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初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形综合与测试单元测试随堂练习题
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这是一份初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形综合与测试单元测试随堂练习题，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知ab=23且a≠2，那么a−b+1a+b−5等于( )
A. 0 B. −15 C. 15 D. 没有意义
2. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )
A. 6 cm B. 10 cm C. 4 cm D. 8 cm
3. 如图，∠C=90∘，BC=3，AB=5，点D是BC上一动点，CD=x，DE//AB交AC于点E，以直线DE为轴作△CDE的轴对称图形(△PDE)，△PDE落在△ABC内的面积为y，则下列能刻画y与x之间函数关系的图象是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为( )
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
5. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG.给出以下结论：①DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2=12GF×AF；④当AG=6，EG=25时，BE的长为1255，其中正确的结论个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH.以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③BCCG=2−1；④S△HOMS△HOG=2−2，其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
7. 如图，在△ABC中，EF//BC，AE：EB=1：2，则EF：BC为( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 2：3
8. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG.则下列结论正确的有( )
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
9. 如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. 30cm2 B. 40cm2 C. 50 cm2 D. 60 cm2
10. 如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE，AD=AE，则AB:AD的值是 ( )
A. 2:1 B. 3:1 C. 5+12 D. 5−12
11. 如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为( )
A. 116 B. 164 C. 1128 D. 1256
12. 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，且△A′B′C与△ABC的位似比为2︰1.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是
A. −12a
B. −12(a+1)
C. −12(a−1)
D. −12(a+3)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知x2=y3=z4≠0，则xy+yzxz的值是________．
14. 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE=2，则DF=______，BE=______．
15. 在比例尺1：500000的地图上，测得甲地在图上的面积约为10cm2，则甲地实际面积为______平方千米．
16. 如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(−1,1)，点C的坐标为(−4,2)，则这两个正方形位似中心的坐标是____．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，线段AB的长为1．
(1)线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB，求线段AC的长度；
(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD·AC，求线段AD的长度；
(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE·AD，求线段AE的长度．
上面各小题的结果反映了什么规律？
18. (本小题8.0分)
已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为−2,0，6,−8．
(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B、E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使▵FOE≌▵FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为0,m，直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，▵OPQ是等腰三角形．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM//AC交AB于点M，作PN//AB交AC于点N．
(1)若点D是BC的中点，且AP：PD=2：1，求AM：AB的值；
(2)若点D是BC的中点，试证明AMAB=ANAC；
(3)若点D是BC上任意一点，试证明AMAB+ANAC=APAD．
21. (本小题8.0分)
如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．
(1)求△CEF的周长；
(2)若E是BC的中点，求证：CF=2DF；
(3)连接QE，求证：AQ=EQ．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E，BE=2，BC=6．
(1)求证：△ABD∽△CBE；
(2)求AE的长度；
(3)设AD与CE交于F，求△CFD的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，某一时刻，小明垂直地面竖起一根1m高的直杆，量得其在阳光下的影长为0.5m，此时，旁边一电线杆AB在阳光下的影子分别落在了地上和墙上，他又量得电线杆AB落在地面上的影子部分BD长为3m，落在墙上的影子部分CD高为2m，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算一下：
(1)电线杆AB的高为多少？
(2)小亮认为落在地上和墙上的影子长相加就是电线杆影子全部落在地面上时的影长，你认为对吗？若不对，请求出电线杆AB影子全部落在地面上时的影长．
24. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=a(x−1)(x−3)(a>0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
(1)求线段OC的长度；
(2)设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，
(3)在(2)的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF//AB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
25. (本小题8.0分)
已知正三角形ABC的边长为3+3．
(1)如图 ①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;
(3)如图 ②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质和分式的化简求值，由ab=23得到a=23b，代入分式进行求值即可．
【解答】
解：由ab=23得到a=23b，
则a−b+1a+b−5=23b−b+123b+b−5
=−13b+153b−5
=−13b+1−5−13b+1
=−15，
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】
解：根据已知条件得下半身长是160×0.60=96cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，
解得：y≈8cm．
故选D．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象、折叠的性质、二次函数的图象、二次函数性质、等腰三角形判定、平行线分线段成比例，解题的关键是要通过平行得到三角形边之间的关系，根据点运动后形成的不同图形来进行分类讨论．
根据DE//AB可将EC用x表示出来，从而可以得到y与x的关系式，要将面积分成点P在△ABC内及边上和△ABC外两种情况进行分析，就可以得到正确的函数图象．
【解答】
解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴AC=4，
∵DE//AB，
∴ CDCB=CEAC，即x3=EC4，
∴EC=43x，
当点P落在AB上时，如图1，
∵DE//AB
∴∠B=∠CDE=∠PDE=DPB，
∴DP=BD=CD=32，
∴当点P落在△ABC内部及边上时，y=S△PDE= S△CDE=12×x×43x=23x2(0≤x≤ 32)，此时图象为抛物线，且y随x的增大而增大；
当点P落在AB上时，即当x= 32时，y= 32；
当点P落在△ABC外时，设PE与AB交于点M，PD与AB交于点N，如图2，
由轴对称可知，∠CED=∠PED，∠CDE=∠PDE，
又∵DE//AB，
∴∠CED=∠A，∠AME=∠PED，∠CDE=∠B，∠PDE=∠DNB，
∴∠A=∠AME，∠B=∠DNB，
∴EM=AE，DN=DB，
∵AE=4−EC，BD=3−CD，
∴PM=PE−ME= 43x−4−43x=83x−4，PN=PD−ND=x−(3−x)=2x−3，
∴y=S△PDE−S△PMN= 23x2−12×83x−42x−3=−2x2+8x−6=−2(x−2)2+2( 32
故选D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积.先通过临界点A、B确定线段EF扫过图形为三角形EF′F，由三角形中位线定理得F′F的长和点P为MC中点，过点D作DK⊥AB于K，得BCDK为矩形，利用勾股定理求得DK的值，即可知BC的值，设BM=x，则BF=x2，MC=4−x，PC=4−x2，表示EH=PF=BC−BF−PC=4−x2−4−x2=2，最后利用三角形面积公式计算即可．
【解答】
解：如图
当点N与点B重合时，点F就是BM的中点，
过点F作FG//AB交AD于G，
当点N与点A重合时，点F就是AM与GF的交点F′，
由平行线分线段成比例定理可知随着点N从A到B的运动过程中，点F就在线段F′F上移动，
∴线段EF在运动过程中所扫过图形为三角形EF′F，
∵F′为AM中点，F为BM中点，
∴F′F=12AB=4，
过点E作EH⊥GF于H，交DC于I，过点E作EP⊥BC于P，
过点D作DK⊥AB于K，
AB//CD，∠C=90°，
∴BCDK为矩形，
∴BK=DC=5，AK=AB−BK=8−5=3，
∴DK=AD2−AK2=52−32=4，
∴BC=DK=4，
∴EP//DC，EH=PF，
∵E为DM的中点，
∴P为CM中点，
∴CP=12CM，
设BM=x，则BF=x2，MC=4−x，PC=4−x2，
∴EH=PF=BC−BF−PC=4−x2−4−x2=2，
∴S△EF′F=12EK×F′F=12×2×4=4．
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：∵GE//DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF.故①正确；
