初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数习题

这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数习题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，点都在格点上，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（ ）
A．sinA＝B．tanA＝C．tanB＝D．csB＝
4．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）如图，中，，点D在AC上，．若，，则BD的长度为（ ）
A．B．C．D．4
5．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
6．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在网格中的格点上，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是（ ）
A．B．2C．D．
8．（2022秋·河南濮阳·九年级统考期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75mB．50mC．30mD．12m
9．（2022秋·河南信阳·九年级统考期末）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
10．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
11．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）在高为的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别是和则这个建筑物的高度是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022秋·河南三门峡·九年级统考期末）如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．8mmB．16mmC．8mmD．4mm
二、填空题
13．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）在中，、、的对边分别为a、b、c，且三边满足，，则 ．
14．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，有一个斜坡长，坡顶离地面的高度为，则的正弦值为 ．
15．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点（网格线交点）上，则的值为 ．
16．（2022秋·河南商丘·九年级统考期末）在中，．则 ．
17．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，已知在Rt△ABC中，，．，则的值是 ．
18．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕 ．
19．（2022秋·河南郑州·九年级统考期末） ．
20．（2022秋·河南开封·九年级统考期末）在中，与都是锐角，且，则的形状是 ．
21．（2022秋·河南周口·九年级统考期末）在中，都是锐角，且满足，则三角形的形状是 ．
22．（2022秋·河南新乡·九年级统考期末）比较大小： ．
23．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为 ．
三、解答题
24．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以1cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为，请解决下列问题：
(1)若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？
(2)是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
25．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）在我们的数学活动中，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如下方法：
操作感知：
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，再把纸片展开；
第二步：如图2，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．

