人教版27.2.2 相似三角形的性质课后练习题

这是一份人教版27.2.2 相似三角形的性质课后练习题，共41页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在中，中线，相交于点O，连接，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，，顶点A在第一象限，点C，B分别在x轴、y轴的负半轴上，且，，．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）已知：如图，在平行四边形中，、分别是边、的中点，分别交、于、．请判断下列结论：；；；．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4B．9：16C．4：9D．1：3
6．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于点E，下列结论：①△ADE与△ACD一定相似；②△ABD与△DCE一定相似；③当AD＝3时，；④0＜CE≤2．其中正确的结论有几个？（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，平行于BC的线段DE把△ABC分成面积相等的两部分，则若，则BD的长为（ ）
A．B．1C．D．
8．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，在中，DE//BC，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，▱ABCD，E点在边CD上，且2CE＝DE，AC与BE相交于点F，△EFC的面积是1，则▱ABCD的面积是( )
A．12B．13C．24D．8
11．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的相似比为（ ）
A．1：B．1：2C．1：4D．1：16
二、填空题
12．（2022秋·河南焦作·九年级统考期末）如图，正方形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在x轴上，边经过原点O，若的面积为5，则正方形的周长为 ．
13．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，点E是对角线上一点，于点F，于点G，连接，则的最小值为 ．
14．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，、分别是的边、上的点，，，且，则的长为 ．
15．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，等边的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点．若，则的长为 ．
16．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）在矩形中，，点在边上，连接将沿折叠，若点的对称点到的距离为，则的长为 ．
17．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，已知反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB＝120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为 ．
18．（2022秋·河南周口·九年级期末）在中，，，绕点A旋转后能与重合，那么与的周长之比是 ．
19．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时开始运动，当点P运动到终点B时，点Q也停止运动．在运动过程中，若以B，P，Q为顶点的三角形与相似，则运动时间为 ．
三、解答题
20．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）在四边形中，（、分别为边、上的动点），的延长线交延长线于点，的延长线交延长线于点．

(1)如图①，若四边形是正方形，_______（填写与相似的三角形）；
(2)如图②，若四边形是菱形．
①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
②若，，连接，当时，请直接写出的长．
21．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在中，，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，且．

求证：
(1)；
(2)平分．
22．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）在和中，，点F是的中点，连接，将绕点C旋转一周，试判断和的关系．
(1)如图①，当点E在上时，和的数量关系为_____________，直线和直线相交所成的锐角的度数为______________；
(2)如图②，当点E不在上时，（1）中的关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请写出新的关系，并说明理由．
(3)若，将绕着点C旋转一周的过程中，当D，E，B三点共线时，直接写出的长．
23．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图（1），在中，，，，动点从点开始沿边匀速向运动，动点从点开始沿边匀速向运动，它们的运动速度均为1cm/s．点和点同时出发，设运动的时间为，．
(1)用含的代数式表示；
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值；
(3)如图（2），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值（不用写过程）．
24．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___；
(2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当时，连接DG，请直接写出___；
(3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长．
25．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC＝∠B．点E在AD边上，CD＝CE．
(1)求证：△ABD∽△CAE；
(2)若AB＝9，AC＝BD＝6，求AE的长．
26．（2022秋·河南安阳·九年级统考期末）如图，等腰中，，，的顶点D在线段AB上移动（D与A，B不重合），边DM始终经过点C，DN与BC交于点E，且．
(1)求证：；
(2)求BE最大时AD的长度；
(3)移动过程中，成为等腰三角形时，AD的长为______．
27．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）如图，在中，，，点E从点C出发，在边上以的速度移动；点D从点A出发，在边上以的速度移动．若点E、D分别同时从点C，A出发，当一个点到达终点时，另一个点也停止移动．经过多少时间以A，D，E为顶点的三角形与相似？
28．（2022秋·河南许昌·九年级统考期末）如图1，在中，，，点D、E分别在边AC、AB上，，连接DE．将绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为．
(1)[问题发现]①当时，____________；
②当时，____________；
(2)[拓展研究]试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)[问题解决]当旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为_____________．
29．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
30．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．
(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；
(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．
参考答案：
1．C
【分析】先判断为的中位线，则根据三角形中位线性质得到，，于是可对①进行判断；证明，利用相似比得到，，则可对②进行判断；加上，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到，，则可对④进行判断．
【详解】解：、为的中线，
为的中位线，
，，所以①正确；
，
，
，，所以②错误；
，
，所以③正确；
，
，
，
，
，所以④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了三角形中位线性质和相似三角形的判定与性质．
2．B
【分析】首先过点A作轴于点T，得到，进而得出A点坐标，再根据绕原点旋转一定角度的点的坐标得出旋转结束后的A点坐标即可．
【详解】解：如图，过点A作轴于点T．
，，，
，
，
，，
，
，
，
即，
，，
，
．
绕点O逆时针旋转，每次旋转，发现规律：旋转6次一个循环．
，
此时点A位于第三象限，且与点A关于原点成中心对称，
第2025次旋转结束时，点A的坐标为，
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质和求绕原点旋转一定角度的点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3．D
【分析】（1）根据BF∥DE，BF=DE可证BEDF为平行四边形；（2）根据平行线等分线段定理判断；（3）根据△AGE∽△CGB可得；（4）由（3）可得△ABG的面积=△AGE面积×2．
【详解】解：(1)∵▱ABCD,
∴AD=BC,AD∥BC.
