浙教版2023年九年级上册数学举一反三系列 专题4.2 平行线分线段成比例【八大题型】（学生版+教师版）

这是一份浙教版2023年九年级上册数学举一反三系列 专题4.2 平行线分线段成比例【八大题型】（学生版+教师版），文件包含专题42平行线分线段成比例八大题型教师版-2023年九年级上册数学举一反三系列浙教版docx、专题42平行线分线段成比例八大题型学生版-2023年九年级上册数学举一反三系列浙教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

专题4.2 平行线分线段成比例【八大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16849" 【题型1 “#”字型】  PAGEREF _Toc16849 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8485" 【题型2 “X”字型】  PAGEREF _Toc8485 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc29812" 【题型3 “A”字型】  PAGEREF _Toc29812 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24151" 【题型4 “8”字型】  PAGEREF _Toc24151 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc3625" 【题型5 判断比例式】  PAGEREF _Toc3625 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc11121" 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】  PAGEREF _Toc11121 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc11730" 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】  PAGEREF _Toc11730 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc14006" 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】  PAGEREF _Toc14006 \h 23【知识点1 平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，．【题型1 “#”字型】【例1】（2022•醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝2，BC＝3，EF＝2，那么DE的长是（　　）A．2 B． C．1 D．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，∴，∴DE，故选：B．【变式1-1】（2022•福建模拟）如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F．已知AB＝3，BC＝2，DE＝6，则DF等于（　　）A．4 B．9 C．10 D．15【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，即，∴EF＝4，∴DF＝EF+DE＝4+6＝10，故选：C．【变式1-2】（2022秋•清苑区期中）如图，直线a∥b∥c，点A，B在直线a上，点C，D在直线c上，线段AC，BD分别交直线b于点E，F，则下列线段的比与一定相等的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，故选：B．【变式1-3】（2022秋•长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，AC＝24（1）求BC的长；（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质求出AB，再计算AC﹣AB即可；（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，则BE＝FN＝AD＝4，所以CN＝16，根据平行线分线段成比例定理，由BM∥CN得到，然后求出BM后计算EM+BM即可．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得AB＝9，∴BC＝AC﹣AB＝24﹣9＝15；（2）作AN∥DF交CF于N，交EB于M，如图，易得四边形ADEB和四边形ADFN为平行四边形，∴BE＝FN＝AD＝4，∴CN＝CF﹣FN＝20﹣4＝16，∵BM∥CN，∴，即，BM＝6，∴BE＝EM+BM＝4+6＝10．【题型2 “X”字型】【例2】（2022春•莱西市期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，再根据AD：DF＝3：1，BE＝12，可计算出CE的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴3，∴BC＝3CE，∴CEBE12＝3，故选：A．【变式2-1】（2022•广西模拟）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10，，则AG的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出AG的长．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，又∵DG＝2，DF＝10，，∴，∴AG＝4．故选：C．【变式2-2】（2022秋•船山区校级期末）如图：AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长为（　　）A．2 B．4 C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵AD：AF＝3：5，BE＝12，∴，解得：BC，∴CE＝BE﹣BC＝12，故选：C．【变式2-3】（2022秋•合肥校级期末）如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HDDF，则的值为（　　）A．1 B． C． D．【分析】设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，由平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AH＝2HDDF，∴设DH＝x，则AH＝2x，DF＝4x，∵AB∥CD∥EF，∴，故选：B．【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF//BC．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明F’与F重合即可．【题型3 “A”字型】【例3】（2022秋•零陵区期末）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果，那么BD：BC等于（　　）A．