专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期高效复习秘籍（苏科版）

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【知识梳理】
一、正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
二、有理数与无理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3、（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
三、数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
四、相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
五、绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
（3）绝对值的非负性
任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
六、科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【典例剖析】
专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（七上苏科）
【考点1】数学与生活
【例1】（2022·江苏泰州·七年级期末）下列所给数据中，能反映出一瓶矿泉水重量的是（ ）．
A．500毫克B．500克C．500千克D．500吨
【答案】B
【分析】根据生活常识，即可得到一瓶矿泉水重量．
【详解】解：能反映出一瓶矿泉水重量的是500克．
故选：B．
【点睛】本题考查了数学常识，是基础题型，比较简单．
【变式1.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列人或物中，质量最接近1吨的是（ ）
A．1000枚1元硬币B．25名小学生
C．5000个鸡蛋D．10辆家用轿车
【答案】B
【分析】质量单位有：吨、千克、克，本题中结合实际情况选择合适的计量单位即可判断出答案．例如：1名六年级的学生大约重40kg，求出25名学生的重量；1个鸡蛋大约50g，求出5000个鸡蛋的重量等等．
【详解】解：1吨＝1000千克，
A、1元硬币1个大约6 g，1000×6 g＝6000 g＝6kg，故此选项不符合题意；
B、六年级的学生体重大约40kg，25×40kg＝1000kg，故此选项符合题意；
C、1个鸡蛋大约50g，5000×50g＝250000g＝250kg，故此选项不符合题意；
D、1辆家用轿车大约1500kg，10×1500kg＝15000kg，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据情景选择合适的计量单位，联系生活实际、计量单位，算出这些数据的大小再选择是解题的关键．
【变式1.2】（2022·江苏·七年级）如图，“英寸”是电视机常用尺寸，1英寸约为大拇指第一节的长，则9英寸长相当于（ ）
A．一支粉笔的长度B．课桌的长度C．黑板的宽度D．数学课本的宽度
【答案】D
【分析】根据题意可得1英寸约为大拇指第一节的长，大约有3--4厘米，即可估算求解．
【详解】解：根据题意可得1英寸约为大拇指第一节的长，大约有3--4厘米，
所以9英寸长相当于数学课本的宽度．
故选D．
【点睛】本题属于基础题，考查了基本的计算能力和估算的能力，解答时可联系生活实际去解．
【变式1.3】（2022·江苏·七年级）下面四位数学家里有三位对π进行了深入的研究，其中有一位研究方向在其他方面，这位数学家是( )
A．祖冲之B．张衡C．刘徽D．杨辉
【答案】D
【分析】根据中国古代数学家对圆周率的研究逐项判断即可.
【详解】A、祖冲之，他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率π”精算到小数第七位，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献
B、张衡，他研究过球的外切立方体积和内接立方体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开方，这个值比较粗略，但却是中国第一个理论求得π的值
C、刘徽，首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法
D、杨辉，他的数学研究重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法
故选：D.
【点睛】本题考查了关于圆周率的史实，掌握相关史实是解题关键.
