人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题02与三角形有关的角(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题02与三角形有关的角(原卷版+解析)，共34页。


◎题型1：三角形内角和定理的证明
定理：三角形的内角和为180°．
备注：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
例．(2023·全国·八年级课时练习）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：的三个内角为、、
求证：．
下列说法正确的是（ ）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合B．特殊到一般C．一般到特殊D．转化
变式2．(2023·全国·八年级）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）下列给出的5个图中，能判定是等腰三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
◎题型2：与平行线有关的三角形内角和问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（）
A．120°B．128°C．110°D．100°
变式1．(2023·广东茂名·八年级期末）如图，直线AB∥CD，，，则等于（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠C的大小是（ ）
A．46°B．54°C．66°D．80°
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于（ ）
A．55°B．30°C．65°D．70°
◎题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）．
A．102°B．132°C．100°D．112°
变式1．(2023·山西运城·八年级期末）如图，在中，，BD平分交AC于点D．若，则的大小为（ ）
A．66°B．70°C．72°D．75°
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
变式3．(2023·江苏·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
◎题型4：三角形折叠中的角度问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，将沿着平行于的直线折叠，点落在点处，若，则的度数是（ ）
A．108°B．104°C．96°D．92°
变式1．(2023·云南昭通·八年级期末）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
变式2．(2023·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，点D与点D关于AE对称，，则∠AED的度数为（ ）
A．57°B．60°C．62°D．67°
变式3．(2023·福建龙岩·八年级期末）如图，把纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得，，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．36°C．37°D．38°
◎题型5：三角形内角和定理的应用
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图摆放的是一副学生用的直角三角板，，，AB与DE相交于点G，当时，∠AGE的度数是（ ）．
A．60°B．65°C．75°D．85°
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，把一个含有角的直角三角板放在两条平行线m，n上，若，则∠β的度数是（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·山东菏泽·八年级期末）下列条件中能构成钝角△ABC的是（ ）
A．∠A=∠B=∠CB．∠A-∠B=∠CC．∠B=∠C=∠AD．∠A=∠B=∠C
◎题型6：三角形的外角
1）三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
备注：(1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2）三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
备注：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3）三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
备注：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°
例．(2023·山西运城·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，则∠D的度数为（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·河南许昌·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°．则∠BDC的度数为（ ）
A．26°B．52°C．56°D．64°
变式3．（2023·四川省南充市白塔中学八年级期中）若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于26°，则其顶角等于（ ）
A．64°或116°B．116°或52°C．64°或128°D．64°或116°或128°
◎题型7：利用互余关系求角
直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.
备注：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，直线l1∥l2，直线交于点A，交于点B，过点A的直线，交于点C．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，BD是△ABC的角平分线交BC于点E，若，，则∠CAE的度数为（ ）
A．12.5°B．17.5°C．22.5°D．27.5°
变式2．（2023·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，则∠的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
变式3．（2023·全国·八年级课时练习）如图，在四边形中，，连接，，过点D作于点P，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
证法1：如图
∵，，（量角器测量）
∵（计算所得）
∴（等量代换）
证法2：如图，延长到，过点作．
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角定义）．
∴（等量代换）
即．
专题02 与三角形有关的角
【思维导图】
◎题型1：三角形内角和定理的证明
定理：三角形的内角和为180°．
备注：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
例．(2023·全国·八年级课时练习）定理：三角形的内角和等于180°．
已知：的三个内角为、、
求证：．
下列说法正确的是（ ）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理
B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理
C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整