3：5 B．5：3 C．8：5 D．3：8【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵DE∥AB，∴，∴，故选：D．【变式3-1】（2022秋•越城区期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AE＝4，EC＝2，则的值为（　　）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理，写出比例线段，代入线段的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，故选：A．【变式3-2】（2022秋•新民市期末）如图，点A，B在格点上，若BC，则AC的长为（　　）A．1 B． C．2 D．3【分析】根据平行线分线段成比例可得BC：AC＝1：2，然后代入数据计算即可．【解答】解：观察图形可知，BC：AC＝1：2，∵BC，∴AC＝3BC＝2．故选：B．【变式3-3】（2022秋•覃塘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段AD上，且BD∥EF∥AC．若DE＝5，DF＝3，CE＝AD，则的值为 　　．【分析】设CE＝AD＝x，则，求出CE，由EF∥DB可求出的值．【解答】解：设CE＝AD＝x，∵EF∥AC，∴，∴，解得x＝7.5，∴AF＝4.5，∵EF∥DB，∴．故答案为：．【题型4 “8”字型】【例4】（2022•镜湖区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则的值为（　　）A． B． C． D．【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴，∴故选：C．【变式4-1】（2022秋•金牛区期末）如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，BD＝3AD，若CE＝6，则AC的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算，得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：AC＝4，故选：C．【变式4-2】（2022秋•南皮县校级月考）如图，AB．CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论，淇淇得出结论，则（　　）A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人均正确 D．两人均不正确【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论．【解答】解：∵AC∥EF，∴，∵EF∥DB，∴，∴1，即1，∴1．故选：B．【变式4-3】（2022秋•宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（　　）A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，，求出AGBD，CDBD，再求出即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴，∵AF：BF＝2：5，∴，即AGBD，∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，∴CDBD，∴，∵l1∥l2，∴，故选：C．【题型5 判断比例式】【例5】（2022春•潍坊期末）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴，∵AC＝CG，∴，故A正确，不符合题意；∵CD∥EF，∴，∵DE＝3DG，∴EG＝2DG，∴，故B正确，不符合题意．∵CD∥EF，∴∵BG＝2DG，BE＝4DG，∴DE＝3DG，∴，故C正确，不符合题意；∵AB∥CD∥EF，∴，∵AG＝FG，∴BG＝EG，∴BE＝2BG，∵，∴BG＝2DG，∵BE＝4DG，∴，故D错误，符合题意；故选：D．【变式5-1】（2022春•东平县期末）已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（　　）A． B． C． D．【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．【解答】解：∵DE∥BC，DH∥AC，∴四边形DECH是平行四边形，∴DH＝CE，DE＝CH，∵DE∥BC，∴，故选项A正确，不符合题意，∵DH∥CG，∴，故C正确，不符合题意，∵DE∥BC，∴，∴，故D正确，不符合题意，故选：B．【变式5-2】（2022秋•青浦区期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE∥AC的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例判断即可．【解答】解：A．因为，所以DE∥AC，故A不符合题意；B．因为，所以DE∥AC，故B符合题意；C．因为，所以DE∥AC，故C不符合题意；D．因为，所以DE∥AC，故D不符合题意；故选：B．【变式5-3】（2022•香坊区一模）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．【解答】解：AB∥CD，∴，∵AC＝CG，∴，故A正确，不符合题意；∵AB∥CD∥EF，∴，∵AG＝FG，∴BG＝EG，∴BE＝2BG，∵，∴BG＝2DG，∵BE＝4DG，∴，故B错误，符合题意；∵CD∥EF，∴，∵BG＝2DG，BE＝4DG，∴DE＝3DG，∴，故C正确，不符合题意；∵CD∥EF，∴，∵DE＝3DG，∴EG＝2DG，∴，故D正确，不符合题意．故选：B．【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】【例6】（2022•沁阳市模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若BF＝3EF，则（　　）A． B． C． D．【分析】过点E作EH∥AD交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到CH＝HD，3，计算即可．【解答】解：过点E作EH∥AD交BC于H，则，∵BE是△ABC的中线，∴CE＝EA，∴CH＝HD，∵EH∥AD，∴3，∴，故选：B．【变式6-1】（2022春•任城区校级期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED＝1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC＝　1：4　．【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，计算得到答案．【解答】解：作DH∥BF交AC于H，∵AD是△ABC的中线，∴FH＝HC，∵DH∥BF，∴，∴AF：FC＝1：4，故答案为：1：4【变式6-2】（2009秋•北京校级期中）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．