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形，故②正确；
如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=12GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴DFAF=OFDF，即DF2=FO⋅AF．
∵FO=12GF，DF=EG，
∴EG2=12GF⋅AF.故③正确；
如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=25，
∴20=12FG(FG+6)，整理得：FG2+6FG−40=0．
解得：FG=4，FG=−10(舍去)．
∵DF=GE=25，AF=10，
∴AD=AF2−DF2=45．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH//AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴GHAD=FGAF，即GH45=410，
∴GH=855，
∴BE=AD−GH=45−855=1255.故④正确．
故选：D．
先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，连接DE，交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO⋅AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD−GH求解即可．
本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO⋅AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
BC=CD∠BCE=∠DCGCE=CG
∴△BCE≌△DCG(SAS)，
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴∠EHD=90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF=FG，
∴∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，
∴△EHM∽△FHG，
故②正确；
∵GH平分∠BGE，又由①知GH⊥BE，
∴△BGH≌△EGH，
∴BH=EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO//BG，
∴△DHN∽△DGC，
∴DNDC=HNCG，
设EC和OH相交于点N．
设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，
∴b−2a2a=a2b，即a2+2ab−b2=0，
解得：a=(−1+2)b，或a=(−1−2)b(舍去)，
则2a2b=2−1，
∴BCCG=2−1，
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG=BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO=12BG，
∴HO=12EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG=22b，
∴HO=2b，
∵OH//BG，CG//EF，
∴OH//EF，
∴△MHO∽△MFE，
∴OMEM=OHEF=2b2b=22，
∴EM=2OM，
∴OMOE=OM(1+2)OM=11+2=2−1，
∴S△HOMS△HOE=2−1，
∵EO=GO，
∴S△HOE=S△HOG，
∴S△HOMS△HOG=2−1，
故④错误，
故选：A．
由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO//BG且HO=12BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，由HO//BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出DNDC=HNCG，得到 b−2a2a=a2b，即a2+2ab−b2=0，从而求得BCCG=2−1，设正方形ECGF的边长是2b，则EG=22b，得到HO=2b，通过证得△MHO∽△MFE，得到OMEM=OHEF=2b2b=22，进而得到OMOE=OM(1+2)OM=11+2=2−1，进一步得到S△HOMS△HOE=S△HOMS△HOG=2−1．
本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查对相似三角形的判定和性质的理解，相似三角形对应边的比相等．根据已知可得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例不难求解．
【解答】
解：∵EF//BC
∴△AEF∽△ABC
∴AE：AB=EF：BC
∵AE：EB=1：2，
∴AE：AB=1：3．
∴EF：BC为1：3．
故选B．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积．
①由折叠可知∠1=∠2，∠3=∠4，即可得∠EBG=45∘；
②由ABDE≠AGDF，可知②错误；
③通过计算S△ABG与S△FGH即可得结论；
④通过计算AG+DF=5，而FG=5，故④正确．
【解答】
解：如图
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，
∴∠2+∠3=12∠ABC=45∘，即∠EBG=45∘，
所以 ①正确;
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，
∵AB=6，BF=10，
∴AF=102−62=8，
∴DF=AD−AF=10−8=2，
设EF=x，则CE=x，DE=CD−CE=6−x，
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2=EF2，
∴(6−x)2+22=x2解得x=103，
∴ED=83，
HF=BF−BH=10−6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8−y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，
∴y2+42=(8−y)2，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D，ABDE=683=94，AGDF=32，
∴ABDE≠AGDF，
∴△ABG与△DEF不相似，所以 ②错误;
∵S△ABG=12×6×3=9，S△FGH=12⋅GH⋅HF=12×3×4=6，
∴S△ABG=32S△FGH，所以 ③正确;
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以 ④正确，
∴ ① ③ ④正确，
故选B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点.标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠ADF，然后求出△ADF和△DBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出DFBE=53，即DEEB=53，设BE=3acm，表示出DE=5acm，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．
【解答】
解：如图
∵正方形的边DF//CB
∴∠B=∠ADF
∵∠AFD=∠DEB=90∘
∴△ADF∽△DBE
∴DFBE=ADDB=106=53
∴DEEB=53
∵DE//AC
∴△BDE∽△BAC
∴ACBC=DEEB=53
设BE=3acm，则DE=5acm，
∴BC=3a+5a=8acm
AC=8a×53=403a
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
即(403a)2+(8a)2=(10+6)2
解得a2=1817
红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a−(5a)2
=1603a2−25a2
=853a2
=853×1817
=30cm2．
故选：A．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键.根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．
【解答】
解：∵矩形ABCD∽矩形BCFE，
∴FCAD=ADAB，即AB−ADAD=ADAB，
整理得，AB2−AD⋅AB−AD2=0，
AB=1±52AD，
∴AB:AD=5+12，
故选C．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．
先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．
【解答】
解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为14，
同理可得，第二个正六角形的面积为142=116
第三个正六角形的面积为：143=164，
第四个正六角形的面积为：144=1256．
故选D．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO=a，CF=a+1，CE=12(a+1)，是解决问题的关键．根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=12(a+1)，进而得出点B的横坐标．
【解答】
解：∵点C的坐标是(−1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是a，
∴FO=a，CF=a+1，
∴CE=12(a+1)，
∴点B的横坐标是：−12(a+1)−1=−12(a+3)．
故选D．
13.【答案】94
【解析】解：∵x2=y3=z4≠0，
∴设x2=y3=z4=k，
∴x=2k，y=3k，z=4k，
∴xy+yzxz
=xyxz+yzxz
=yz+yx
=3k4k+3k2k
=34+32
=94，
故答案为：94．
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
14.【答案】2；5−1
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，根据折叠的性质得到CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，
∴CF=AD，∠CFD=90°，
∴∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADF=∠DCF，
∴△ADE≌△FCD(ASA)，
∴DF=AE=2；
∵∠AFE=∠CFD=90°，
∴∠AFE=∠DAE=90°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴AEEF=DEAE，
∴2EF=2+EF2，
∴EF=5−1(负值舍去)，
∴BE=EF=5−1，
故答案为2；5−1．
15.【答案】250
【解析】解：根据相似多边形的面积比是相似比的平方，得：
实际面积是10×2.5×1011=2.5×1012(cm2)=250(km2)，故填250．
面积比是比例尺的平方比，依题意可得出甲地实际的面积
注意面积比是比例尺的平方比，这里特别注意单位的换算．
16.【答案】(2,0)或(−43,23)
【解析】
【分析】
本题主要考查位似图形的性质，难度一般，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解．两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行，则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可．
【解答】
解：①当两个位似图形在位似中心O′同旁时，位似中心O′就是CF与x轴的交点，
设直线CF解析式为y=kx+b，将C(−4,2)，F(−1,1)代入，
得−4k+b=2−k+b=1,
解得k=−13b=23,
即y=−13x+23，
令y=0得x=2，
∴O′坐标是(2,0)；
②当位似中心O′在两个正方形之间时，
可求直线OC解析式为y=−12x，直线DE解析式为y=14x+1，
联立y=−12xy=14x+1，解得x=−43y=23,
即O′(−43,23).