D．证法2用严谨的推理证明了该定理
答案：D
【解析】
分析：
利用理论与实践结合可以判断C与D，根据三角形的平行的性质与平角的定义可以判断C与D，
【详解】
解：A．证法1用量角器量三个内角和为180°，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明该定理缺少理论证明过程，故选项A不符合题意；
B．证法1只要测量一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需要理论证明，故选项B不符合题意；
C．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故C不符合题意；
D．证法2给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形内角和的证明问题，命题的正确性需要严谨推理证明．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合B．特殊到一般C．一般到特殊D．转化
答案：D
【解析】
分析：
根据证明过程，是利用平行线的性质将三角形的内角和转化为平角定义证明这一数学思想，即可作出判断．
【详解】
解：延长BC至D，过点C作CEAB，
∴∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，
∵∠BCD＝180°，即∠ECD+∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
这个证明方法体现了转化的数学思想，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质、平角定义、三角形的内角和定理的证明，根据证明过程找到转化思想是解答的关键．
变式2．(2023·全国·八年级）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．
【详解】
解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的
即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）下列给出的5个图中，能判定是等腰三角形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案：C
【解析】
分析：
利用等腰三角形的判定定理，通过计算推出有两个角相等即可①利用三角形内角和计算即可，②利用三角形的外角性质计算即可，③利用平行线的性质得出∠C=∠B=50º即可，④利用AD∥BC，推出同旁内角互补∠ABC+∠BAD=180º，由∠ABC=120º，得∠BAD=60º，由∠CAD=30º，则∠CAB=60º-∠CAD=30º，由内错角相等∠BCA=∠CAD=30º，则∠BCA=∠CAB=30º即可，⑤利用平行线性质与外角性质即可推出．
【详解】
①∠C=180º-∠A-∠B=180º-70º-56º=54º，∠B=56º，∠C≠∠B，不是等腰三角形，
②∠C=∠140º-∠B=70º=∠B，是等腰三角形，
③∵AD∥BC，∴∠C=∠DAC=50º，∠C=∠B=50º，△ABC是等腰三角形，
④∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180º，∵∠ABC=120º，∴∠BAD=60º，∵∠CAD=30º，∠CAB=60º-∠CAD=60º-30º=30º，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=30º，∴∠BCA=∠CAB=30º，∴△ABC是等腰三角形，
⑤∵AB∥DE ，∴∠D=∠A=30º，∵∠DCB=∠A+∠B，∴∠B=∠DCB-∠A=60º-30º=30º, △ABC是等腰三角形．
故选择：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定方法，内角和公式，外角定理，两直线平行的性质等知识掌握好这些判定方法，会利用它们推导计算是关键．
◎题型2：与平行线有关的三角形内角和问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（）
A．120°B．128°C．110°D．100°
答案：D
【解析】
分析：
根据三角形内角和定理即可求出，再根据平行线的性质即得出．
【详解】
∵在中，，
∴．
∵AB∥CD，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和平行线的性质．掌握三角形的三个内角的和为，两直线平行同位角相等是解题关键．
变式1．(2023·广东茂名·八年级期末）如图，直线AB∥CD，，，则等于（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
答案：B
【解析】
分析：
设CD交BE于点F，根据AB∥CD，可得∠CFE=∠B=60°，再根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
解：如图，设CD交BE于点F，
∵AB∥CD，，
∴∠CFE=∠B=60°，
∵∠CFE+∠C+∠E=180°，，
∴∠E=180°-∠C-∠CFE=80°．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握两直线平行，同位角相等；三角形的内角和等于180°是解题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠C的大小是（ ）
A．46°B．54°C．66°D．80°
答案：B
【解析】
分析：
先根据∠ADE=40°，DE∥AB求出∠BAD的度数，再由AD平分∠BAC得出∠BAC的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ADE=40°，DE∥AB，
∴∠BAD=40°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=80°．
∵∠B=46°，
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-46°-80°=54°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
变式3．（2023·全国·八年级专题练习）如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于（ ）
A．55°B．30°C．65°D．70°
答案：C
【解析】
分析：
设∠2的对顶角为∠5，∠1的同位角为∠4，结合已知条件可推出∠1＝∠4＝40°，∠2＝∠5＝75°，利用三角形内角和即可得出∠3的度数．
【详解】
解：∵直线l1//l2，，∠1＝40°，∠2＝75°，
∴∠1＝∠4＝40°，∠2＝∠5＝75°，
∴∠3＝180°－40°－75°＝65°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角．
◎题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）．
A．102°B．132°C．100°D．112°
答案：D
【解析】
分析：
根据∠1+∠PCB=∠ACB=68°及∠1=∠2，可由等量代换可知2+∠PCB=68°，然后利用三角形的内角和定理可得出所求角的度数．
【详解】
∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PCB=68°，
∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°-68°=112°，
故答案选D．
【点睛】
利用等量代换的思想及三角形的内角和定理是解答本题的关键．
变式1．(2023·山西运城·八年级期末）如图，在中，，BD平分交AC于点D．若，则的大小为（ ）
A．66°B．70°C．72°D．75°
答案：C
【解析】
分析：