（1）若点D是BC的中点，且AP：PD＝2：1，求AM：AB的值；（2）若点D是BC的中点，试证明；（3）若点D是BC上任意一点，试证明．【分析】（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD＝2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得；（3）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得，继而求得．【解答】解：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，∵点D为BC中点，∴点E是AB中点，且，（2分）∴；（2）延长AD至点Q，使DQ＝AD，连BQ、CQ，则四边形ABQC是平行四边形．∴PM∥BQ，PN∥CQ，∴，，∴；（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）（3）过点D作DE∥PM交AB于E，∴，又∵PM∥AC，∴DE∥AC∴，∴；同理可得：，∴．（注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证．）【变式6-3】（2022春•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点F为AD的中点，连接BF并延长交AC于点E，设m，n，则m+n＝（　　）A． B． C． D．【分析】取CE中点G，连接DG，由中位线定理可得DG∥BE，再由点F为AD中点可得点E为AG中点，可求得m，由中位线定理可得EFDG，DGBE，可求出n，即可得出答案．【解答】解：取CE中点G，连接DG，∵点D为BC中点，∴DG为△BCE的中位线，∴DGBE，DG∥BE，∵点F为AD中点，EF∥DG，∴EF为△ADG的中位线，∴点E为AG中点，EFDG，∴，EFBE，∴，即m，n，∴m+n，故选：C．【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】【例7】（2022•宁阳县一模）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE＝1，则EC＝（　　）A． B．2 C．3 D．4【分析】过D点作DF∥CE交AE于F，如图，先由DF∥BE，根据平行线分线段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性质求CE的长．【解答】解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，∵DF∥BE，∴，∵O是BD的中点，∴OB＝OD，∴DF＝BE＝1，∵DF∥CE，∴∵AD：DC＝1：2，∴AD：AC＝1：3，∴，∴CE＝3DF＝3×1＝3．故选：C．【变式7-1】（2022秋•虹口区期末）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝3：2，那么AF：FC的值是（　　）A． B． C． D．【分析】根据题目的已知条件画出图形，然后利用平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：如图：∵DE∥AC，AE：EB＝3：2，∴，∴，∵DF∥AB，∴，故选：B．【变式7-2】（2022秋•亳州期末）如图，AD∥EF∥BC，点G是EF的中点，，若EF＝6，则AD的长为（　　）A．6 B． C．7 D．【分析】根据平行线分线段成比例定理得，，再根据平行线分线段成比例定理得，由中点的定义得EG＝3，代入即可求解．【解答】解：∵EF∥BC，AB：BC＝2：3，∴，∴，∵AD∥EF，∴，∵点G是EF的中点，∴EG＝3，∴M∴AD．故选：D．【变式7-3】（2022•邢台模拟）在△ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE、AF分BM为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z等于（　　）A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：2：1 D．5：3：2【分析】如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．首先证明HG＝MGCF，再利用平行线分线段成比例定理构建方程组即可解决问题．【解答】解：如图，作MH∥BC交AE于H，交AF于G，设AE交BM于K，AF交BM于J．∵MH∥BC，∴，∵BE＝EF＝CF，∴HG＝MGCF，∴，∴y+z＝x，∴，∴x+y＝4z，∴xz，yz，∴x：y：z＝5：3：2，故选：D．【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】【例8】（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 　5　．【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．【变式8-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点M，则FN：ND＝　2：3　．【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FEBC，根据已知推出CDBC，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．【解答】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴，∵AF：BF＝1：2，∴，∴，即FEBC，∵BC：CD＝2：1，∴CDBC，∵FE∥BD，∴．即FN：ND＝2：3．故答案为：2：3．【变式8-2】（2022秋•六盘水期末）如图，已知四边形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且CE：BE＝2：3，DF：CF＝1：2，BF与DE相交于点G，则DG：GE＝　5：6　．【分析】如图，过点E作ET∥BF交CD于点，利用平行线分线段成比例定理求出DF：FT可得结论．【解答】解：如图，过点E作ET∥BF交CD于点T．∵ET∥BF，∴CT：FT＝CE：EB＝2：3，∵DF：CF＝1：2，∴DF：TF＝5：6，∵FG∥ET，∴DG：GE＝DF：FT＝5：6，故答案为：5：6．【变式8-3】（2022•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　　．【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEFS△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．【解答】解：连接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴，∴，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEFS△ABD，∵BDBC，∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值4，∴△AEF的面积的最大值，故答案为：