专题1.2 有理数的有关运算15大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期高效复习秘籍（苏科版）

专题1.2有理数的有关运算15大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】有理数的加法：（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b=b+a； 结合律（a+b）+c=a+（b+c）．2.有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a-b=a+（-b） （2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．3.有理数的混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．4.有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．5.有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 （2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．6.有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．7.有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．【典例剖析】【考点1】有理数的加法【例1】（2022·江苏·七年级专题练习）已知三个数a+b+c=0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据a+b+c＝0可判断三个数中一定有一个正数和一个负数，讨论：若第三个数为负数，根据绝对值的意义得到两负数表示的点到原点的距离之和等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两正数表示的点到原点的距离之和等于负数到原点的距离，然后利用此特征对各选项进行判断．【详解】解：已知a+b+c＝0，A．由数轴可知，a＞0＞b＞c，当|a|＝|b|+|c|时，满足条件．B．由数轴可知，a＞b＞0＞c，当|c|＝|a|+|b|时，满足条件．C．由数轴可知，a＞c＞0＞b，当|b|＝|a|+|c|时，满足条件．D．由数轴可知，a＞0＞b＞c，且|a|＜|b|+|c|时，所以不可能满足条件．故选：D．【点睛】此题主要考查了数轴、加法法则等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．【变式1.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列运算正确的是（　　）A．﹣2+（﹣5）＝﹣（5﹣2）＝﹣3 B．（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5C．（﹣9）﹣（﹣2）＝﹣（9+2）＝﹣11 D．（+6）+（﹣4）＝+（6+4）＝+10【答案】B【分析】根据有理数的加减运算法则进行计算即可求解．一般地，同号两数相加有下面的法则： 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 另外，有理数相加还有以下法则： 互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数，有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【详解】解：A、﹣2+（﹣5）＝﹣（2+5）＝﹣7，故本选项不符合题意．B、（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5，本选项符合题意．C、（﹣9）﹣（﹣2）＝（﹣9）+2＝﹣（9﹣2）＝﹣7，本选项不符合题意．D、（+6）+（﹣4）＝+（6﹣4）＝2，本选项不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了有理数的加法与减法，掌握有理数的加减法法则是解题的关键．【变式1.2】（2022·江苏·七年级专题练习）在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是+21−32=−11的计算过程，则图2表示的过程是在计算（       ）A．(−13)+(+23)=10 B．(−31)+(+32)=1C．(+13)+(+23)=36 D．(+13)+(−23)=−10【答案】A【分析】根据图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负，由此即可得出答案．【详解】解：由图1可知，一横表示10，一竖表示1，白色为正，黑色为负，则图2表示的过程是在计算−13++23=10，故选：A．【点睛】本题考查了有理数的加减法，掌握理解每个算筹所表示的数是解题关键．