故答案为(2,0)或(−43,23).
17.【答案】解：(1)设线段AC的长度为x(0
由AC2=BC·AB， 可列方程x2=(1−x)×1.
整理，得x2+x−1=0.
解得x1=5−12，x2=−5−12(不合题意，舍去).
所以线段AC的长度为5−12．
(2)设线段AD的长度为y，
则CD=AC−AD=AC−y.
由AD2=CD·AC， 可列方程y2=AC(AC−y).
整理，得y2+ACy−AC2=0.
解得y1=5−12AC，y2=−5−12AC(不合题意，舍去).
所以线段AD的长度为5−12AC．
(3)设线段AE的长度为z，
则DE=AD−AE=AD−z.
由AE2=DE·AD， 可列方程z2=AD(AD−z)，
整理，得z2+ADz−AD2=0.
解得z1=5−12AD，z2=−5−12AD(不合题意，舍去).
所以线段AE的长度为5−12AD．
上面各小题反映的规律：若C为线段AB上一点，AC>BC，且满足AC2=BC·AB，则AC=(5−1)2AB．
【解析】见答案
18.【答案】解：当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=a+b−c+a−b+c−a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，
即a+b−c=c，a−b+c=b，−a+b+c=a，
整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，
此时原式=8abcabc=8；
当a+b+c=0时，可得：a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a，
则原式=−1．
综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或−1．
【解析】此题考查了比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果．
19.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx−8经过点A(−2,0)，D(6,−8)，
∴4a−2b−8=036a+6b−8=−8，
解得b=−3a=12,
∴抛物线解析式为y=12x2−3x−8，
∵y=12x2−3x−8=12(x−3)2−252，
∴抛物线对称轴为直线x=3，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标(−2,0)，
∴点B坐标(8,0)．
设直线l的解析式为y=kx，
∵经过点D(6,−8)，
∴6k=−8，
∴k=−43，
∴直线l的解析式为y=−43x，
∵点E为直线l与抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为−43×3=−4，
∴点E坐标(3,−4)．
(2)抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，
此时点F纵坐标为−4，
∴12x2−3x−8=−4，
∴x2−6x−8=0，
x=3±17，
∴点F坐标(3+17,−4)或(3−17,−4)．
(3)①如图1中，
当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标(3,−4)，
∴OE=32+42=5，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H.则OMOP=OEOQ，
∴OM=OE=5，
∴点M坐标(0,−5)．
设直线ME的解析式为y=k1x−5，
∴3k1−5=−4，
∴k1=13，
∴直线ME解析式为y=13x−5，
令y=0，得13x−5=0，解得x=15，
∴点H坐标(15,0)，
∵MH//PB，
∴OPOM=OBOH，即−m5=815，
∴m=−83，
②如图2中，
当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．
∵当x=0时，y=12x2−3x−8=−8，
∴点C坐标(0,−8)，
∴CE=32+(8−4)2=5，
∴OE=CE，
∴∠1=∠2，
∵QO=QP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CE//PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x−8，
∴3k2−8=−4，
∴k2=43，
∴直线CE解析式为y=43x−8，
令y=0，得43x−8=0，
∴x=6，
∴点N坐标(6,0)，
∵CN//PB，
∴OPOC=OBON，
∴−m8=86，
∴m=−323．
③OP=PQ时，显然不可能，理由，
∵D(6,−8)，
∴tan∠1=34，tan∠BOD=43，
∴∠1<∠BOD，
∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO>∠1，
∴OP≠PQ，
综上所述，当m=−83或−323时，△OPQ是等腰三角形．
【解析】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题．
(1)根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标；
(2)抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为−4，令y=−4即可解决问题；
(3)①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE//PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．③OP=PQ时，不成立．
20.【答案】解：(1)过点D作DE//PM交AB于E，
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且AMAE=APAD，(2分)
∴AMAB=AM2AE=13；(1分)
(2)延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，
则四边形ABQC是平行四边形．(1分)
∴PM//BQ，PN//CQ，
∴AMAB=APAQ，ANAC=APAQ(2分)
∴AMAB=ANAC；(1分)
(注：像第(1)题那样作辅助线也可以．)
(3)过点D作DE//PM交AB于E，
∴AMAE=APAD，(1分)
又∵PM//AC，
∴DE//AC
∴AEAB=CDBC，(1分)
∴AMAB=AMAE×AEAB=APAD×CDBC(1分)
同理可得：ANAC=APAD×BDBC(1分)
∴AMAB+ANAC=APAD×(CDBC+BDBC)=APAD.(1分)
(注：如果像第(2)题那样添辅助线，也可以证．)