【考点2】正数和负数
【例2】（2022·江苏·七年级专题练习）当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示．例：中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元
【答案】C
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．
故选：C
【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【变式2.1】（2022·江苏·七年级专题练习）规定：（↑30）表示零上30°C，记作+30，（↓5）表示零下5°C，记作（ ）
A．+5B．−5C．+15D．−15
【答案】B
【分析】先明确“正”和“负”所表示的意义，然后根据题意作答即可．
【详解】解：规定：（↑30）表示零上30摄氏度，记作+30；则（↓5）表示零下5摄氏度，记作﹣5．
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数表示相反意义，弄清题意、知道“正”和“负”所表示的意义是解答本题的关键．
【变式2.2】（2022·江苏南通·七年级期末）规定：(→2)表示向右移动2，记作＋2，则(←5)表示向左移动5，记作（ ）
A．＋5B．－5C．15D．－15
【答案】B
【分析】根据题意，在表示相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个为负，即可得出答案．
【详解】解：因为(→2)表示向右移动2，记作＋2，
∴则(←5)表示向左移动5，记作－5；
故选B
【点睛】本题考查正负数的概念，解题的关键在于理解相反意义的量．
【变式2.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在－3，36，＋25，－0.01，0，−34中，负数的个数为（ ）
A．2个B．3个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】负数是小于零的数，由此可得出答案．
【详解】解：由负数的概念可以得到－3，－0.01，−34，这三个数是负数，
故选：B
【点睛】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解题的关键．
【考点3】有理数与无理数
【例3】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数和负整数B．零是整数，但它既不是正数，也不是负数
C．分数包括正分数、负分数和零D．一个数不是正数就是负数
【答案】B
【分析】根据有理数的分类依据即可判断．
【详解】A.整数包括正整数、负整数和零，故该选项说法错误，不符合题意；
B.零是整数，但不是正数，也不是负数，故该选项说法正确，符合题意；
C.分数包括正分数、负分数，故该选项说法错误，不符合题意；
D.一个数不是正数就是负数，还有零，故该选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点．
【变式3.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．−2B．1.6C．1.010010001D．2π
【答案】D
【分析】根据无理数的概念即可解答．
【详解】解：A. −2是整数，不是无理数，不符合题意；
B. 1.6是小数，不是无理数，不符合题意；
C. 1.010010001是小数，不是无理数，不符合题意；
D. 2π是无理数，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…等有这样规律的数．
【变式3.2】（2022·江苏·七年级专题练习）下列数中既是分数又是负数的是（ ）
A．5.2B．0C．﹣2D．﹣2.5
【答案】D
【分析】利用分数及负数的分类判断即可得到结果．
【详解】解：A、5.2是分数，但不是负数，故本选项不合题意；
B、0是整数，故本选项不合题意；
C、﹣2是负数，但不是分数，故本选项不合题意；
D、﹣2.5既是分数，又是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查分数和负数，熟练掌握分数及负数的分类是解本题的关键．
【变式3.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在-0.8、3.5、23、0、π2、3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】有理数包含整数和分数（一般分数、有限小数、无限循环小数），无限不循环不是有理数，以此来判断．
【详解】-0.8与3.5都是有限小数，所以它们都是有理数；
23是分数，所以是有理数；
0是整数，所以是有理数；
π不是有理数，所以π2不是有理数；
3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1），看似很有规律，这个数其实是无限不循环小数，所以不是有理数．
综上，有理数有-0.8、3.5、23、0这四个，
故选：D．
【点睛】此题考查有理数的概念，要细致掌握概念，同时注意π不是有理数，是易错点．
【考点4】数轴
【例4】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2007cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是（ ）
A．2005或2006B．2006或2007C．2007或2008D．无法确定
【答案】C
【分析】根据线段的位置分为两种：起点在整点、不在整点两种，分别得到整点的个数即可．
【详解】依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖2008个数（因为相邻两个数之间的距离为1cm，可以参考图1）；
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2007个数（可以参考图2）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用数轴确定有理数的个数，正确理解题意利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式4.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A．1.5B．−1.6C．−2.6D．−3.4