【变式1.3】（2022·江苏·七年级）如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则a+b的值可能是（       ）A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】C【分析】由图可知−3b，则−2b，则−20，再根据abc<0，可判断c>0，从而可得出答案．【详解】解：∵a+b=0，∴a，b互为相反数，∵b0，∴ab<0；∵abc<0，b<0，a>0，∴c>0，∴bc<0，∴ab+bc一定是负数．故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，以及有理数运算法则关于符号的确定，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．【变式4.3】（2022·江苏苏州·七年级期末）某超市出售一种方便面，原价为每箱24元．现有三种调价方案：方案一，先提价20%，再降价20%；方案二，先降价20%，再提价20%；方案三，先提价15%，再降价15%．三种调价方案中，最终价格最高的是（       ）A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．不确定【答案】C【分析】根据题意，算出每种方案的最终价格，然后比较即可．【详解】解：方案一的最终价格为：24(1+20%)(1−20%)=23.04元；方案二的最终价格为：24(1−20%)(1+20%)=23.04元；方案三的最终价格为：24(1+15%)(1−15%)=23.46元；因为23.46>23.04=23.04，则选方案三，故选：C【点睛】此题考查了列出代数式计算的能力，读懂题意，找出题中的数量关系，列出式子正确计算是解题的关键．【考点5】倒数【例5】（2022·江苏南京·七年级阶段练习）﹣2022的绝对值的相反数的倒数是（       ）A．12022 B．﹣2022 C．2022 D．﹣12022【答案】D【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义进行求解即可．【详解】解：﹣2022的绝对值的相反数的倒数是−12022．故选D．【点睛】本题考查了绝对值，相反数，倒数的定义，掌握绝对值，相反数，倒数的定义进是解题的关键．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；相乘等于1的两个数互为倒数．【变式5.1】（2022·江苏·七年级专题练习）如果−2022×□=1，那么“□”内应填的数是（       ）A．12022 B．2022 C．−12022 D．−2022【答案】C【分析】根据互为倒数的两数的乘积等于1，即可求解．【详解】解：∵−2022×−12022=1．故选：C【点睛】本题主要考查倒数的性质，熟练掌握互为倒数的两数的乘积等于1是解题的关键．【变式5.2】（2022·江苏·七年级专题练习）（       ）的倒数比它的本身大．A．假分数 B．真分数 C．带分数 D．整数【答案】B【分析】真分数是分子小于分母的分数，假分数是分子大于或等于分母的分数．再根据求一个数的倒数的方法，可知假分数或带分数的倒数等于或小于它本身，真分数的倒数大于它本身．【详解】解：因为真分数是分子小于分母的分数，所以真分数的倒数比它本身大．故选：B．【点睛】此题考查倒数的意义和求法，也考查了真分数和假分数的意义．【变式5.3】（2022·江苏·七年级专题练习）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则m0，则|a＋2b|＝﹣a﹣2b；④若m是有理数，则|m|＋m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法则分别计算并判断即可．【详解】解：∵0没有倒数，∴①错误．∵﹣1＜m＜0，∴1m＜0，m2＞0，∴②错误．∵a+b＜0，且ba>0，∴a＜0，b＜0．∴a+2b＜0，∴|a+2b|＝﹣a﹣2b．∴③正确．∵|m|≥﹣m，∴|m|+m≥0，∴④正确，∵c＜0＜a＜b，∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0．∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0正确．∴⑤正确．故选：C．【点睛】此题考查了有理数的知识，正确掌握倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法则是解题的关键．【考点6】有理数的运算律【例6】（2021·江苏连云港·七年级期中）为了简化计算，算式−334×4可以化为（　　）A．−3×4−34×4 B．−3×4+34×4 C．−3×4+34 D．−3−34×4【答案】A【分析】利用乘法的分配律分析．【详解】解：−334×4=−3−34×4=−3×4−34×4．故选：A．【点睛】本题考查了有理数的乘法，要熟悉乘法分配律．解题关键是将-334转换为-3-34的形式．