E.F分别是边AD、BC的中点，
∴BF∥DE，BF=DE.
∴BEDF为平行四边形，BE=DF.故正确；
(2)根据平行线等分线段定理可得AG=GH=HC.故正确；
(3)∵AD∥BC,
∴△AGE∽△CGB，AE:BC=EG:BG=1:2，
∴.故正确,
(4)∵BG=2EG，
∴△ABG的面积=△AGE面积×2，
∴S△ABE=3S△AGE.故正确.
故选:D.
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
4．C
【分析】由于平行线之间的距离处处相等，则根据三角形面积公式得到,再证明△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得到利用比例的性质得到，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离相等，
∴
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴
故选:C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
5．B
【分析】通过平行线可得到△DFE∽△BFA，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
6．A
【分析】利用有两个角对应相等的两个三角形相似可以判定①②正确；根据相似三角形对应边成比例，利用△ADE∽△ACD得出比例式求得AE的长，进而得出③正确；利用判定③正确的结论，通过分析AD的取值范围即可得出④正确．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝＝4．
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠C＝45°．
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．
∴①正确；
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣45°＝135°．
∵∠B＝45°，
∴∠ADB+∠BAD＝180°45°＝135°．
∴∠BAD＝∠EDC．
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
∴②正确；
由①知：△ADE∽△ACD，
∴．
∴AD2＝AE•AC．
∴．
∴．
∴③正确；
∵点D是边BC上一动点（不与B，C重合），
∴0＜AD＜4．
∵垂线段最短，
∴当AD⊥BC时，AD取得最小值＝BC＝2．
∴2≤AD＜4．
∵AD2＝AE•AC，
∴AE＝＝．
∴2≤AE＜4．
∵EC＝AC﹣AE＝4﹣，
∴0＜CE≤2．
∴④正确．
综上，正确的结论有：①②③④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行相似三角形的判定是解题的关键．
7．D
【分析】设相等的面积为S，则△ABC的面积为2S，△ADE的面积为S，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】设相等的两部分面积为S，则△ABC的面积为2S，△ADE的面积为S，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
解得AB=，
故BD=AB-AD=，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的面积比，熟练掌握性质是解题的关键．
8．B
【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质结合BD=2AD，可得出答案．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，，
∴．
∵BD=2AD，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，牢记各相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．B
【分析】根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△BOC和△COD的面积，从而可以得到△BCD的面积，再根据△ABD和△BCD的面积一样，即可得到四边形AEOD的面积．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，
∴CD∥AB，CD=AB=2BE
∴△DOC∽△BOE，
∴=2，
∵S△EOB=1，
∴S△BOC=2，S△DOC=4，
∴S△BCD=6，
∴S△DAB=6，
∴四边形AEOD的面积为：S△DAB-S△EOB=6-1=5，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．C
【分析】根据平行四边形的性质得△EFC∽△BFA，再由2CE＝DE，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出△ABF的面积，由△BFC与△EFC等高，求出△BFC的面积，从而求出△ABC的面积，进而得出结果．
【详解】解：∵2CE＝DE，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，CD＝AB，
∴△EFC∽△BFA，，
∴，
∵，
∴S△ABF＝9，
∵△CEF∽△ABF，
∴，
∴，
∴S△BFC＝3，
∴S△ABC＝S△ABF＋S△BFC＝12，
∴▱ABCD的面积是，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积计算等知识，利用高相等的两个三角形面积比等于底之比是解题的关键．
11．B
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到它们的相似比=，然后化简即可．
【详解】解：∵两个相似三角形面积的比为1：4，
∴它们的相似比==．
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
12．
【分析】过点A作轴于点E，则，由A在反比例函数的图象上得到，由的面积为5得到，则，再证，进一步得到，设，则，，利用得到,再利用勾股定理求出,即可得到答案．
【详解】解：如图，过点A作轴于点E，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵A在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴,
∴,
∴，，
∴，
∴正方形的周长为．
故答案为：
【点睛】此题考查了正方形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
13．
【分析】连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，过点作，交于点，交于点，先证明四边形是矩形，得到，推出，即当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求出，，然后证明，利用对应边成比例求出，即可得到的最小值．
【详解】解：连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，
由对称的性质可知，，，
过点作，交于点，交于点，
四边形是矩形，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了垂线段最短，对称的性质，矩形的判定个性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键利是用对称的性质将转化为．
14．
【分析】求得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
15．
【分析】根据等边三角形性质求出，推出，证，得出，代入求出即可．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键是推出，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
16．或
【分析】分两种情况进行分类讨论：（1）当在矩形内部到AD的距离为1；（2）点在矩形外部到AD的距离为1.