【解析】(1)过点D作DE//PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
(2)延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM//BQ，PN//CQ，继而可得AMAB=ANAC；
(3)过点D作DE//PM交AB于E，即可得AMAE=APAD，又由PM//AC，根据平行线分线段成比例定理可得AEAB=CDBC，继而求得AMAB+ANAC=APAD．
此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△ABE和Rt△AHE中，
∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE=HE，同理，DF=FH，
∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．
(2)∵E是BC中点，
∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10−x，
在Rt△ECF中，∵∠C=90°，
∴EF2=EC2+CF2，
∴52+(10−x)2=(5+x)2，
解得x=103，即DF=103，则CF=10−103=203，
∴CF=2DF．
(3)在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，
∴△BPE∽△APQ，
∴BPAP=EPQP，
即BPEP=APQP，
∵∠APB=∠QPE，
∴△APB∽△QPE，
∴∠QEP=∠ABP=45°，
∵∠EAF=45°，
∴∠QEA=∠QAE=45°，
∴AQ=EQ．
【解析】(1)想办法证明EB=EH，FD=FH，即可解决问题；
(2)通过计算求出CF、DF即可解决问题；
(3)想办法证明△APB∽△QPE，可得∠AEQ=∠ABP=45°即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)证明：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°．
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE；
(2)∵△ABD∽△CBE，
∴ABCB=BDBE，即AB6=32，解得AB=9，
∴AE=AB−BE=9−2=7；
(3)在Rt△BEC中，
∵BE=2，BC=6，
∴CE=BC2−BE2=62−22=42．
∵∠ADC=∠CEB=90°，∠ECB=∠ECB，
∴△CDF∽△CEB，
∴CDCE=DFBE，即342=DF2，解得DF=324，
∴S△CFD=12×324×3=928．
【解析】(1)先根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再由CE⊥AB得出∠ADB=∠CEB=90°，进而可得出结论；
(2)根据△ABD∽△CBE可得出ABCB=BDBE，进而可得出结论；
(3)先根据勾股定理求出CE的长，再由∠ADC=∠CEB=90°，∠ECB=∠ECB得出△CDF∽△CEB，由相似三角形的性质可得出DF的长，根据三角形的面积可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
23.【答案】(1)解：过点C作CE//BD，交AB于点E，易得四边形CEBD为矩形．
∴CE=BD=3，EB=CD=2，
依题意有 AEEC=10.5，即 AE3=10.5，
∴AE=6，
∴AB=AE+EB=6+2=8．
即电线杆AB的高为8米．
(2)不对．理由如下：
设电线杆AB影子全部落在地面上时的影长为x米，则8x=10.5，
∴x=4(米)
答：电线杆AB影子全部落在地面上时的影长为4米．
【解析】(1)利用在同一时刻、同一地点物体的高与其影子长的比值相同来解答．
(2)设电线杆AB影子全部落在地面上时的影长为x米，依据“物体的实际高度和影长成比例”列出方程并解答．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出等式，求解即可．
24.【答案】解：(1)a(x−1)(x−3)=0，
x1=1，x2=3，
则点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,0)，
∴OA=1，OB=3，
∵△OCA∽△OBC，
∴OAOC=OCOB，即1OC=OC3，
解得，OC=3；
(2)在Rt△BOD中，点C是BD的中点，
∴BD=2OC=23，
由勾股定理得，OD=BD2-OB2=(23)2-32=3，
∴点D的坐标为(0,-3)
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
则b=-33k+b=0,
解得，k=33b=-3,
则直线BD的解析式为：y=33x-3，
∵点B的坐标为(3,0)，点D的坐标为(0,-3)，点C是BD的中点，
∴点C的坐标为(32,-32)，
∴-32=a(32-1)(32-3)，
解得，a=233，
∴抛物线的解析式：y=233(x−1)(x−3)，即y=233x2-833x+23；
(3)作PG⊥OB交BD于G，
tan∠OBD=ODOB=33，
∴∠OBD=30°，
∵PF//AB，
∴∠PFG=∠OBD=30°，
∴PF=3PG，
∵PE⊥BC，PF⊥PG，
∴∠EPG=∠PFG=30°，
∴PE=32PG，
∴PE+PF=3PG+32PG=332PG，
设点P的坐标为(m,233m2-833m+23)，点G的坐标为(m,33m-3)，
∴PG=33m-3-(233m2-833m+23)
=-233m2+33m−33
∴PE+PF=332PG
=−3m2+272m-272
=−3(m-94)2+2716，
则PE+PF的最大值为2716．
【解析】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤、相似三角形的性质，掌握二次函数的性质、相似三角形的性质是解题的关键．
(1)解方程求出点A的坐标、点B的坐标，得到OA=1，OB=3，根据相似三角形的性质列出比例式，求出OC；
(2)根据直角三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出OD，利用待定系数法求出直线BD的解析式，根据中点的概念求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(3)作PG⊥OB交BD于G，根据正切的定义得到∠OBD=30°，用PG分别表示出PE、PF，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答．
25.【答案】解析 (1)如图，正方形E′F′P′N′即为所求．
(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，∴∠CAE=∠B=60∘，
∴AE′=BF′=33x.
∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+33x+33x=3+3，
解得x=33−3．
(3)如图，连接NE、EP、PN，易知∠NEP=90∘．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n)，
它们的面积和为S，
则NE=2m，PE=2n，
∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2= 2(m2+n2)，
∴S=m2+n2=12PN2，
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=(m+n)2+(m−n)2．
∵AD+DE+EF+BF=AB，
∴33m+m+n+33n=3+3，
化简得m+n=3，
∴S=12[32+(m−n)2]=92+12(m−n)2．
①当(m−n)2=0，即m=n时，S最小，∴S最小=92．
②当(m−n)2最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大．
∵m+n=3，由(2)知，m最大=33−3，∴n最小=6−33．
∴S最大=12[9+(m最大−n最小)2]=12×[9+(33−3−6+33)2]=99−543．
综上所述，S最大=99−543，S最小=92．
【解析】见答案
浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知ab=23且a≠2，那么a−b+1a+b−5等于( )
A. 0 B. −15 C. 15 D. 没有意义
2. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160 cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )
A. 6 cm B. 10 cm C. 4 cm D. 8 cm
3. 如图，∠C=90∘，BC=3，AB=5，点D是BC上一动点，CD=x，DE//AB交AC于点E，以直线DE为轴作△CDE的轴对称图形(△PDE)，△PDE落在△ABC内的面积为y，则下列能刻画y与x之间函数关系的图象是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为( )
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
5. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG.给出以下结论：①DG=DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2=12GF×AF；④当AG=6，EG=25时，BE的长为1255，其中正确的结论个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH.以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③BCCG=2−1；④S△HOMS△HOG=2−2，其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
7. 如图，在△ABC中，EF//BC，AE：EB=1：2，则EF：BC为( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 2：3
8. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG.则下列结论正确的有( )
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
9. 如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. 30cm2 B. 40cm2 C. 50 cm2 D. 60 cm2
10. 如图，已知矩形ABCD∽矩形BCFE，AD=AE，则AB:AD的值是 ( )
A. 2:1 B. 3:1 C. 5+12 D. 5−12
11. 如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为( )
A. 116 B. 164 C. 1128 D. 1256
12. 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，且△A′B′C与△ABC的位似比为2︰1.设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是
A. −12a
B. −12(a+1)
C. −12(a−1)
D. −12(a+3)
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知x2=y3=z4≠0，则xy+yzxz的值是________．
14. 如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点E，F，D在同一条直线上，AE=2，则DF=______，BE=______．
15. 在比例尺1：500000的地图上，测得甲地在图上的面积约为10cm2，则甲地实际面积为______平方千米．
16. 如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(−1,1)，点C的坐标为(−4,2)，则这两个正方形位似中心的坐标是____．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，线段AB的长为1．
(1)线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB，求线段AC的长度；
(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD·AC，求线段AD的长度；
(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE·AD，求线段AE的长度．
上面各小题的结果反映了什么规律？
18. (本小题8.0分)
已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
19. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为−2,0，6,−8．
(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B、E的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F，使▵FOE≌▵FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为0,m，直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，▵OPQ是等腰三角形．
20. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM//AC交AB于点M，作PN//AB交AC于点N．
(1)若点D是BC的中点，且AP：PD=2：1，求AM：AB的值；
(2)若点D是BC的中点，试证明AMAB=ANAC；
(3)若点D是BC上任意一点，试证明AMAB+ANAC=APAD．
21. (本小题8.0分)
如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．
(1)求△CEF的周长；
(2)若E是BC的中点，求证：CF=2DF；
(3)连接QE，求证：AQ=EQ．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E，BE=2，BC=6．
(1)求证：△ABD∽△CBE；
(2)求AE的长度；
(3)设AD与CE交于F，求△CFD的面积．
23. (本小题8.0分)
如图，某一时刻，小明垂直地面竖起一根1m高的直杆，量得其在阳光下的影长为0.5m，此时，旁边一电线杆AB在阳光下的影子分别落在了地上和墙上，他又量得电线杆AB落在地面上的影子部分BD长为3m，落在墙上的影子部分CD高为2m，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算一下：
(1)电线杆AB的高为多少？
(2)小亮认为落在地上和墙上的影子长相加就是电线杆影子全部落在地面上时的影长，你认为对吗？若不对，请求出电线杆AB影子全部落在地面上时的影长．
24. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=a(x−1)(x−3)(a>0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
(1)求线段OC的长度；
(2)设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，
(3)在(2)的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF//AB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
25. (本小题8.0分)
已知正三角形ABC的边长为3+3．
(1)如图 ①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;
(3)如图 ②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质和分式的化简求值，由ab=23得到a=23b，代入分式进行求值即可．
【解答】
解：由ab=23得到a=23b，
则a−b+1a+b−5=23b−b+123b+b−5
=−13b+153b−5
=−13b+1−5−13b+1
=−15，
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】
解：根据已知条件得下半身长是160×0.60=96cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，
解得：y≈8cm．
故选D．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象、折叠的性质、二次函数的图象、二次函数性质、等腰三角形判定、平行线分线段成比例，解题的关键是要通过平行得到三角形边之间的关系，根据点运动后形成的不同图形来进行分类讨论．
根据DE//AB可将EC用x表示出来，从而可以得到y与x的关系式，要将面积分成点P在△ABC内及边上和△ABC外两种情况进行分析，就可以得到正确的函数图象．
【解答】
解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴AC=4，
∵DE//AB，
∴ CDCB=CEAC，即x3=EC4，
∴EC=43x，
当点P落在AB上时，如图1，
∵DE//AB
∴∠B=∠CDE=∠PDE=DPB，
∴DP=BD=CD=32，
∴当点P落在△ABC内部及边上时，y=S△PDE= S△CDE=12×x×43x=23x2(0≤x≤ 32)，此时图象为抛物线，且y随x的增大而增大；
当点P落在AB上时，即当x= 32时，y= 32；
当点P落在△ABC外时，设PE与AB交于点M，PD与AB交于点N，如图2，
由轴对称可知，∠CED=∠PED，∠CDE=∠PDE，
又∵DE//AB，
∴∠CED=∠A，∠AME=∠PED，∠CDE=∠B，∠PDE=∠DNB，
∴∠A=∠AME，∠B=∠DNB，
∴EM=AE，DN=DB，
∵AE=4−EC，BD=3−CD，
∴PM=PE−ME= 43x−4−43x=83x−4，PN=PD−ND=x−(3−x)=2x−3，
∴y=S△PDE−S△PMN= 23x2−12×83x−42x−3=−2x2+8x−6=−2(x−2)2+2( 32
故选D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积.先通过临界点A、B确定线段EF扫过图形为三角形EF′F，由三角形中位线定理得F′F的长和点P为MC中点，过点D作DK⊥AB于K，得BCDK为矩形，利用勾股定理求得DK的值，即可知BC的值，设BM=x，则BF=x2，MC=4−x，PC=4−x2，表示EH=PF=BC−BF−PC=4−x2−4−x2=2，最后利用三角形面积公式计算即可．
【解答】
解：如图
当点N与点B重合时，点F就是BM的中点，
过点F作FG//AB交AD于G，
当点N与点A重合时，点F就是AM与GF的交点F′，
由平行线分线段成比例定理可知随着点N从A到B的运动过程中，点F就在线段F′F上移动，
∴线段EF在运动过程中所扫过图形为三角形EF′F，
∵F′为AM中点，F为BM中点，
∴F′F=12AB=4，
过点E作EH⊥GF于H，交DC于I，过点E作EP⊥BC于P，
过点D作DK⊥AB于K，
AB//CD，∠C=90°，
∴BCDK为矩形，
∴BK=DC=5，AK=AB−BK=8−5=3，
∴DK=AD2−AK2=52−32=4，
∴BC=DK=4，
∴EP//DC，EH=PF，
∵E为DM的中点，
∴P为CM中点，
∴CP=12CM，
设BM=x，则BF=x2，MC=4−x，PC=4−x2，
∴EH=PF=BC−BF−PC=4−x2−4−x2=2，
∴S△EF′F=12EK×F′F=12×2×4=4．