【变式6.1】（2019·江苏·南通市通州区平潮实验初级中学七年级阶段练习）用下列方法计算1357×−316，最简便的一项是（       ）A．13+57×-316 B．14-27×-316 C．16+163×-316 D．16-227×-316【答案】D【分析】由乘法的分配律及乘法的运算可得，A，B的方法都不是最简单的，C的方法是错误的，从而可得答案．【详解】解：1357×−316=13+57×−316=13×−316+57×−316，计算复杂，不是最简便的方法，故A不符合题意；1357×−316=14−27×−316=14×−316−27×−316计算复杂，不是最简便的方法，故B不符合题意；1357×−316=16+163×−316明显错误，故C不符合题意；1357×−316 =16−227×−316 =16−167×−316 =16×−316−167×−316 =−3+37 =−247. 所以D的方法最简单，故选D．【点睛】本题考查的是乘法分配律的运算，乘法运算简便的理解，掌握以上知识是解题的关键．【变式6.2】（2019·江苏徐州·七年级阶段练习）利用分配律计算（–1009899）×99时，正确的方案可以是A．–（100+9899）×99 B．–（100–9899）×99C．（100–9899）×99 D．（–101–199）×99【答案】A【分析】根据乘法分配律进行计算即可.【详解】−1009899×99=−1009899×99=−100+9899×99. 故选A.【点睛】考查有理数的乘法，主要是乘法的分配律,掌握分配律的计算是解题的关键.【变式6.3】（2021·江苏·苏州市相城区第二实验中学七年级阶段练习）计算(−2)100+(−2)99所得的结果是（       ）A．−2 B．2 C．−299 D．299【答案】D【分析】根据有理数的乘方的意义可知(−2)100表示100个（-2）的乘积，所以，(−2)100+(−2)99 =(−2)×(−2)99+(−2)99，再乘法对加法的分配律的逆运算计算即可．【详解】解：(−2)100+(−2)99=(−2)×(−2)99+(−2)99=(−2)+1×(−2)99=(−1)×(−2)99=299故选：D．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，在运算中应注意各种运算法则和运算顺序．【考点7】有理数的除法【例7】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）设abc≠0，且a+b+c=0，则aa+bb+cc+abcabc的值有可能是（       ）A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2【答案】A【分析】根据题意可得a、b、c中只存在两个正数一个负数或两个负数一个正数这两种情况；据此讨论求解即可．【详解】解：∵abc≠0，且a+b+c=0，∴a、b、c中只存在两个正数一个负数或两个负数一个正数这两种情况；不妨设a>0，b>0，c<0，则abc<0，∴aa+bb+cc+abcabc=aa+bb+c−c+abc−abc=1+1−1−1=0；不妨设a>0，b<0，c<0，则abc>0，∴aa+bb+cc+abcabc=aa+b−b+c−c+abcabc=1−1+1−1=0，故选A．【点睛】本题主要考查了有理数加法，乘法与除法运算，化简绝对值，正确得到a、b、c中只存在两个正数一个负数或两个负数一个正数这两种情况是解题的关键．【变式7.1】（2022·江苏·七年级专题练习）已知a，b为非0有理数，且a，b同号，则a|a|+b|b|−ab|ab|的值是（　　）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【答案】C【分析】分两种情况：a＞0，b＞0，和a＜0，b＜0，计算分析即可得解．【详解】解：当a＞0，b＞0，此时ab＞0，a|a|+b|b|−ab|ab|＝aa+bb−abab＝1+1﹣1＝1；当a＜0，b＜0，此时ab＞0，a|a|+b|b|−ab|ab|＝a−a+b−b−abab＝﹣1+（﹣1）﹣1＝﹣3∴值为1或﹣3，故选：C．【点睛】本题考查了绝对值的性质和有理数的除法，分类讨论是解题的关键．【变式7.2】（2022·江苏宿迁·七年级期末）有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则mn的一切值所在的范围是（　　）A．16,34 B．14,12 C．43,6 D．12,34【答案】A【分析】根据m在[5,15]内，n在[20,30]内，可得mn的最小值与最大值．【详解】解：∵m在[5，15]内，n在[20，30]内，∴5≤m≤15，20≤n≤30，∴mn的最小值为530=16，最大值为1520=34∴mn的一切值所在的范围是16,34．故选：A．【点睛】本题考查了新定义的有理数运算，关键是得到5⩽m⩽15，20⩽n⩽30，求出mn的最大与最小值．【变式7.3】（2020·江苏南通·七年级阶段练习）若1＜x＜2，则|x−2|x−2−|x−1|1−x+|x|x的值是（       ）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1【答案】D【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．