根据等边对等角，可得∠ABD=∠A，根据角平分线的性质，∠ABD=∠CBD=，根据三角形内角和为180°列等式，将其它角都代换成计算即可．
【详解】
∵BD=AD
∴∠ABD=∠A
∵BD平分
∴∠ABD=∠CBD=，
∴∠A=
∵，
∴
∴
故选 C．
【点睛】
本题考查三角形，掌握角平分线、等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
答案：B
【解析】
分析：
由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．
【详解】
解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵DA平分∠CAO，
∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．
∵DB平分∠ABO，
∴∠ABD=∠ABO，
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD
=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO
=90°-（∠OAB+∠ABO）
=45°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．
变式3．(2023·江苏·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
答案：C
【解析】
分析：
由平行线四边形的性质得AD∥BC，由两直线平行内错角相等得∠AEB＝∠CBE，结合角平分线的定义得出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝30°，再利用三角形内角和定理即可求出∠A的大小．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义等，根据平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE是解题的关键．
◎题型4：三角形折叠中的角度问题
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，将沿着平行于的直线折叠，点落在点处，若，则的度数是（ ）
A．108°B．104°C．96°D．92°
答案：D
【解析】
分析：
根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE＝∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE＝∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴∠ADE＝∠B＝44°，
∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，
∴∠A′DE＝∠ADE＝44°，
∴∠A′DB＝180°﹣44°﹣44°＝92°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
变式1．(2023·云南昭通·八年级期末）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
答案：D
【解析】
分析：
由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求．
【详解】
解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
变式2．(2023·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，点D与点D关于AE对称，，则∠AED的度数为（ ）
A．57°B．60°C．62°D．67°
答案：C
【解析】
分析：
利用轴对称的性质，平角的定义求解即可．
【详解】
解：∵点D与点D'关于AE对称，
∴∠AED=∠AED′，
∵∠CED′=56°，
∴∠AED=（180°-∠）=（180°-56°）=62°，
故选：C．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质．
变式3．(2023·福建龙岩·八年级期末）如图，把纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得，，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．36°C．37°D．38°
答案：B
【解析】
分析：
根据折叠性质得出∠C′＝∠C＝35°，根据三角形外角性质得出∠DOC＝∠1﹣∠C＝71°，∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝36°．
【详解】
解：如图，设C′D与AC交于点O，

∵∠C＝35°，
∴∠C′＝∠C＝35°，
∵∠1＝∠DOC+∠C，∠1＝106°，
∴∠DOC＝∠1﹣∠C＝106°﹣35°＝71°，
∵∠DOC＝∠2+∠C′，
∴∠2＝∠DOC﹣∠C′＝71°﹣35°＝36°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和定理及三角形的外角定理是解题的关键．
◎题型5：三角形内角和定理的应用
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
答案：B
【解析】
分析：
利用两个三角形的内角和都为180°，结合相等的角即可求解．
【详解】
∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴∠B＝∠C＝90°，
又∵∠BEA＝∠CED，且∠BEA+∠B+∠A＝∠CED+∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝∠A＝50°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和等于180°，熟记三角形的内角和公式是解题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图摆放的是一副学生用的直角三角板，，，AB与DE相交于点G，当时，∠AGE的度数是（ ）．
A．60°B．65°C．75°D．85°
答案：C
【解析】
分析：
过点G作，再根据在和中，，，可得，，进而求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案．
【详解】
过点G作，
，
，
，
在和中，，，
，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
变式2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，把一个含有角的直角三角板放在两条平行线m，n上，若，则∠β的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
如图设∠1、∠2、∠3、∠4，根据平行线的性质、三角形内角和以及对顶角相等即可求解．
【详解】
如图，设∠1、∠2、∠3、∠4，
∵∠α=123°，，
∴∠α=∠4=123°，
∴∠1=180°-123°=57°，
∵三角板的顶角∠2=45°，
∴∠3=180°-∠1-∠2=180°-57°-45°=78°，
∵∠β=∠3，
∴∠β=78°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了两线平行同位角相等、对顶角相等和三角形内角和为180°等知识，充分平行线的性质以及三角形内角和是解答本题的关键．
变式3．(2023·山东菏泽·八年级期末）下列条件中能构成钝角△ABC的是（ ）
A．∠A=∠B=∠CB．∠A-∠B=∠CC．∠B=∠C=∠AD．∠A=∠B=∠C
答案：C
【解析】
分析：
根据三角形内角和，选项中各角之间的关系，解出最大角的度数即可确定三角形形状，得出答案．
【详解】
解：A选项中，，三角形是锐角三角形，不符合题意；
B选项中，，则，三角形是直角三角形，不符合题意；
