人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质精品复习练习题

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知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
知识点二：实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式的探究
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
题型01由已知条件判断所给不等式是否正确
【典例1】（2023春·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于A，令，所以，所以A不正确；
对于B，因为，所以，所以由不等式的可加性知：，所以B正确；
对于C，令，所以，所以C不正确；
对于D，令，所以，所以D不正确.
故选：B.
【典例2】（多选）（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）设为正实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】AC
【详解】对于A，由及为正实数，
可知，，则，
由，可得，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：AC
【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】因为实数，，满足，，所以，.
对于A：因为，所以，因为，所以，所以A错误；
对于B，若，则，因为，所以，所以B错误；
对于C，因为，，所以，所以C正确；
对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误.
故选：ABD
【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】对于A选项，因为，，则，，所以，，A错；
对于B选项，因为，所以，
因为，所以，所以，则，，
所以，，B对；
对于C选项，因为，则，因为，则，C对；
对于D选项，因为，，所以，，D对.
故选：BCD.
【变式2】（多选）（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】BC
【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；
B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；
C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；
D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.
故选：BC.
题型02由不等式的性质比较数（式）大小
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若，，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，即，因为，
所以即.
故选：B
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【答案】
【详解】，
，
，
.
【变式1】（多选）（2023·全国·模拟预测）若，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】对于A：由题意可得，因为，所以，故A正确；
对于B：当，时，满足已知条件，但，故B错误；
对于C：当，，时，满足已知条件，但，故C错误；
对于D：，因为，可得，所以，故D正确．
故选：AD.
【变式2】（多选）（2023秋·福建三明·高一统考期末）已知，，则下列四个不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】对A，，则，则，A错；
对B，，则，B对；
对C，，则，则，则，则，C对；
对D，，则，又，则，故a与的大小关系不确定，D错.
故选：BC.
题型03作差法比大小
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与的大小关系为（ ）
B．C．D．，大小关系不确定
【答案】B
【详解】，
∴M故选：B.
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】，
当时，，所以，
可得，所以充分性成立；
但当时，即也成立，
所以必要性不成立．
因此“”是“”的充分不必要条件．
故选：B.
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知，
当且仅当时，等号成立；
即.
故选：A
【变式2】（2023·上海·高三统考学业考试）设，，则s与t的大小关系是________.
【答案】
【详解】,
.
故答案为：.
题型04利用不等式求值或取值范围
【典例1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
【典例2】（多选）（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】对于A选项，所以，A选项正确；
对于B选项，所以，B选项不正确；
对于C选项，所以，C选项正确；
对于D选项，所以，D选项不正确；
故选：AC.
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】令，，则，
∵，，即，，
∴，则，即.
故选：C
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．
【答案】详见解析.
【详解】因为，，
所以，
即的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
易知，
而
则，
所以的取值范围是．
题型05用不等式表示不等关系
【典例1】（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为，，（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.
故选：C.
【典例2】（2023·高一课时练习）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．
【答案】
【详解】解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以
故答案为：
【变式1】（2023·高一课时练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积．
图（2）是一个矩形，面积．
可得：．
故选：A
【变式2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即
故选：D
题型06易错题（利用不等式求值或取值范围）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设，，则的取值范围是_____，的取值范围是____.
【答案】
【详解】由，，同向不等式的可加性，得；
由，，同向同正不等式的可乘性，得；
故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若,,则的取值范围是________.
【答案】
【详解】因为,
所以,
又,
所以,
所以.
故答案为:.
2.1等式性质与不等式性质
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）下列不等式正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【答案】D
【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；
对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；
对于D，，所以，故D正确．
故选：D．
2．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．如果，则B．如果，则
C．如果，则D．如果，，则
【答案】C
【详解】AB选项，若，满足，但此时，，AB错误；
C选项，如果，则，故，不等式两边同时除以，则，C正确；
D选项，若，满足，，但，，D错误.
故选：C
3．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）下列命题为真命题的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【详解】对于A，若，则，当时不成立，故A错误；
对于B，若，所以，则，故B正确；
对于C，若，则，取，计算知不成立，故C错误；
对于D，若，则，取，计算知不成立，故D错误.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（ ）
A．MN
C．M≤ND．M≥N
【答案】B
【详解】，
所以.
故选：B.
5．（2021秋·高一单元测试）设， ，则有（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【详解】，∴.
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为,所以,
由,得,
故选：A
二、多选题
7．（2023秋·山东威海·高一统考期末）已知，则下列选项中能使成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】对于A：，，，，故A正确；
对于B：，，，，故B错误；
对于C：，，故C正确；
对于D：，，，，故D错误；
故选：AC.
8．（2020·北京·高三校考强基计划）设a，b，c均为大于零的实数，若一元二次方程有实根，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为a，b，c均为大于零的实数，
故方程与的根互为倒数.
故不妨设，则，
于是，因此，
故选项CD成立．
情形一 若，则，
于是，从而．
情形二 若，则．
情形三 若，
注意是关于a的对勾函数，当时，上确界在a取区间端点时取到．
故，
则．
综上所述，选项B成立．
故选：BCD.
三、填空题
9．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知，，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】设，
所以，解得，
因为，，则，，
因此，.
故答案为：.
10．（2020·安徽宣城·高一泾县中学校考强基计划）若关于的不等式只有一个整数解2，则实数的取值范围为 ____________．
【答案】
【详解】的解为，
因为不等式的整数解只有2，故，故，
故答案为：.
四、解答题
11．（2022·全国·高一专题练习）用比较法证明以下各题：
(1)已知，．求证：．
(2)已知，．求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：，，
，
；
（2），，则与符号相同，且，
，
.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的取值范围是？
【答案】
【详解】设，则，解得，
所以，
又，所以，
又，
所以，
即.
故的取值范围为.
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【详解】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，（），
则由题意，所以，
所以，因为，所以，又，所以，
即刘老师总共跑的圈数为8.
故选：B
2．（2022秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）若且.则成立的一个充分非必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】A.当时，，则，故A错误；
B.当时，不满足，故B错误；
C.当时，，则，反过来，时， ，推不出，所以是成立的一个充分非必要条件，故C正确；
D.当时，不满足，故D错误.
故选：C
3．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）设，，，则P，Q，R的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
而，，
而，
，即，
综上，.
故选：B.
4．（多选）（2022秋·江苏常州·高一校考阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则一定有
【答案】BCD
【详解】对于A，，，
，，故A错误，
对于B，，，
，，故B正确，
对于C，，，
，，
，
，故C正确，
对于D，，，
，，
，故D正确，
故选：BCD
5．（2023·高一单元测试）（1）已知，比较与的大小．
（2）已知，比较与的大小．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）．
∵，∴，即，当且仅当时取等号．
（2）．
因为，所以；又，所以，
所以．
课程标准
学习目标
①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。
②会利用不等式性质比较大小。
③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。
1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围.
自然语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
可开方性