【详解】解：∵10，x>0，∴原式=−1+1+1=1，故选：D．【点睛】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．【考点8】有理数的乘方【例8】（2022·江苏·扬州市梅岭中学七年级阶段练习）下列计算结果相等的一组为（　　）A．23和32 B．−23和|−2|3C．−32和−32 D．−12和−12018【答案】D【分析】根据有理数的乘方运算法则进行运算，即可一一判定．【详解】解：A、∵23=8，32=9，∴23≠32，故该选项不符合题意；B、∵−23=−8，|−2|3=8，∴−23≠|−2|3，故该选项不符合题意；C、∵−32=−9，−32=9，∴−32≠−32，故该选项不符合题意；D、−12=1，−12018=1，∴−12=−12018，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算法则，熟练掌握和运用有理数的乘方运算法则是解决本题的关键．【变式8.1】（2022·江苏·七年级专题练习）若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（　　）①a2与b2；②a2与﹣b2；③a3与b3；④a3与﹣b3．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据相反数的定义，乘方的意义逐个分析结论即可．【详解】解：①a，b互为相反数，则a2＝b2，即a2与b2不互为相反数，故①不符合题意；②a，b互为相反数，则a2＝b2，故a2+（﹣b2）＝0，即a2与﹣b2互为相反数，故②符合题意；③a，b互为相反数，则a＝﹣b，a3+b3＝（﹣b）3+b3＝0，即a3与b3互为相反数，故③符合题意；④a，b互为相反数，则a＝﹣b，a3﹣b3＝（﹣b）3﹣b3＝﹣b3﹣b3＝﹣2b3≠0，即a3与﹣b3不互为相反数，故④不符合题意；符合题意的有2个，故选：C．【点睛】本题考查相反数的定义，乘方的意义，解题的关键是掌握相反数定义：两个数相加为0，则这两个数互为相反数．【变式8.2】（2022·江苏·七年级）有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则a2019+b2020等于（　　）A．1 B．±1 C．﹣1 D．2或0【答案】B【分析】根据题意可以求得a，b的值，从而可以求得题目中所求式子的值．【详解】解：∵有理数a等于它的倒数，∴a＝±1，∵有理数b等于它的相反数，∴b＝0，则a2019+b2020＝（±1）2019+0＝±1．故选：B．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是求出a，b的值．【变式8.3】（2022·江苏·七年级）两个不为0的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，那么这两个数（　　）A．一定相等 B．一定互为倒数 C．一定互为相反数 D．相等或互为相反数【答案】D【分析】设这两个数分别为a，b，根据题意列式计算即可．【详解】解：设这两个数分别为a，b，依题意可得：ba=ab，化简得：a2=b2，∴a=b或a=-b故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数的除法，掌握运算法则是解题的关键．【考点9】程序流程图与有理数的运算【例9】（2021·江苏·无锡市江南中学七年级期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝3，则最后输出的结果是（　　）A．38 B．39 C．40 D．41【答案】A【分析】将x=3代入程序框图计算，根据结果等于10，将x=10代入程序框图计算，判断结果大于10，即可得到输出的结果．【详解】当x＝3时，得到3×4﹣2＝12﹣2＝10，当x＝10时，得到10×4﹣2＝40﹣2＝38，则输出的数为38．故选：A．【点睛】此题考查了程序流程图与有理数计算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，按程序一步一步计算．【变式9.1】（2021·江苏·星海实验中学七年级期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为x＝3，则最后输出的结果是（       ）A．156 B．231 C．6 D．21【答案】B【分析】根据程序可知，输入x计算x=x(x+1)2，若小于100则将所得x值代入计算，至到所得x值大于100即可输出．【详解】解：当x=3时，x=x(x+1)2=6，∵6<100，∴当x=6时，x=x(x+1)2=21<100，∴当x=21时，x=x(x+1)2=231，则最后输出的结果为231，故选：B．【点睛】此题考查了程序计算，有理数混合运算，正确理解程序图计算是解题的关键．