(1)在图2中，请至少写出3个的角；
(2)猜想论证：若延长交于点，如图3所示，请判定的形状并证明你的结论；
(3)拓展探究：在图3中，若，，请说明当，满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符合（2）中的．
26．（2022秋·河南洛阳·九年级统考期末）（1）计算：；
（2）化简：．
27．（2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末）（1）计算：；
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
28．（2022秋·河南驻马店·九年级统考期末）计算:
(1)；
(2)．
29．（2022秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，有一个直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中MN的与数轴之间的距离为 ；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是 ；
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积；
（4）求OA的长，（结果保留）
参考答案：
1．D
【分析】过点作交延长线于点，根据勾股定理求出的长，然后根据即可得出答案．
【详解】解：过点作交延长线于点，
则，
则在中，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦的定义以及勾股定理，根据网格构造直角三角形是解本题的关键．
2．B
【分析】先由sinA及已知求得AB的值，再根据勾股定理可以得到AC的值 ．
【详解】解：∵∠C＝90°，sinA＝，
∴AB＝BC＝×3＝5，
∴AC＝＝＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的意义及勾股定理的应用是解题关键．
3．C
【分析】由勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinA、tanA、tanB、csB即可．
【详解】Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝，csB＝＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是关键．
4．C
【分析】根据三角函数的概念求出的长，再根据勾股定理求出的长，再证明，从而得出比例关系，求出的长．
【详解】解：∵ ，，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角函数、相似三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角函数以及相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据网格的特点判断是直角三角形，根据正切的定义即可求解．
【详解】∵由图可知，，
∴是直角三角形，且，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，求正切函数值，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6．A
【分析】连接CD，先证明△ABC是等腰三角形得CD⊥AB，进而利用正切可得答案．
【详解】解：取格点D，连接CD，如图，
∵AC=，BC=，
∴AC= BC，
∵D为A B的中点，
∴ CD⊥AB，
∵在Rt△BDC中，CD=， BD=，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，能将所求正切值的角转化在直角三角形中是解题的关键．
7．B
【分析】在直角三角形ADE中，，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．
【详解】设菱形ABCD边长为t．
∵BE＝2，
∴AE＝t−2．
∴，
∴，
∴t＝5．
∴AE＝5−2＝3．
∴DE＝＝＝4．
∴tan∠DBE＝＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．
8．A
【分析】根据BC的长度和的值计算出AC的长度即可解答.
【详解】解：因为，又BC＝30，所以，，解得：AC＝75m，所以，故选A.
【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.
9．A
【分析】作辅助线，利用翻折变换的性质得出，再根据直角三角形、平行线的性质得出，最后利用弧度与圆心角的关系得出结论．
【详解】如图：过点作直线于点，连接，
，，
，．
，
即．
的度数是．
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，翻折变换（折叠问题）的理解与运用能力．涉及特殊角的三角函数值，求此角；两直线平行，内错角相等；弧度与圆心角都是指圆心角大小，圆心角是角度为单位，弧度是弧度制等知识点．恰当利用辅助线，根据翻折变换的特点（对称性）建立等式关系是解本题的关键．
10．C
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：∵sinα＝，
∴∠α=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
11．C
【分析】作CE⊥AB，根据∠DAB可以求得CE的长，根据CE即可求得AE的长，根据CD＝BE＝AB−AE即可解题．
【详解】解：如图，作CE⊥AB，
根据题意可知：∠DAB＝90°−60°＝30°，AB＝60m，∠ACE＝30°，
∴BD＝AB×tan30°＝，
∴CE＝BD＝，
∵∠ACE＝30°，
∴AE＝CEtan30°＝，
∴CD＝BE＝AB−AE＝60−20＝40（m），故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，特殊角的三角函数值，本题中求得BD的长是解题的关键．
12．C
【分析】由题意设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，则∠AOB=∠BOC=60°，得出OA=OB=AB=OC=BC，则四边形ABCO是菱形，得出AC⊥OB，AM=CM，由sin∠AOB=，进而计算即可得出结果．
【详解】解：设正六边形的中心是O，其一边是AB，连接OA、OB、OC、AC，OB交AC于M，如图所示：
∴∠AOB=∠BOC=60°，OA=OB=OC
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，AM=CM，
∵AB=8mm，∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=，
∴AM=（mm），
∴AC=2AM=8（mm），
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆、菱形的判定与性质等知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解答此题的关键．
13．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，用c分别表示出a、b，再利用正弦的概念得到，代入计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，代数式求值，锐角三角函数，熟练掌握正弦的概念是解题关键．
14．
【分析】根据正弦的定义直接求解即可
【详解】解：依题意，中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求正弦，掌握正弦的定义是解题的关键．
15．/
【分析】直接根据图象计算即可．
【详解】解：∵正方形网格中，的顶点均在格点上，
∴，，，
∴
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
16．/
【分析】根据题意设，则，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
设，则
∴,
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余弦的定义，勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键．
17．
【分析】根据勾股定理可求出BC的长，再根据正切的求法求解即可．
【详解】∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
18．
【分析】由矩形的性质得，由折叠的性质得，，证得，再由，解得的值，设，则，利用矩形的性质求得，在中，由勾股定理计算求解即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数．解题的关键在于找出线段的数量关系，多次运用勾股定理求解．
19．
【分析】根据特殊角的三角函数代入求值即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．等腰三角形
【分析】根据非负数的性质可得：，由此可求出，即为等腰三角形．
【详解】根据绝对值的非负性可得：，
∴，
∴，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
21．钝角三角形
【分析】根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,再根据三角形内角和定理求得,判断三角形的形状即可．
【详解】
,
是钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．
【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
22．<
【分析】由cs37°=sin53°，根据正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，比较角度的大小即可．
【详解】解：∵cs37°=sin53°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin37°＜sin53°，
∴sin37°＜cs37°，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较，化不同名函数为同名函数，并运用同名函数的性质是解题的关键．
23．
【分析】利用的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在上，设M的坐标，最后通过可以求出M点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，
由题意可知，
则，C在上，
设