【答案】C
【分析】根据数轴上的点表示数的方法得到点M表示的数大于-3且小于-2，然后分别进行判断即可．
【详解】解：∵点M表示的数大于-3且小于-2．
∴A、B、D三选项错误，C选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了数轴：数轴有三要素，原点左边的点表示负数，右边的点表示正数．
【变式4.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点DD．点E
【答案】B
【分析】根据12＜d＜1，得到﹣3d在原点的左侧，且到原点的距离小于3而大于2，对照数轴即可得出答案．
【详解】解：∵12＜d＜1，
∴﹣3d在原点的左侧，且到原点的距离小于3而大于2，
则观察数轴可知：数轴上与数﹣3d对应的点可能是B；
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，数轴上点与原点的距离，数形结合是解题的关键．
【变式4.3】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（ ）
A．b>−a>a>−bB．−a>−b>b>a
C．−b>a>−a>bD．b>a>−a>−b
【答案】A
【分析】根据数轴上点的位置可得a<0【详解】解：由题意得：a<0∴−b故选A．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置比较有理数的大小，正确得到a<0【考点5】相反数
【例5】（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．+（﹣2）和﹣|﹣2|B．﹣5和﹣（﹣5）
C．+（﹣3）和﹣3D．﹣12和2
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数是相反数，可判断互为相反数两个数．
【详解】解：+（﹣2）=﹣2，﹣|﹣2|=﹣2，故A不符合题意；
﹣（﹣5）＝5，5和﹣5互为相反数，故B符合题意；
+（﹣3）=﹣3，故C不符合题意；
﹣12和2不是互为相反数，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数，理解﹣（﹣5）＝5是解题关键．
【变式5.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|+1|与|﹣1|B．﹣（﹣1）与1C．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3|D．﹣|+2|与+（﹣2）
【答案】C
【详解】根据相反数和绝对值的定义化简各选项中的数即可得出答案．
【解答】解：A选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
B选项，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
C选项，3与﹣3是相反数，故该选项符合题意；
D选项，﹣2与﹣2不是相反数，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
【变式5.2】（2021·江苏·无锡市东林中学七年级期中）下列化简正确的是（ ）
A．+−2=2B．−−3=3C．++3=−3D．−+2=2
【答案】B
【分析】根据去括号法则：括号前面是“+”时，去掉括号，括号内的数的符号不变，括号前面是“-”时，去掉括号后，括号内的数改变符号，依次进行判断即可得．
【详解】解：A、+(−2)=−2，选项说法错误，不符合题意；
B、−(−3)=3，选项说法正确，符合题意；
C、+(+3)=3，选项说法错误，不符合题意；
D、−(+2)=−2，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了去括号法则，解题的关键是掌握去括号法则．
【变式5.3】（2022·江苏南京·七年级阶段练习）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】数轴上互为相反数在原点两侧，并且到原点的距离相等，通过观察线段AB上的点与原点的距离就可以做出判断．
【详解】解：表示互为相反数的点，必须要满足在数轴原点的左右两侧，
从四个答案观察发现，只有B选项的线段AB符合，其余答案的线段都在原点的同一侧，
所以可以得出答案为B．
故选：B．
【点睛】本题考查了互为相反数的概念，解题关键是要熟悉互为相反数概念，数形结合观察线段AB上的点与原点的距离．
【考点6】绝对值
【例6】（2022·江苏扬州·七年级期末）已知a，b的位置如图，则b−a−a+b的值为（ ）
A．0B．－2bC．－2aD．2b－2a
【答案】B
【分析】结合数轴可知：b＜0＜a，进一步可知：b−a＜0，a+b＞0，再去绝对值即可．
【详解】解：由图可知：b＜0＜a，
∴b−a＜0，a+b＞0，
∴b−a−a+b=a−b−a+b=a−b−a−b=−2b．
故选：B
【点睛】本题考查根据数轴上的点判断式子的正负，去绝对值，解题的关键是根据数轴得出b＜0＜a，得出b−a＜0，a+b＞0．
【变式6.1】（2021·江苏泰州·七年级期末）−2021的绝对值是（ ）
A．2021B．−2021C．12021D．−12021
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义直接求解．
【详解】解：−2021是负数，绝对值是它的相反数2021，
故选A．
【点睛】本题考查绝对值的定义，解题的关键是掌握“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0”．
【变式6.2】（2022·江苏淮安·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．任何数的绝对值都是正数B．如果两个数不等，那么这两个数的绝对值也不相等
C．任何一个数的绝对值都不是负数D．只有负数的绝对值是它的相反数
【答案】C
【分析】数轴上表示数a的点与原点的距离是数a的绝对值，非负数的绝对值是它的本身，非正数的绝对值是它的相反数，互为相反数的两个数的绝对值相等，再逐一分析各选项即可得到答案.