【变式9.2】（2021·江苏·无锡市天一实验学校七年级期中）按如图的程序计算：若开始输入的x的值为x＝1，最后输出的结果的值是（ ）A．4 B．40 C．41 D．121【答案】B【分析】根据程序将x的值代入代数式进行计算，然后考虑是否大于13，如果不大于，则继续代入计算，如果大于13则输出结果即为所求．【详解】解：当x=1时，3x+1=4<13，继续代入得：当x=4时，3x+1=13=13，继续代入得：当x=13时，3x+1=40>13，输出结果即可．故选：B．【点睛】本题考查了求代数式的值，理解图示的程序是解决本题的关键．【变式9.3】（2022·江苏·七年级专题练习）按下图的程序计算，若x为任意整数，则输出的所有结果中，出现次数最多的结果是（       ）A．－5 B．－7 C．－9 D．－13【答案】C【分析】由题意可知，程序算法第一次为：2x−7与−4比较，分情况进行讨论，当x≥7时，可判断2x−7循环永远大于0，不存在输出；当x≤0时，分别取值可知2x−7永远小于0且逐渐减小；当0−4，②2×(−3)−7=−13<−4， 输出−13，如x=3，①2×3−7=−1>−4，②2×(−1)−7=−9<−4，输出−9，如x=4，①2×4−7=1>−4，②1×2−7=−5<−4，输出−5，如x=5，①2×5−7=3>−4，由x=3可知输出为−9，当x=6，①2×6−7=5，由x=5可知输出为−9，综上：−9输出的次数最多，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意，理解题中程序代表的意义是解题的关键．【考点10】有理数的加减混合运算综合问题【例10】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）计算(1)−3−3(2)−0.8−5.2+11.6−5.6(3)﹣2+（﹣3）﹣（﹣5）(4)11.125﹣114+478﹣4.75【答案】(1)-6(2)0(3)0(4)10【解析】（1）解：−3−3=−3+−3=−3+3=−6（2）解：−0.8−5.2+11.6−5.6=−0.8+−5.2+11.6−5.6=−6+6=0（3）解：−2+−3−−5=−5+5=0（4）解：11.125−114+478−4.75=1118+478−114+434=16−6=10【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数加、减法运算法则，是解题的关键．【变式10.1】（2022·江苏·七年级专题练习）在计算：“10﹣312 -12”时，甲同学的做法如下：在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤 　 　．（写出错误所在行的序号）这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，　 　．请改正甲同学的计算过程．【答案】①；取相同符号，并把绝对值相加；计算过程见解析【分析】按照有理数的加减运算法则，连减去两个有理数，相当于加上这两个数的相反数的和．【详解】在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是①，这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加．10﹣312 −12 ＝10﹣312+12 ＝10﹣4＝6．故答案为：①；取相同符号，并把绝对值相加．【点睛】本题考查有理数加减运算，添括号时，正负号的处理是关键．【变式10.2】（2022·江苏·七年级专题练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算：−556+(−923)+1734+(−312)．解：原式＝(−5)+(−56)+(−9)+(−23)+(17+34)+(−3+(−12)＝(−5)+(−9)+(−3)+17+(−56)+(−23)+(−12)+34＝0+−114＝−114．上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方法计算：(1)+2857+−2517．(2)−202127+−202247+4044+−17．【答案】(1)347(2)0【分析】根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案．(1)解：原式＝28+57+（﹣25﹣17）＝28+57﹣25﹣17＝3+47＝347．(2)解：原式＝（﹣2021﹣27）+（﹣2022﹣47）+4044﹣17＝﹣2021﹣27﹣2022﹣47+4044﹣17＝（﹣2021﹣2022+4044）+（﹣27﹣47﹣17）＝1+（﹣1）＝0．【点睛】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法，本题属于基础题型．【变式10.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在数学活动课上，同学们设计了一个游戏，游戏规则如下：每人每次抽取四张卡片，如果抽到深灰色卡片，那么减去卡片上的数字；如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字．