【详解】解：设CE=x.
当C在矩形内部时，如图，过点C作FG垂直AD，交AD于点F,BC于点G.
由折叠的性质，得D=DC=2,∠=90°,CE=E.
在Rt△DF中，F=1，由勾股定理，得DF==.
又∵∠GE=∠FD,∠GE=∠FD=90°，
∴△GE△FD,∴=.
∴x=.
当C在矩形内部时，如图，过点C’作BC的平行线，交CD的延长线G，过点E作EQ⊥QG于点Q，则EQ=2+1=3,DG=1.

由折叠的性质，得EC’=CE,C’D=CD=2.
在Rt△DG中，DG =1，由勾股定理，得C’G==.
∵∠QEC’=∠GC’D,∠Q=∠G，
∴△QE△GD,=.
∴x=2.
∴CE的长为或.
【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；正确理解折叠的性质是解题的关键．
17．y＝
【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出△AOD面积，即可得到△EOC面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．
【详解】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵反比例函数y＝的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，△ABC是以AB为底作的等腰三角形，∠ACB＝120°，
∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，
则∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠DAO+∠AOD＝90°，
∴∠DAO＝∠COE，
又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴＝tan60°＝，
∴
∵点A是双曲线y＝在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD＝＝
∴S△OCE＝，即×OE×CE＝，
∴OE×CE＝，
∴这个图象所对应的函数解析式为y＝．
故答案为：y＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，面积比等于相似比的平方，以及反比例函数的性质．
18．/
【分析】根据旋转的性质可知与是顶角相等的两个等腰三角形，易证它们相似，利用相似三角形的性质解题．
【详解】解：如图，
由旋转的性质可知，
，，旋转角，
所以，，相似比，
根据相似三角形的周长比等于相似比可知，
与的周长之比为3：4，
故答案为：3：4．
【点睛】本题利用旋转的性质，证明相似三角形，再用相似三角形的性质求周长的比．
19．或
【分析】设点P运动的时间为，则，，再分两种情况求t的值，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的t的值即可．
【详解】解：设点P运动的时间为，则，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
解得；
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
解得．
综上所述，运动时间为或．
故答案为：或．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示相似三角形的对应边的长度是解题的关键．
20．(1)；
(2)①（1）中结论依然成立，理由见解析；②．
【分析】（1）可证得，，从而找出相似三角形；
（2）①可证得，，从而证明结论；②可证得，从而得出，根据，可计算得出，根据，可得的长．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①（1）中结论依然成立
四边形是菱形，
∴，
∴，
∴
∴，
即：，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
②如图，

∵，
∴，
∵，，
四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由①得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键充分利用相似三角形求线段的长度．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角形的外角性质证明，即可证明；
（2）由推出，结合D为的中点得到，再根据相似三角形的判定得到，结合（1）即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴
∵，且，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴．
∵D是的中点，
∴．
∴．即．
∵，
∴．
∴．
由（1）知．
∴．
∴平分．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
22．(1)，
(2)成立，证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，再由点F是的中点，可得是等腰直角三角形，点C，D，F三点共线，从而得到，直线和直线相交所成的锐角的度数为，即可求解；
（2）连接，并延长和延长线交于点P，记与交于H，等腰直角三角形的性质可得，，可证明，从而得到，，再证明，可得，即可；
（3）分两种情况讨论：当点D在线段上时，过当C作交于点N；当点E在线段上时，过当C作交的延长线于点N，结合全等三角形的判定和性质和勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：在和中，∵，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，点C，D，F三点共线，
∴，直线和直线相交所成的锐角的度数为；
∴；
故答案为：，
（2）解：成立，证明如下：
如图，连接，并延长和延长线交于点P，记与交于H，
由（1）得：和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：如图，当点D在线段上时，过当C作交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
如图，当点E在线段上时，过当C作交的延长线于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，利用类比思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．
23．(1)；
(2)以点、、为顶点的三角形与相似时，或；
(3)当为直角三角形时，的值为或．
【分析】（1）直接写出即可；
（2）分当和时，利用相似三角形的性质，列式计算即可求解；
（3）分当时，作于点D，则，利用平行线分线段成比例定理列式计算即可求解；当时，作于点N，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴；
（2）解：，，，
由（1）得，
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得；
综上，以点、、为顶点的三角形与相似时，或；
（3）解：作于点D，
∵，，，
∴，，
当时，则，
∴，即，
解得；