C选项中，，则，，三角形是钝角三角形，符合题意；
D选项中，，则，，三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和，通过各角之间的关系确定角的度数．解题的关键在于通过各角关系确定最大角的度数，从而确定三角形形状．
◎题型6：三角形的外角
1）三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
备注：(1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2）三角形外角性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
备注：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3）三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
备注：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°
例．(2023·山西运城·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，则∠D的度数为（ ）
A．160°B．150°C．140°D．130°
答案：C
【解析】
分析：
连接BD，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠1、∠3替换为四边形的内和，再利用即可求出∠D．
【详解】
连接BD，如图
∴，
∵
∴
∵，，
∴
∵
∴
故选 ：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外角，熟练运用三角形外角的性质将外角转换为内角是解题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
由题意可得，再由平行线的性质得，再利用三角形外角的性质即可求出．
【详解】
解：由题意可知：
，，，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质．解答的关键是理解和掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
变式2．(2023·河南许昌·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°．则∠BDC的度数为（ ）
A．26°B．52°C．56°D．64°
答案：B
【解析】
分析：
根据直角三角形的性质得AD=CD，由等腰三角形性质结合三角形外角性质可得答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCA=∠A=26°，
∴∠BDC=2∠A=52°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了直角三角的性质及三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键 .
变式3．（2023·四川省南充市白塔中学八年级期中）若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于26°，则其顶角等于（ ）
A．64°或116°B．116°或52°C．64°或128°D．64°或116°或128°
答案：A
【解析】
分析：
分当等腰△ABC是锐角三角形时和当等腰三角形ABC是钝角三角形时两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：如图1所示，当等腰△ABC是锐角三角形时，
由题意得，∠ACD=26°，∠ADC=90°，
∴∠A=64°；
如图2所示，当等腰三角形ABC是钝角三角形时，
由题意得∠ABD=26°，∠D=90°，
∴∠BAC=∠D+∠ABD=116°，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
◎题型7：利用互余关系求角
直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.
备注：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
例．(2023·全国·八年级课时练习）如图，直线l1∥l2，直线交于点A，交于点B，过点A的直线，交于点C．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
根据平行线的性质可得∠ABC=∠1=56°，再由，可得∠ACB=90°-∠ABC=34°，然后根据对顶角相等是解题的关键．
【详解】
解：∵l1∥l2，∠1=56°，
∴∠ABC=∠1=56°，
∵，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=90°-∠ABC=34°，
∴∠2=∠ACB=34°．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，BD是△ABC的角平分线交BC于点E，若，，则∠CAE的度数为（ ）
A．12.5°B．17.5°C．22.5°D．27.5°
答案：C
【解析】
分析：
根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，根据三角形内角和得出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，即可得出∠CAE．
【详解】
解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC＝=17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，
∵∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAF=95°-72.5°=22.5°故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和垂直的定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用以上性质，进行推理计算．
变式2．（2023·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，则∠的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
答案：A
【解析】
分析：
由折叠的性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得，进而根据三角形外角的性质可求解．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴，
由折叠的性质可知，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质、三角形外角的性质及折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质、三角形外角的性质及折叠的性质是解题的关键．
变式3．（2023·全国·八年级课时练习）如图，在四边形中，，连接，，过点D作于点P，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由题意可知，是的平分线，则，在中，因为，所以，则在中可求出．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴是的平分线，
∴，
∵，即，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理及直角三角形的性质，解题的关键是熟记角平分线的判定定理．
证法1：如图
∵，，（量角器测量）
∵（计算所得）
∴（等量代换）
证法2：如图，延长到，过点作．
∴（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵（平角定义）．
∴（等量代换）
即．