比较两位同学所抽4张卡片的计算结果，结果较大的选为数学小组长，已知明明同学抽到如下第一组所示的四张卡片，亮亮同学抽到第二组所示的四张卡片，且两人起始数字均为0，则明明、亮亮谁会成为数学小组长？【答案】明明会成为数学小组长【分析】根据题意，分别列出明明同学和亮亮同学抽取的4张卡片的算式，计算出结果各是多少，再比较大小，即可求解．【详解】解：明明：0﹣（﹣3）+34﹣（﹣5）+（﹣56）＝3+34+5﹣56＝8﹣112＝71112；亮亮：0+（﹣12）﹣（﹣2）﹣（﹣16）+4＝﹣12+2+16+4＝6﹣13＝523，∵71112＞523，∴明明会成为数学小组长．【点睛】本题主要考查了有理数加减法的混合运算，在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数的减法法则，将减法都转化为加法，并写成省略括号的和的形式，就可以根据有理数的加法法则进行运算，计算过程中可以运用加法的运算律，使计算简化．【考点11】有理数的混合运算综合问题【例11】（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）计算：(1)−14−12×[3−(−3)2](2)(38−16−34)×24【答案】(1)2；(2)﹣13．【分析】（1）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘法，最后计算减法；（2）根据乘法分配律计算即可．（1）解：−14−12×[3−(−3)2]＝﹣1﹣12×（3﹣9）＝﹣1﹣12×（﹣6）＝﹣1+3＝2；（2）(38−16−34)×24＝38×24−16×24−34×24＝9﹣4﹣18＝﹣13．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式11.1】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）计算(1)﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13   ；(2)−0.5−−314+2.75−+712；(3)−38−16+34×−24；(4)112×57−−57×212+−12÷125；(5)−81÷214×|−49|−(−3)3÷27；(6)−22÷43−22−1−12×13×12【答案】(1)-29(2)-2(3)-5(4)52(5)-15(6)-41【解析】（1）解：﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13=-20-14+18-13=-20-14-13+18=-47+18=-29（2）解：−0.5−−314+2.75−+712=−12−712+314+234 =−8+6=-2（3）解：−38−16+34×−24=38×24+16×24−34×24 =9+4−18 =-5（4）解：112×57−−57×212+−12÷125=112×57+57×212+−12×57 =112+212−12×57=72×57 =52（5）解：−81÷214×|−49|−(−3)3÷27=−81×49×49+27×127 =−16+1 =-15（6）解：−22÷43−22−1−12×13×12=−4×34−4−1−16×12 =−3−4−56×12 =−3−4×12+56×12 =−3−48+10 =−41【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．【变式11.2】（2021·江苏·南京东山外国语学校七年级阶段练习）计算(1)−20−(−18)(2)4×(−3)+5×(−2)(3)1.9+(−4.4)−(−8.1)−(+5.6)(4)(−18)÷214×49÷(−16)(5)79−56+34×(−36)(6)−23×(−4)2÷(−2)3−(−1)2021【答案】(1)-2；(2)-22；(3)0；(4)29；(5)-25；(6)17．【分析】（1）减法转化为加法，再计算即可；（2）先计算乘法，再计算减法即可；（3）减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律计算即可；（4）将除法转化为乘法，再进一步计算即可；（5）利用乘法分配律计算即可；（6）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．（1）解：−20−(−18)=-20+18=-2；（2）解：4×(−3)+5×(−2)=-12-10=-22；（3）解：1.9+(−4.4)−(−8.1)−(+5.6)=1.9-4.4+8.1-5.6=（1.9+8.1）+（-4.4-5.6）=10-10=0；（4）解：(−18)÷214×49÷(−16)=−18×49×49×(−116)=29；（5）解：79−56+34×(−36)=79×(−36)−56×(−36)+34×(−36)=-28+30-27=-25；（6）解：−23×(−4)2÷(−2)3−(−1)2021=-8×16÷（-8）-（-1）=−8×16×(−18)−(−1)=16+1=17．