【详解】解：任何数的绝对值都是非负数，故A不符合题意；
如果两个数不等，那么这两个数的绝对值可能相等，也可能不相等，比方4≠−4, 但|4|=|−4|, 故B不符合题意；
任何一个数的绝对值都不是负数，表述正确，故C符合题意；
非正数的绝对值是它的相反数，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是绝对值的含义，求解一个数的绝对值，掌握“绝对值的含义”是解本题的关键.
【变式6.3】（2021·江苏南通·七年级期中）现有四种说法：①−a表示负数；②若ab；③绝对值最小的有理数是0；④若a=b，则a=b，其中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据正数和负数的定义以及绝对值的性质求解即可．
【详解】解：①当a=0时，−a是0，故①错误；
②若ab，故②正确；
③对值最小的有理数是0，故③正确；
④若a=b，则a=b或a=−b，故④错误；
其中正确的有：②③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是正数和负数、绝对值的定义和性质，掌握正数和负数的定义、绝对值的性质以及比较有理数大小的方法是解题的关键．
【考点7】绝对值的非负性
【变式7】（2020·江苏镇江·七年级阶段练习）若(x﹣2)2+|y+1|=0，则x﹣y等于（ ）
A．−2B．1C．−4D．3
【答案】D
【分析】根据非负数的性质知(x﹣2)2=0，|y+1|=0，可求出x、y的值，然后将它们的值代入即可计算．
【详解】解：∵(x﹣2)2+|y+1|=0，
∴(x﹣2)2=0，|y+1|=0，
∴x=2，y=-1，
∴x-y=2-（-1）=3，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负数的性质，属于基础题，熟练掌握偶次方和绝对值的非负性是解题的关键．
【变式7.1】（2020·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）x是任意实数，则下列各式中一定表示正数的是（ ）
A．2020xB．x+2020C．2020xD．x+2020
【答案】D
【分析】根据绝对值非负数的性质，举反例对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】解：A、2020x表示任何实数，故A错误；
B、x+2020表示任何实数，故B错误；
C、当x=0时，2020x=0，故C错误；
D、x+2020>0，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，是基础题，举反例验证更简便．
【变式7.2】（2019·江苏·泰州市姜堰区张甸初级中学七年级期中）若a+1+b−22=0，则a+b3+a4的值为（ ）
A．-2B．0C．2D．7
【答案】C
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性确定a、b的值，然后代入即可完成解答.
【详解】解：∵a+1+b−22=0
∴a+1=0，b-2，
∴a=-1，b=2
∴a+b3+a4=-1+23+-14=13+-14=1+1=2，
故答案为C.
【点睛】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，掌握几个非负的代数式之和为0，则每个代数式都为0是解答本题的关键.
【变式7.3】（2018·江苏南通·七年级期末）如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列式子可能成立的是（ ）
A．c＞0，a＜0B．c＜0，b＞0C．c＞0，b＜0D．b＝0
【答案】A
【分析】根据题意分类讨论,综合情况解出即可.
【详解】1.假设a为负数，那么b+c为正数;
（1）b、c都为正数;
（2）一正一负，因为|b|＞|c|，只能b为正数，c为负数;
2.假设a为正数，那么b+c为负数，b、c都为负数;
（1）若b为正数，因为|b|＞|c|，所以b+c为正数，则a+b+c=0不成立;
（2）若b为负数，c为正数，因为|b|＞|c|,则|b+c|<|b|<|a|,则a+b+c=0不成立.
故选A.
【点睛】本题考查绝对值的性质,关键在于分类讨论正负性.