当时，作于点N，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，则，
∴，
解得；
综上，当为直角三角形时，的值为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．(1)∠CAD=∠GAD；
(2)①AD∥BC； ②3
(3)9
【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD；
（2）①由AD平分∠CAG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；
②易证，可得
（3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，由（2）可得，
即可用一线三等角模型构造相似解题．
【详解】（1）由尺规作图步骤发现AD平分∠CAG
∴∠CAD=∠GAD；
（2）①∵
∴
∵∠CAD=∠GAD,
∴
∴AD∥BC
②∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
（3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，如图
由（1）（2）可得,
设则
∵点P为AB的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，解得
∴．
【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图的步骤判断是作角平分线．
25．(1)证明见解析
(2)4
【分析】(1)根据已知条件可得，∠DAC =∠B，即可证明△ABD~△CAE；
(2)根据△ABD~△CAE，对应边成比例即可求出A E的长．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）由（1）得，
∴，
，，，
∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
26．(1)见解析
(2)8cm
(3)6cm或9.75cm
【分析】（1）三角形的外角和证得，再根据等腰三角形底角相等可得三角形相似．
（2）由三角形相似得出相似比，得出一元二次方程，求极值．
（3）分三种情况讨论，利用三角形相似求得AD的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
设，则
∴，
∴时，BE最大
∴BE最大时AD的长度为8cm
（3）当CD=DE时
∵，
∴
∴AC=BD=10cm
∴AD=AB-BD=6cm
当CD=CE时
∵
又∵
∴
与题目相矛盾，此结论不成立．
当CE=DE时
∴
又∵
∴
设AD=x BD=16-x CD=BD=16-x
∴
∴
∴
根据，
∴
解得 a=9.75
故答案为：6cm或9.75cm
【点睛】此题考查了等腰三角形性质、相似三角形的判定、一元二次方程求极值，解题的关键是熟记相关知识点并会应用．
27．经过或秒，以A，D，E为顶点的三角形与相似．
【分析】由于相似三角形的对应边不能确定，故应分，两种情况进行讨论．
【详解】解：∵中，，，
∴cm，
∵点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向A运动，
∴，
∴当时，，即，解得（秒）；
当时，，即，解得（秒）；
综上所述，经过秒或秒时，以A，D，E为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
28．(1)①；②
(2)没有变化，证明见解析
(3)或
【分析】（1）①利用等腰三角形的性质判断出∠A＝∠B，∠A＝∠AED，进而得出∠B＝∠DEA，得出DE∥BC，再根据平行线分线段成比例即可得出结论；
②同①的方法，即可得出结论；
（2）利用两边成比例，夹角相等，判断出△ADC∽△AEB，即可得出结论；
（3）分情况讨论：①当点E在BD上时，②当点E在BD的延长线上时，分别利用勾股定理求出BD，进而得出BE，再结合（2）中结论求出CD即可．
【详解】（1）解：①在Rt△ABC中，AC＝BC，
∴AB＝AC，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠A，
∴∠DEA＝∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠B，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠B，
∴DE∥BC，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）当时，的大小没有变化；
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，∠CAB＝45°，
同理，∠DAE＝45°，
∴，
∵∠CAB＝∠DAE，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴△ADC∽△AEB，
∴；
（3）分情况讨论：
①如图，当点E在BD上时，
∵，，
∴AB＝，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
由（2）可知，
∴；
②如图，当点E在BD的延长线上时，
∵AB＝，，，
∴，
∴BD，
∴，
由（2）可知，
∴，
综上，线段CD的长为或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等，判断出两三角形相似是解本题的关键．
29．（1）；（2）点P（﹣1，3）或（﹣3，3）
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点A，点B，点D坐标，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，
∴x1＝﹣4，x2＝0，
∴点A（﹣4，0），点B（0，0），
∴对称轴为x＝﹣2，
∴点D（﹣2，4），
如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣m2﹣4m），
∵△PEF∽△DAB，
∴，
∴PQ＝×4＝1，
∴|m+2|＝1，
∴m＝﹣1或﹣3，
∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的性质、坐标与图形的性质、解二元一次方程、解绝对值方程，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，利用相似三角形的性质：高之比等于相似比求解是解答的关键．
30．(1)相似，见解析
(2)图见解析，面积为5
【分析】（1）相似，分别求出每个三角形的三条边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似判断即可；
（2）根据勾股定理得出三角形各边长，利用边长之比相等，作出面积最大的格点三角形即可．
【详解】（1）△ABC∽△DEF，理由如下：
在△ABC中，AB=2，BC=，AC=，
在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，
∴，
∴△ABC∽△DEF；
（2）如图，△MNP即为所求，
．
【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．