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．【变式11.3】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）计算(1)−165+265−78−22+65(2)−34×−12÷−118×3(3)134−78−712×−87(4)32÷（－2）3＋（－2）3×−34－22【答案】(1)65(2)-1(3)−13(4)78【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可；（2）根据有理数乘除运算法则进行计算即可；（3）根据乘法分配律进行计算即可；（4）根据有理数混合运算法则进行计算即可．（1）解：−165+265−78−22+65=100−78+22+65=100−100+65=65（2）解：−34×−12÷−118×3=−34×−12×−89×3=−34×12×89×3=−1（3）解：134−78−712×−87=74×−87−78×−87−712×−87=−2−−1−−23=−2+1+23=−13（4）解：32÷（－2）3＋（－2）3×−34－22=9÷−8+−8×−34−4=−98+6−4=78【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则，是解题的关键．【考点12】有理数的实际问题【例12】（2022·江苏·七年级专题练习）中秋节时，小雨陪妈妈一起去购买月饼，妈妈买了一盒某品牌月饼（共计6枚）．回家后他仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，然后把6枚月饼的质量称重后统计列表如下（单位：克）：（1）小雨为了简化运算，选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出的部分记为正，不足的部分记为负，列出下表（不完整）．请把下列表格补充完整：（2）小雨看到包装说明上标记的总质量为（420±2）克，他告诉妈妈买的月饼在总质量上是合格的你知道为什么吗？请通过计算说明．【答案】（1）﹣0.7；+0.8；﹣0.6；（2）合格，见解析【分析】（1）根据（1）中第2、4、6个计数即可得出基准质量，然后对比即可；（2）求出6枚月饼的总质量是否在418克到422克之间，即可得出答案．【详解】解：（1）根据（1）中第2个重量记作＋0.2，第4个重量记作﹣0.4，第6个重量记作+1，所以这个基准质量为，70.2−0.2＝70（克）．∴第1个重量记作69.3−70＝﹣0.7，第3个重量记作70.8−70＝+0.8，第5个重量记作69.4−70＝−0.6， 故答案为：﹣0.7；+0.8；﹣0.6；（2）∵6枚月饼的总质量为：69.3+70.2+70.8+69.4+71+69.6＝420.3（克）∵说明书上标记的总质量为420±2克，即总质量在418克到422克之间为合格，∴可以判定总质量式合格的．【点睛】本题主要考查了正数和负数的计算，根据题意列式计算是解决本题的关键．【变式12.1】（2021·江苏·七年级专题练习）网购的盛行，带动了快递行业的快速发展．一天快递员小李骑车从快递公司出发，在一条东西方向的马路上来回送件，规定在快递公司东边记为正，快递公司西边记为负，小李一天所走的路程记录如下：（单位：千米）：+4，－3，+5，－2.5，2.5，－3，－2.8，+1.5，+1.5，－1.2．（1）该快递员最后到达的地方在快递公司的哪个方向？距快递公司多远？（2）该快递员在这次送件过程中，共走了多少千米？【答案】（1）东边，2千米；（2）27千米【分析】（1）根据题目中的数据，可以解答本题；（2）将题目中的数据的绝对值相加，即可解答本题．【详解】解：（1）4+（-3）+5+（-2.5）+2.5+（-3）+（-2.8）+1.5+1.5+（-1.2）=2（千米），答：该快递员最后到达的地方在快递公司的东边，距快递公司2千米；（2）4+|-3|+5+|-2.5|+2.5+|-3|+|-2.8|+1.5+1.5+|-1.2|=27（千米），答：该快递员在这次送件过程中，共走了27千米．【点睛】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．【变式12.2】（2021·江苏·沭阳县修远中学七年级阶段练习）学校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出53册，就记作+3；如果某天借出40册，就记作-10． 上星期图书馆借出图书记录如表：（1）上星期五借出图书多少册？（2）上星期五天平均每天借出图书多少册？【答案】（1）43册；（2）51本【分析】（1）由表格中的数据求出星期五借出图书即可；（2）根据表格中的数据求出上星期平均每天借出图书即可．【详解】解：（1）根据题意得：50−7＝43（册），则上星期五借出图书43册；（2）上星期平均每天借出图书：50＋（0＋8＋6−2−7）÷5＝50＋1＝51（本）．