【考点8】有理数的大小比较
【例8】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．|﹣23|＜|﹣12|B．﹣|﹣3411|＝﹣（﹣3411）
C．﹣|﹣8|＞7D．﹣56＜﹣45
【答案】D
【分析】先化简各数，然后再进行比较即可．
【详解】解：A、∵|−23|=23，|−12|=12，
∴|−23|＞|−12|，故该选项错误，不符合题意；
B、∵-|−3411|=-3411，-（−3411）=3411，
∴-|−3411|＜-（−3411），故该选项错误，不符合题意；
C、∵-|-8|=-8，
∴-|-8|＜7，故该选项错误，不符合题意；
D、∵|−56|=56，|−45|=45，
∴56＞45，
∴−56＜−45，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数，绝对值和有理数的大小比较，准确化简各数是解题的关键．
【变式8.1】（2022·江苏扬州·七年级期末）无理数−π在数轴上位置的描述，正确的是（ ）
A．在点−4的左边B．在点−3的右边
C．和原点的距离小于3D．和原点的距离大于3
【答案】D
【分析】比较-π和选项中的数的大小，依据右边的数总是大于左边的数即可判断．
【详解】A．−π＞−4，则-π在-4的右边，故A项错误；
B．−π＜−3，则-π在-3的左边边，故B项错误；
C．-π和原点的距离是π，π＞3，故C项错误；
D．-π和原点的距离是π，π＞3，故D项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，理解数轴上右边数的总是大于左边的数是解题的关键．
【变式8.2】（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学七年级阶段练习）在0.2，−2，0，−12这四个有理数中，最小的数是（ ）
A．0.2B．−2C．0D．−12
【答案】B
【分析】直接利用正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的，反而小即可求解．
【详解】解：∵−2＞−12，
∴−2＜−12，
∴这四个有理数从小到大排列为：−2＜−12＜0＜0.2，
∴最小的数是：−2，
故选：B
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟知正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的，反而小是解题的关键．
【变式8.3】（2022·江苏宿迁·七年级期末）在﹣0.2418中，若用3去替换其中的一个非0数字，并使所得的数最大，则替换的数字是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】根据两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得到被替换的数字．
【详解】解：∵在-0.2418中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，
而用数字3替换其中的一个非0数字后，绝对值最小的数为-0.2318，
∴被替换的数字是4．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键．
【考点9】科学记数法
【例9】（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）“天问一号”探测器由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，飞行期间已成功完成地月合影获取、两次轨道中途修正、载荷自检等工作，截至2020年10月1日凌晨，探测器已飞行约188000000千米，飞行状态良好，把188000000用科学记数法表示，结果正确的是（ ）
A．188×106B．18.8×107C．1.88×108D．1.88×109
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【详解】解：188000000这个科学记数法表示，结果正确的是1.88×108，
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式9.1】．（2021·江苏·南京东山外国语学校七年级阶段练习）某建成的新机场一期将满足年旅客吞吐量45000000人次的需求．将45000000用科学记数法表示应为（ ）
A．4.5×107B．45×106C．0.45×108D．4.5×106
【答案】A
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：45000000=4.5×107，
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【变式9.2】（2022·江苏南京·七年级期末）据统计，电影《长津湖》上映第16天，累计票房突破45.6亿元．将数据45.6亿用科学记数法表示为（ ）
A．45.6×108B．4.56×109C．4.56×1010D．0.456×1011
【答案】B
【分析】用科学计数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：45.6亿=4560000000=4.56×109，
故选：B．
【点睛】此题考查了用科学计数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤a＜10，确定a与n的值是解题关键．
