一点，过点F作，交延长线于点D，点E是的中点，若，则的长是（ ）
A．3B．5C．6.5D．6
【答案】C
【分析】延长FE交BC于G，根据平行线的性质及利用可得，根据全等三角形的性质可得FE=GE，CG=DF=5，进而可得BG的长，再利用勾股定理求出FG即可求得答案．
【详解】解：延长FE交BC于G，如图所示：
∵，
∴，
又∵点E是DC的中点，
∴DE=CD，
在△DFE和△CGE中，
，
∴，
∴FE=GE，CG=DF=5，
∴BG=BC-CG=10-5=5，
在Rt△FBG中，∠B=90°，
∴，
∴，
故选：C．
3．如图在四边形中，，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，交于点O，若点O是的中点，则的长为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC.再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=4，等量代换得到FC=AF=6，利用线段的和差关系求出FD=AD-AF=1.然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．
【详解】解：如图，连接FC，由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF=FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
∴△FOA≌△BOC(AAS)∴AF=BC=4，
∴FC=AF=4，FD=AD-AF=1，
在△FDC中，∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，
即CD2+12=42，
解得CD=．
故选：A．
4．如图，已知为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使，连接DE，若，则的面积（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点C作CF⊥DE于点F，根据等边三角形的性质得出BD⊥AC，AD=CD，∠ACB=60°，∠ABD=∠CBD=30°，利用等边对等角确定∠CDE=30°，设CF=x，则CD=2x，根据勾股定理求解确定CD=1，利用含30度角的直角三角形的性质得出AC=2，再由勾股定理得出BD=，根据面积公式求解即可．
【详解】解：过点C作CF⊥DE于点F，
∵∆ABC为等边三角形，BD为中线，
∴BD⊥AC，AD=CD，∠ACB=60°，∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠DCE=120°，
∵CE=AD，
∴CD=CE，
∴∠CDE=30°，
∴CF是DE的垂直平分线，
∴DF=，
∴设CF=x，则CD=2x，
∴，
解得：x=（负值舍去），
∴CD=1，
∴AC=2，BD=，
∴∆ABC的面积为：，
故选：B．
5．如图，折叠直角三角形纸片，直角顶点C恰好落在斜边AB的中点E处，已知，则DE之长为___．
【答案】
【分析】根据折叠和直角三角形的性质可得，继而得出，再结合含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】折叠直角三角形纸片，直角顶点C恰好落在斜边AB的中点E处，
，即，
，
，
，
，
，
设，则，由勾股定理得，
解得（舍去），
，
故答案为：．
6．已知Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，则图中阴影部分面积为 _____．
【答案】24
【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆的面积与的面积的和减去以为直径的半圆面积即可求解．
【详解】解：Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，
，
．
故答案为：．
7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为______．
【答案】
【分析】过A点作AF垂直于CD的延长线于F点，构造直角三角形，计算出AC的长，再证明△ABC是等腰三角形，然后在Rt△ABE中根据勾股定理计算BE的长．
【详解】
∵AB//CD，AB⊥BD
∴CD⊥BD
∴∠ABD=∠CDB=
延长CD至F，作AF⊥CF于F点
则∠BDF= ，∠F=
∴四边形ABDF是矩形
∴AF=BD=4，DF=AB=5
∵CD=3
∴CF=5+3=8
∵AC=
∵Rt△BCD中，CD=3，BD=4
∴BC=5
∴AB=BC
∵△ABC是等腰三角形
∵点E是AC的中点
∴，且BE⊥AC
∵==5
∵
故答案为．
8．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到S2022的值．
【详解】解：如图所示，△CDE为等腰直角三角形，
则CE=DE，，
∴，
即，
同理可得：，，
∴．
故答案为：．
9．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，，的顶点在的斜边上，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)AC=
【分析】（1）根据△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，可直接得到相等的边和相等的角，用“边角边证明出全等即可”；
（2）根据全等的性质，得到对应角∠E=∠CDB，对应边AE=BD=5，通过角度的等量代换，得到△ABD是直角三角形，勾股定理即可求出AB的长度，最后用勾股定理求出AC即可．
【详解】(1)证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴EC=DC，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即：∠ECA=∠DCB
在△EAC和△DBC中，
∴(SAS)(2)由（1）可知
∴∠E=∠CDB，AE=BD=5
∵∠E+∠ADC=90°
∴∠CDB+∠ADC=90°，即∠ADB是直角
∵AE=5，DE=17
∴AD=17-5=12
在Rt△ADB中，由勾股定理可得：
∴，即∶，
解得：AC=．
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C方向，朝着点C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

(1)在运动过程中，当t 取何值时，点P恰好在∠BAC的角平分线上；
(2)在运动过程中，当t 取何值时，△PBC是等腰三角形．
【答案】(1)t＝时，点P恰好在∠BAC的角平分线上
(2)当t的值为1.4或2或2.5时，△PBC是等腰三角形
【分析】（1）当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，在△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，证明Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），得AD＝AC＝8，从而求得BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，求解即可；
（2）由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，分三种情况：BC=BP；PC=BC；PC=PB，分别求得点P运动的路程，再除以速度即可得出答案．
【详解】(1)解：如图，当点P在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，
∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，
∴PD＝PC.
由题意知，PD=PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t，BP＝2t﹣10.
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8；
∵PC=PD，AP=AP，
∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴AD＝AC＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝2.
在Rt△BDP中，22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得t＝．
(2)解：①若BC＝BP，
则点P运动的长度为AP＝2t，
∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2.
②若PC＝BC，
过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH.
在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AB•CH＝AC•BC，
∴10CH＝8×6，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝＝＝3.6，
∴BP＝2BH＝7.2.
∴点P运动的长度为AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，
∴2t＝2.8，
∴t＝1.4.
③若PC＝PB，
则∠PCB=∠B.
∵∠PCB+∠PCA =∠A+∠B=90°，
∴∠PCA =∠A
∴AP=PC=PB=5.
点P运动的长度为AP＝2t＝5，
∴t＝2.5．
综上，t的值为1.4或2或2.5．
课程标准
课标解读
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，
会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。