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：∵GE//DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF.故①正确；
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形，故②正确；
如图1所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=12GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴DFAF=OFDF，即DF2=FO⋅AF．
∵FO=12GF，DF=EG，
∴EG2=12GF⋅AF.故③正确；
如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．
∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=25，
∴20=12FG(FG+6)，整理得：FG2+6FG−40=0．
解得：FG=4，FG=−10(舍去)．
∵DF=GE=25，AF=10，
∴AD=AF2−DF2=45．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH//AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴GHAD=FGAF，即GH45=410，
∴GH=855，
∴BE=AD−GH=45−855=1255.故④正确．
故选：D．
先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，连接DE，交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO⋅AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD−GH求解即可．
本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO⋅AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
BC=CD∠BCE=∠DCGCE=CG
∴△BCE≌△DCG(SAS)，
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴∠EHD=90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF=FG，
∴∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，
∴△EHM∽△FHG，
故②正确；
∵GH平分∠BGE，又由①知GH⊥BE，
∴△BGH≌△EGH，
∴BH=EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO//BG，
∴△DHN∽△DGC，
∴DNDC=HNCG，
设EC和OH相交于点N．
设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，
∴b−2a2a=a2b，即a2+2ab−b2=0，
解得：a=(−1+2)b，或a=(−1−2)b(舍去)，
则2a2b=2−1，
∴BCCG=2−1，
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG=BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO=12BG，
∴HO=12EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG=22b，
∴HO=2b，
∵OH//BG，CG//EF，
∴OH//EF，
∴△MHO∽△MFE，
∴OMEM=OHEF=2b2b=22，
∴EM=2OM，
∴OMOE=OM(1+2)OM=11+2=2−1，
∴S△HOMS△HOE=2−1，
∵EO=GO，
∴S△HOE=S△HOG，
∴S△HOMS△HOG=2−1，
故④错误，
故选：A．
由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO//BG且HO=12BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，由HO//BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出DNDC=HNCG，得到 b−2a2a=a2b，即a2+2ab−b2=0，从而求得BCCG=2−1，设正方形ECGF的边长是2b，则EG=22b，得到HO=2b，通过证得△MHO∽△MFE，得到OMEM=OHEF=2b2b=22，进而得到OMOE=OM(1+2)OM=11+2=2−1，进一步得到S△HOMS△HOE=S△HOMS△HOG=2−1．
本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查对相似三角形的判定和性质的理解，相似三角形对应边的比相等．根据已知可得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例不难求解．
【解答】
解：∵EF//BC
∴△AEF∽△ABC
∴AE：AB=EF：BC
∵AE：EB=1：2，
∴AE：AB=1：3．
∴EF：BC为1：3．
故选B．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积．
①由折叠可知∠1=∠2，∠3=∠4，即可得∠EBG=45∘；
②由ABDE≠AGDF，可知②错误；
③通过计算S△ABG与S△FGH即可得结论；
④通过计算AG+DF=5，而FG=5，故④正确．
【解答】
解：如图
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，
∴∠2+∠3=12∠ABC=45∘，即∠EBG=45∘，
所以 ①正确;
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，
∵AB=6，BF=10，
∴AF=102−62=8，
∴DF=AD−AF=10−8=2，
设EF=x，则CE=x，DE=CD−CE=6−x，
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2=EF2，
∴(6−x)2+22=x2解得x=103，
∴ED=83，
HF=BF−BH=10−6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8−y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，
∴y2+42=(8−y)2，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D，ABDE=683=94，AGDF=32，
∴ABDE≠AGDF，
∴△ABG与△DEF不相似，所以 ②错误;
∵S△ABG=12×6×3=9，S△FGH=12⋅GH⋅HF=12×3×4=6，
∴S△ABG=32S△FGH，所以 ③正确;
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以 ④正确，
∴ ① ③ ④正确，
故选B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点.标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠ADF，然后求出△ADF和△DBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出DFBE=53，即DEEB=53，设BE=3acm，表示出DE=5acm，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．
【解答】
解：如图
∵正方形的边DF//CB
∴∠B=∠ADF
∵∠AFD=∠DEB=90∘
∴△ADF∽△DBE
∴DFBE=ADDB=106=53
∴DEEB=53
∵DE//AC
∴△BDE∽△BAC
∴ACBC=DEEB=53
设BE=3acm，则DE=5acm，
∴BC=3a+5a=8acm
AC=8a×53=403a
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
即(403a)2+(8a)2=(10+6)2
解得a2=1817
红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a−(5a)2
=1603a2−25a2
=853a2
=853×1817
=30cm2．
故选：A．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键.根据相似多边形的性质列出比例式，计算得到答案．
【解答】
解：∵矩形ABCD∽矩形BCFE，
∴FCAD=ADAB，即AB−ADAD=ADAB，
整理得，AB2−AD⋅AB−AD2=0，
AB=1±52AD，
∴AB:AD=5+12，
故选C．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．
先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．
【解答】
解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，
∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，
∵正六角星形AFBDCE的面积为1，
∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为14，
同理可得，第二个正六角形的面积为142=116
第三个正六角形的面积为：143=164，
第四个正六角形的面积为：144=1256．
故选D．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO=a，CF=a+1，CE=12(a+1)，是解决问题的关键．根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=a，CF=a+1，CE=12(a+1)，进而得出点B的横坐标．
【解答】
解：∵点C的坐标是(−1,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．
点B的对应点B′的横坐标是a，
∴FO=a，CF=a+1，
∴CE=12(a+1)，
∴点B的横坐标是：−12(a+1)−1=−12(a+3)．
故选D．
13.【答案】94
【解析】解：∵x2=y3=z4≠0，
∴设x2=y3=z4=k，
∴x=2k，y=3k，z=4k，
∴xy+yzxz
=xyxz+yzxz
=yz+yx
=3k4k+3k2k
=34+32
=94，
故答案为：94．
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
14.【答案】2；5−1
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，根据折叠的性质得到CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，
∴CF=AD，∠CFD=90°，
∴∠ADE+∠CDF=∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠ADF=∠DCF，
∴△ADE≌△FCD(ASA)，
∴DF=AE=2；
∵∠AFE=∠CFD=90°，
∴∠AFE=∠DAE=90°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴AEEF=DEAE，
∴2EF=2+EF2，
∴EF=5−1(负值舍去)，
∴BE=EF=5−1，
故答案为2；5−1．
15.【答案】250
【解析】解：根据相似多边形的面积比是相似比的平方，得：
实际面积是10×2.5×1011=2.5×1012(cm2)=250(km2)，故填250．
面积比是比例尺的平方比，依题意可得出甲地实际的面积
注意面积比是比例尺的平方比，这里特别注意单位的换算．
16.【答案】(2,0)或(−43,23)
【解析】
【分析】
本题主要考查位似图形的性质，难度一般，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解．两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行，则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可．
【解答】
解：①当两个位似图形在位似中心O′同旁时，位似中心O′就是CF与x轴的交点，
设直线CF解析式为y=kx+b，将C(−4,2)，F(−1,1)代入，
得−4k+b=2−k+b=1,
解得k=−13b=23,
即y=−13x+23，
令y=0得x=2，
∴O′坐标是(2,0)；
②当位似中心O′在两个正方形之间时，
可求直线OC解析式为y=−12x，直线DE解析式为y=14x+1，
联立y=−12xy=14x+1，解得x=−43y=23,
即O′(−43,23).