【变式9.3】（2021·江苏南通·七年级期中）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】36000用科学记数法表示为3.6×104．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【考点10】有理数的分类（大题）
【例10】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）请你把下列各数填入表示它所在的数的集合内：
﹣2，20%，﹣0.13，﹣734，0， 4.7， −34,−−25,−62,−0.5
正有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}．
自然数集合：{ …}．
【答案】正有理数集合：{20%，4.7， −34,−−25,−0.5…}；整数集合：{﹣2，0，−34,−−25,−62…}；负分数集合：{﹣0.13，﹣734，…}．自然数集合：{0，−34,−−25…}．
【分析】根据有理数分成整数，分数；整数又分成正整数，负整数和0；分数分成正分数和负分数，即可求解．
【详解】解：−34=81,−−25=32,−62=−36,−0.5=0.5，
正有理数集合：{20%，4.7， −34,−−25,−0.5…}；
整数集合：{﹣2，0，−34,−−25,−62…}；
负分数集合：{﹣0.13，﹣734，…}．
自然数集合：{0，−34,−−25…}．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数分成整数，分数；整数又分成正整数，负整数和0；分数分成正分数和负分数是解题的关键．
【变式10.1】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）请把下列各数填入相应的集合中
−12； －7； 47； －90； －3； 0.4； 0； 53
负整数集合： { …}；
分数集合： { …}．
【答案】−7,−90，−3；−12，47，0.4，53
【分析】根据有理数的分类逐一进行判断即可．
【详解】解： 负整数集合：−7，−90，−3；
分式集合：−12，47，0.4，53．
【点睛】本题考查了有理数的分类，正确地进行有理数的分类，是解题的关键．
【变式10.2】（2022·江苏·七年级专题练习）把下列各数填到相应的集合中．
1，13，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26，1.010010001…．
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
整数集合：{ }；
有理数集合{ }．
【答案】见解析
【分析】根据有理数和无理数的概念与分类填写，即可．
【详解】正数集合：{1，13，1.010010001…，…}；
负数集合：{﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26，…}；
整数集合：{1，0，﹣9，﹣26，…}；
有理数集合{ 1，13，0，﹣6.4，﹣9，﹣26，…}．
故答案为：1，13，1.010010001…；﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26；1，0，﹣9，﹣26；1，13，0，﹣6.4，﹣9，﹣26．
【点睛】本题考查了有理数和无理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．整数和分数统称为有理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数的形式，因而不属于有理数．需强调π是无理数
【变式10.3】（2022·江苏·七年级专题练习）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内：−12，﹣7，+2.8，﹣900，﹣312，99.9，0，4．
【答案】见解析
【分析】根据负数、整数、正数的定义解决此题．
【详解】解：根据负数的定义，负数有-12、﹣7、﹣900、﹣312；
根据整数的定义，整数有﹣7、﹣900、0、4．
根据正数的定义，正数有+2.8、99.9、4．
∴既是负数又是整数的有﹣7、﹣900；既是整数又是正数的有4．
【点睛】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握负数、整数、正数的定义是解题关键．
【考点11】绝对值与相反数综合问题（大题）
【例11】（2022·江苏·七年级专题练习）现场学习：我们知道|x|＝x(x>0)0(x=0)−x(x<0)，所以当x＞0时，x|x|=xx＝1，当x＜0时，x|x|=x−x＝﹣1．
解决问题：已知a，b是有理数，当ab≠0时，求a|a|+b|b|的值．
【答案】2或−2或0
【分析】根据绝对值的意义可进行分类讨论求解．
【详解】解：分四种情况：
①当a＞0，b＞0时，a|a|+b|b|＝1+1＝2；
②当a＜0，b＜0时，a|a|+b|b|＝﹣1﹣1＝﹣2；
③当a＞0，b＜0时，a|a|+b|b|＝1﹣1＝0；
④当a＜0，b＞0时，a|a|+b|b|＝﹣1+1＝0；
综上所述：a|a|+b|b|的值为2或﹣2或0．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
【变式11.1】（2022·江苏·七年级专题练习）（1）用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空：
①|﹣5|+|4|_____|﹣5+4|；
②|﹣6|+|3|_____|﹣6+3|；