即 解得（不符合题意，舍去）
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题意，求出C点的坐标是解决问题的关键．
24．(1)1.2或3
(2)存在，或4
【分析】（1）当APQ为直角三角形时，∠A=60度，所以可能只有∠APQ=90°或∠AQP=90°，当∠APQ=90°时，∠AQP=30°，AP=AQ，求出t=1.2秒；当∠AQP=90°时，∠APQ=30°，AQ=AP，求得t=3秒；
（2）当点P在AC上时，边AQ=6-t，算出AQ上的高PD=，即可写出（6-）●=，求得t=3-；当点P在BC上时，算出AQ边上的高PF=，即可写出（6-）●=，求得t=4．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA=6，∠A=∠B=∠C=60°，
当点P在边AC上时，由题意知，AP=2，AQ=6-，
当∠APQ=90°时，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，
当∠AQP=90°时，AQ=AP，即6-=×2，解得=3，
所以，点P在边AC上，当为1.2s或3s时，△APQ为直角三角形；
（2）存在
①当点P在边AC上时，此时0≤≤3，
过点P作PD⊥AB于点D，
在Rt△APD中，∠A=60°，AP=2，
∴sinA=，即sin60°==，
∴PD=，S△APQ=AQ●PD=（6-）●，
由（6-）●=，得（不合题意，舍去），；
②当点P在边BC上时，此时3≤≤6，
如图，过点P作PF⊥AB于点F，
在Rt△BPF中，∠B=60°，BP=12-2，
∴sinB=，即sin60°==，
∴PF=，S△APQ=AQ●PF=（6-）●，
由（6-）●=得
因此，当t为s或4s时，△APQ的面积为．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论．
25．(1)，，
(2)等边三角形，见解析
(3)或
【分析】（1）设交与点，连接，由折叠可知，，，，，根据平行线的性质和三角形的内角和可得，得出，则；
（2）连接，根据折叠的性质可得，垂直平分，推得，根据等边三角形的判定和性质可得，，推得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形；．
（3）根据题意可得要在矩形纸片上剪出等边，则，令，根据余弦的定义可得，结合，即可求得当或时，在矩形纸片上能剪出这样的等边．
【详解】（1）设交与点，连接，如图：

由折叠可知，，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，，．
（2）是等边三角形，
证明：连接，如图：

由折叠可知：，垂直平分．
，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
是等边三角形．
（3）当或时，在矩形纸片上能剪出等边．
要在矩形纸片上剪出等边，则，
在中，，，
，
，
，即，
当或时，在矩形纸片上能剪出这样的等边．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，余弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．（1）；（2）
【分析】（1）根据绝对值，零指数幂和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可；
（2）根据分式的混合计算法则求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值等等，熟知相关计算法则是解题的关键．
27．（1）；（2），2
【分析】（1）先算二次根式的化简和零指数幂，再算加减即可；
（2）利用分式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
28．(1)1
(2)
【分析】(1)先计算负整数指数幂，二次根式和0指数幂，再计算加减．
(2)把特殊角的三角函数值带入计算即可．
【详解】（1）
=
=1
（2）
【点睛】本题主要考查了0指数，负指数，二次根式化简，以及特殊角的三角函数值，熟记这些特殊值是解题的关键．
29．（1）2，相切；（2）；（3）6π；（4）
【分析】（1）根据题意直接求得与数轴的距离为半径，根据位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴，即可判断位置Ⅱ中的半与数轴位置关系；
（2）从位置Ⅰ到位置Ⅱ，的长等于数轴上的长，从位置Ⅱ到位置Ⅲ，数轴上的，故数轴上的
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，绕点以的长为半径旋转个圆周，据此求得弧长和扇形面积即可，半圆扫过的面积为扇形面积加上半圆面积；
（4）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在中可求得∠NPH=30°，进而可得∠MPA=60°，结合（3）进而根弧长公式计算即可．
【详解】解：（1）位置Ⅰ中的MN平行于数轴，则与数轴的距离为半径2，
位置Ⅱ和位置Ⅳ中MN的垂直于数轴，
可判断位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系相切，
故答案为：2，相切；
（2）从位置Ⅰ到位置Ⅱ，的长等于数轴上的长，从位置Ⅱ到位置Ⅲ，数轴上的，故数轴上的，
，
位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为；
（3）点N所经过路径长为，
S半圆=，S扇形=，
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π；
（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，
则四边形PHCA为矩形，
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH=，
∴∠NPH=30°，
∴∠MPA=60°，
从而的长为，
于是OA的长为．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式，扇形面积公式，解直角三角形，数轴，理清楚半圆的运动过程是解题的关键．