故答案为(2,0)或(−43,23).
17.【答案】解：(1)设线段AC的长度为x(0
由AC2=BC·AB， 可列方程x2=(1−x)×1.
整理，得x2+x−1=0.
解得x1=5−12，x2=−5−12(不合题意，舍去).
所以线段AC的长度为5−12．
(2)设线段AD的长度为y，
则CD=AC−AD=AC−y.
由AD2=CD·AC， 可列方程y2=AC(AC−y).
整理，得y2+ACy−AC2=0.
解得y1=5−12AC，y2=−5−12AC(不合题意，舍去).
所以线段AD的长度为5−12AC．
(3)设线段AE的长度为z，
则DE=AD−AE=AD−z.
由AE2=DE·AD， 可列方程z2=AD(AD−z)，
整理，得z2+ADz−AD2=0.
解得z1=5−12AD，z2=−5−12AD(不合题意，舍去).
所以线段AE的长度为5−12AD．
上面各小题反映的规律：若C为线段AB上一点，AC>BC，且满足AC2=BC·AB，则AC=(5−1)2AB．
【解析】见答案
18.【答案】解：当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=a+b−c+a−b+c−a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，
即a+b−c=c，a−b+c=b，−a+b+c=a，
整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，
此时原式=8abcabc=8；
当a+b+c=0时，可得：a+b=−c，a+c=−b，b+c=−a，
则原式=−1．
综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或−1．
【解析】此题考查了比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果．
19.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx−8经过点A(−2,0)，D(6,−8)，
∴4a−2b−8=036a+6b−8=−8，
解得b=−3a=12,
∴抛物线解析式为y=12x2−3x−8，
∵y=12x2−3x−8=12(x−3)2−252，
∴抛物线对称轴为直线x=3，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标(−2,0)，
∴点B坐标(8,0)．
设直线l的解析式为y=kx，
∵经过点D(6,−8)，
∴6k=−8，
∴k=−43，
∴直线l的解析式为y=−43x，
∵点E为直线l与抛物线对称轴的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为−43×3=−4，
∴点E坐标(3,−4)．
(2)抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，
此时点F纵坐标为−4，
∴12x2−3x−8=−4，
∴x2−6x−8=0，
x=3±17，
∴点F坐标(3+17,−4)或(3−17,−4)．
(3)①如图1中，
当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标(3,−4)，
∴OE=32+42=5，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H.则OMOP=OEOQ，
∴OM=OE=5，
∴点M坐标(0,−5)．
设直线ME的解析式为y=k1x−5，
∴3k1−5=−4，
∴k1=13，
∴直线ME解析式为y=13x−5，
令y=0，得13x−5=0，解得x=15，
∴点H坐标(15,0)，
∵MH//PB，
∴OPOM=OBOH，即−m5=815，
∴m=−83，
②如图2中，
当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．
∵当x=0时，y=12x2−3x−8=−8，
∴点C坐标(0,−8)，
∴CE=32+(8−4)2=5，
∴OE=CE，
∴∠1=∠2，
∵QO=QP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CE//PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x−8，
∴3k2−8=−4，
∴k2=43，
∴直线CE解析式为y=43x−8，
令y=0，得43x−8=0，
∴x=6，
∴点N坐标(6,0)，
∵CN//PB，
∴OPOC=OBON，
∴−m8=86，
∴m=−323．
③OP=PQ时，显然不可能，理由，
∵D(6,−8)，
∴tan∠1=34，tan∠BOD=43，
∴∠1<∠BOD，
∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO>∠1，
∴OP≠PQ，
综上所述，当m=−83或−323时，△OPQ是等腰三角形．
【解析】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题．
(1)根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标；
(2)抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为−4，令y=−4即可解决问题；
(3)①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE//PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．③OP=PQ时，不成立．
20.【答案】解：(1)过点D作DE//PM交AB于E，
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且AMAE=APAD，(2分)
∴AMAB=AM2AE=13；(1分)
(2)延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，
则四边形ABQC是平行四边形．(1分)
∴PM//BQ，PN//CQ，
∴AMAB=APAQ，ANAC=APAQ(2分)
∴AMAB=ANAC；(1分)
(注：像第(1)题那样作辅助线也可以．)
(3)过点D作DE//PM交AB于E，
∴AMAE=APAD，(1分)
又∵PM//AC，
∴DE//AC
∴AEAB=CDBC，(1分)
∴AMAB=AMAE×AEAB=APAD×CDBC(1分)
同理可得：ANAC=APAD×BDBC(1分)
∴AMAB+ANAC=APAD×(CDBC+BDBC)=APAD.(1分)
(注：如果像第(2)题那样添辅助线，也可以证．)
【解析】(1)过点D作DE//PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
(2)延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM//BQ，PN//CQ，继而可得AMAB=ANAC；
(3)过点D作DE//PM交AB于E，即可得AMAE=APAD，又由PM//AC，根据平行线分线段成比例定理可得AEAB=CDBC，继而求得AMAB+ANAC=APAD．
此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)在Rt△ABE和Rt△AHE中，
∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE=HE，同理，DF=FH，
∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20．
(2)∵E是BC中点，
∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10−x，
在Rt△ECF中，∵∠C=90°，
∴EF2=EC2+CF2，
∴52+(10−x)2=(5+x)2，
解得x=103，即DF=103，则CF=10−103=203，
∴CF=2DF．
(3)在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，
∴△BPE∽△APQ，
∴BPAP=EPQP，
即BPEP=APQP，
∵∠APB=∠QPE，
∴△APB∽△QPE，
∴∠QEP=∠ABP=45°，
∵∠EAF=45°，
∴∠QEA=∠QAE=45°，
∴AQ=EQ．
【解析】(1)想办法证明EB=EH，FD=FH，即可解决问题；
(2)通过计算求出CF、DF即可解决问题；
(3)想办法证明△APB∽△QPE，可得∠AEQ=∠ABP=45°即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)证明：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°．
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE；
(2)∵△ABD∽△CBE，
∴ABCB=BDBE，即AB6=32，解得AB=9，
∴AE=AB−BE=9−2=7；
(3)在Rt△BEC中，
∵BE=2，BC=6，
∴CE=BC2−BE2=62−22=42．
∵∠ADC=∠CEB=90°，∠ECB=∠ECB，
∴△CDF∽△CEB，
∴CDCE=DFBE，即342=DF2，解得DF=324，
∴S△CFD=12×324×3=928．
【解析】(1)先根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再由CE⊥AB得出∠ADB=∠CEB=90°，进而可得出结论；
(2)根据△ABD∽△CBE可得出ABCB=BDBE，进而可得出结论；
(3)先根据勾股定理求出CE的长，再由∠ADC=∠CEB=90°，∠ECB=∠ECB得出△CDF∽△CEB，由相似三角形的性质可得出DF的长，根据三角形的面积可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
23.【答案】(1)解：过点C作CE//BD，交AB于点E，易得四边形CEBD为矩形．
∴CE=BD=3，EB=CD=2，
依题意有 AEEC=10.5，即 AE3=10.5，
∴AE=6，
∴AB=AE+EB=6+2=8．
即电线杆AB的高为8米．
(2)不对．理由如下：
设电线杆AB影子全部落在地面上时的影长为x米，则8x=10.5，
∴x=4(米)
答：电线杆AB影子全部落在地面上时的影长为4米．
【解析】(1)利用在同一时刻、同一地点物体的高与其影子长的比值相同来解答．
(2)设电线杆AB影子全部落在地面上时的影长为x米，依据“物体的实际高度和影长成比例”列出方程并解答．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出等式，求解即可．
24.【答案】解：(1)a(x−1)(x−3)=0，
x1=1，x2=3，
则点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,0)，
∴OA=1，OB=3，
∵△OCA∽△OBC，
∴OAOC=OCOB，即1OC=OC3，
解得，OC=3；
(2)在Rt△BOD中，点C是BD的中点，
∴BD=2OC=23，
由勾股定理得，OD=BD2-OB2=(23)2-32=3，
∴点D的坐标为(0,-3)
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
则b=-33k+b=0,
解得，k=33b=-3,
则直线BD的解析式为：y=33x-3，
∵点B的坐标为(3,0)，点D的坐标为(0,-3)，点C是BD的中点，
∴点C的坐标为(32,-32)，
∴-32=a(32-1)(32-3)，
解得，a=233，
∴抛物线的解析式：y=233(x−1)(x−3)，即y=233x2-833x+23；
(3)作PG⊥OB交BD于G，
tan∠OBD=ODOB=33，
∴∠OBD=30°，
∵PF//AB，
∴∠PFG=∠OBD=30°，
∴PF=3PG，
∵PE⊥BC，PF⊥PG，
∴∠EPG=∠PFG=30°，
∴PE=32PG，
∴PE+PF=3PG+32PG=332PG，
设点P的坐标为(m,233m2-833m+23)，点G的坐标为(m,33m-3)，
∴PG=33m-3-(233m2-833m+23)
=-233m2+33m−33
∴PE+PF=332PG
=−3m2+272m-272
=−3(m-94)2+2716，
则PE+PF的最大值为2716．
【解析】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤、相似三角形的性质，掌握二次函数的性质、相似三角形的性质是解题的关键．
(1)解方程求出点A的坐标、点B的坐标，得到OA=1，OB=3，根据相似三角形的性质列出比例式，求出OC；
(2)根据直角三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出OD，利用待定系数法求出直线BD的解析式，根据中点的概念求出点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(3)作PG⊥OB交BD于G，根据正切的定义得到∠OBD=30°，用PG分别表示出PE、PF，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质解答．
25.【答案】解析 (1)如图，正方形E′F′P′N′即为所求．
(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，∴∠CAE=∠B=60∘，
∴AE′=BF′=33x.
∵E′F′+AE′+BF′=AB，∴x+33x+33x=3+3，
解得x=33−3．
(3)如图，连接NE、EP、PN，易知∠NEP=90∘．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n)，
它们的面积和为S，
则NE=2m，PE=2n，
∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2= 2(m2+n2)，
∴S=m2+n2=12PN2，
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=(m+n)2+(m−n)2．
∵AD+DE+EF+BF=AB，
∴33m+m+n+33n=3+3，
化简得m+n=3，
∴S=12[32+(m−n)2]=92+12(m−n)2．
①当(m−n)2=0，即m=n时，S最小，∴S最小=92．
②当(m−n)2最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大．
∵m+n=3，由(2)知，m最大=33−3，∴n最小=6−33．
∴S最大=12[9+(m最大−n最小)2]=12×[9+(33−3−6+33)2]=99−543．
综上所述，S最大=99−543，S最小=92．
【解析】见答案
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