③|﹣3|+|﹣4|_____|﹣3﹣4|；
④|0|+|﹣9|_____|0﹣9|；
（2）归纳：|a|+|b|_____|a+b|；
（3）根据上题（2）得出的结论，若|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，求m的值．
【答案】（1）①＞；②＞；③＝；④＝；（2）≥；（3）m的值为：±3或±4
【分析】（1）分别计算出左右两边算式的结果，再进行比较大小即可；
（2）根据（1）中的算式结果，分析可知|a|+|b|大于或等于|a+b|，由此填空即可；
（3）分类讨论可分为m，n同号，或者m，n异号．
【详解】解：（1）①∵|﹣5|+|4|＝9，|﹣5+4|＝1，
∴|﹣5|+|4|＞|﹣5+4|；
②∵|﹣6|+|3|＝9，|﹣6+3|＝3，
∴|﹣6|+|3|＞|﹣6+3|；
③∵|﹣3|+|﹣4|＝7，|﹣3﹣4|＝7，
∴|﹣3|+|﹣4|＝|﹣3﹣4|；
④|0|+|﹣9|＝9，|0﹣9|＝9，
∴|0|+|﹣9|＝|0﹣9|，
故答案为：＞，＞，＝，＝；
（2）通过（1）的比较、分析、归纳：|a|+|b|≥|a+b|，
故答案为：≥；
（3）由（2）中结论可得：∵|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，
∴|m|+|n|≠|m+n|，
∴m，n异号，
当m为正数，n为负数时，m﹣n＝7，则n＝m﹣7，
|m+n|＝|m+m﹣7|＝1，
解得：m＝4或3，
当n为正数，m为负数时，﹣m+n＝7，则n＝m+7，
|m+n|＝|m+m+7|＝1，
解得：m＝﹣3或﹣4，
综上所述，m的值为：±3或±4．
【点睛】本题考查绝对值的化简，分类讨论思想，能够熟练掌握分类讨论思想是解决本题的关键．
【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数．
（1）直接写出a，b的最大值；
（2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？
【答案】（1）a的最大值为3，b的最大值为4；（2）当a＝0，b＝﹣4时，|a|+b有最小值，最小值是﹣4
【分析】（1）根据条件可知b的最大值是4，从而得到a的最大值是3；
（2）根据绝对值的非负性知道a＝0时，|a|最小，从而得到当b＝﹣4时，代数式有最小值．
【详解】解：（1）∵|a|＜|b|≤4，且a，b为整数，
∴a的最大值为3，b的最大值为4；
（2）∵|a|≥0，
∴当a＝0时，|a|最小，
∴当a＝0，b＝﹣4时，|a|+b有最小值，最小值是﹣4．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，
【变式11.3】（2022·江苏·七年级专题练习）我们知道：4−−1表示4与−1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与−1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理x−3也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，5+3=5−−3表示5、−3之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为a−b．试探索：
（1）若x−3=7，则x=___________；
（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−2，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示−4的点与表示__________的点重合；
（3）计算：x−4+x+1=7．
【答案】（1）-4或10 （2）6；（3）-2或5
【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解；
（2）根据题意可得折叠处点对应的数为1 ，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当x<−1时，当−1≤x≤4时，当x≥4时， 即可求解．
【详解】解：（1）x−3=7，
∴x−3=±7，
解得：x=10或-4；
（2）∵A点对应的数为−2，B点对应的数为4，折叠数轴，使得A点与B点重合，
∴折叠处点对应的数为−2+42=1 ，
∴表示−4的点与表示6的点重合；
（3）解：①当x<−1时，
−x−4+−x+1=7，解得：x=-2 ；
②当−1≤x≤4时，
x−4+−x+1=7，则−5=7，无解 ；
③当x≥4时，
x−4+x+1=7，则x=5．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【考点12】数轴有关综合问题（大题）
【例12】（2021·江苏南京·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．
（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．
（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．
【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t．
【分析】（1）由题意根据数轴上动点向正方向移动用加法以及两点间距离公式进行分析计算；
（2）根据题意点P的移动时间为t秒列出代数式即可；
（3）根据题意分当0≤t≤8时，当8＜t≤12时，当12＜t≤20时三种情况进行分析即可.
【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，
数轴上点P对应的数为：−10+1×5=−5，
点Q对应的数为：−26+3×5=−11，
P、Q两点间的距离为：−5−（−11）=6，
故答案为：－5, －11； 6．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．
故答案为：－10＋t．
（3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t) ＝－2t＋16；
当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；
当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t) ＝20－t．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式表示动点以及两点间距离公式，运用数形结合思维和分类讨论思维进行分析是解题的关键.
【变式12.1】（2021·江苏无锡·七年级期中）① 请你在数轴上表示下列有理数： −12,−2.5,0,−(−2)2,−−4．
② 将上列各数用“＜”号连接起来：___________________．
【答案】①见解析；②—（—2）2＜−12＜0＜|—2.5|＜—（—4）
【分析】①根据有理数与数轴一一对应的关系在数轴上表示各有理数；
②根据各有理数在数轴上的位置得出结论.
【详解】①∵−−22=−4,−2.5=2.5，−−4=4
在数轴上表示−12,−2.5,0,−(−2)2,−−4，如图，
②−−22<−12<0<−2.5<−−4
故答案为：−−22<−12<0<−2.5<−−4
【点睛】本题考查了根据数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键．
【变式12.2】．（2020·江苏·盐城市盐都区实验初中七年级期中）在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a+2|+（b﹣3）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒0.5个单位长度沿数轴向左移动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A运动到﹣4所在的点处时，求A、B两点间距离；
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距3个单位长度？
【答案】（1）−2,3；（2）11；（3）经过8或14时，A、B两点相距3个单位长度
【分析】（1）利用非负性即可求解；
（2）设t秒时，点A运动到−4，求出所需时间t=4，4秒后，点B运动到3+4×1=7，
即可求出两点间的距离；
（3）分两种情况进行讨论，即点B需要运动到−1或−7处．
【详解】解：（1）根据绝对值与平方的非负性得，
a+2=0,b−3=0，
∴a=−2,b=3，
故答案是：−2,3；
（2）设t秒时，点A运动到−4，
则−2−0.5t=−4，
解得：t=4，
4秒后，点B运动到3+4×1=7，
∴7−(−4)=11，
即A,B两点间的距离为11；
（3）∵A,B分别位于−4,7，
要使A、B两点相距3个单位长度，
则点B需要运动到−1或−7处，
设经过t秒，
当7−t=−1，
解得：t=8，
当7−t=−7，
解得：t=14，
∴经过8或14秒，A、B两点相距3个单位长度．
【点睛】本题考查了绝对值和完全平方公式的非负性、数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离问题，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答．
【变式12.3】（2020·江苏无锡·七年级期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，由此可得到木棒长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决以下问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要25年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【答案】（1）4；（2）8，12；（3）75岁
【分析】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是16﹣4＝12（cm），依此可求木棒长为4cm，
（2）根据木棒长为4cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，依此可求出A，B两点所表示的数；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为﹣25，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为125，所以可知爷爷比小红大[125﹣（﹣25）]÷3＝50，可知爷爷的年龄．
【详解】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是16﹣4＝12（cm），
则木棒长为：12÷3＝4（cm）．
故答案为：4．
（2）∵木棒长为4cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16，
∴B点表示的数是12，
∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，
∴A点所表示的数是8．
故答案为：8，12；
（3）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，
类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，
此时B点所对应的数为﹣25，
小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，
此时A点所对应的数为125，
∴可知爷爷比小红大[125﹣（﹣25）]÷3＝50，
可知爷爷的年龄为125﹣50＝75（岁）．
故爷爷现在75岁．
【点睛】本题考查的是数轴，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中．