【点睛】此题考查了正数与负数，弄清题中的数据是解本题的关键．【变式12.3】（2021·江苏·七年级专题练习）小惠和小红在学校操场的旗杆前玩“石头、剪刀、布”的游戏，规则如下：在每一个回合中，若某一方赢了对方，便可向右走 2 米，而输的一方则向右走-3 米，和的话就原地不动，最先向右走 18 米的便是胜方．假设游戏开始时，两人均在旗杆处．（1）若小惠在前四个回合中都输了，则她会站在什么位置？（2）若小红在前三个回合中赢了两次输了一次，则她会站在什么位置？（3）假设经过五个回合后，小红仍然站在旗杆处，且没有猜和（即五个回合中没有出现和的情况）．问小惠此时会站在什么位置？【答案】（1）小惠站在旗杆左12米处；（2）小红站在旗杆右1米处；（3）小惠此时会站在旗杆左5米位置.【分析】（1）根据输的一方则向右走-3米，即向左走3米，然后根据小惠在前四个回合中都输了，用-3乘以4，求出她会站在旗杆左边多少米处即可；（2）根据小红在前三个回合中赢了两次输了一次，用2乘以2，求出她向右走了多少米，再加上-3，求出则她会站在旗杆的右边多少米处即可；（3）设小红剩x场，则输了5-x场，根据小红仍然站在旗杆处，即可列方程求出胜的场数，从而判断出小惠胜负的场数，即可求解．【详解】(1)(−3)×4=−12，则小惠站在旗杆左12米处；(2)2×2+(−3)=4−3=1，则小红站在旗杆右1米处；(3)设小红胜x场，则输了5−x场，根据题意可得方程：2x−3(5−x)=0解得：x=3，则小红胜3场，则输了2场，则小惠胜2场，则输了3场；2×2+(−3)×3=−5小惠此时会站在旗杆左5米位置.【点睛】此题考查正数和负数的应用，解题关键在于根据题意列出式子进行计算.【考点13】关于有理数运算的新定义问题【例13】（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)记作(−3)④，读作“−3的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋅⋅⋅÷an个a(a≠0)记作aⓝ，读作“a的圈n次方”【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③=______，(−12)⑤=_______；（2）关于除方，下列说法错误的是（       ）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．对于任何正整数n，1的圈n次方等于1C．3④=4③D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．(−3)⑥=_____；(−15)⑦=______；想一想：将一个非零有理数a的圈n次方（n≥3）写成幂的形式等于______；（4）利用（3）的结论计算：62÷(−23)④−(13)⑦÷(−3)3．【答案】（1）12，−8；（2）C；（3）134；−55；1an−2；（4）25．【分析】初步探究（1）分别按公式进行计算即可；（2）根据定义依次判定即可；深入思考（3）前两个数相除结果为1，从第三个数开始依次变为倒数，把除法化为乘法，由此分别得出结果；（4）将（3）中规律代入计算，注意运算顺序．【详解】（1）2③=2÷2÷2=12，−12⑤=−12÷−12÷−12÷−12÷−12=−8．故答案为：12，−8；（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除，所以都等于1；故选项A说法正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1的圈n次方等于1；故选项B说法正确；C、3④＝3÷3÷3÷3＝ 19，4③＝4÷4÷4＝14 ，则 3④≠4③；故选项C说法错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．故选项D说法正确；故答案为：C；（3）−3⑥=−3÷−3÷−3÷−3÷−3÷−3=1×−13×−13×−13×−13=−134=134 −15⑦=−15÷−15÷−15÷−15÷−15÷−15÷−15=1×−5×−5×−5×−5×−5=−55=−55aⓝ=a÷a...a÷an个a=1÷a÷a...a÷an−2个a=1a×1a...1a×1an−2个1a=1an−2故答案为：134；−55；1an−2；（4）62÷(−23)④−(13)⑦÷(−3)3=36÷322+35÷33=36÷94+32=16+9=25【点睛】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．【变式13.1】（2022·江苏·七年级）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．(1)根据上述规定，填空：（2，8）＝_______，（2，14）＝_______；(2)若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【答案】(1)3，−2(2)4【分析】（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．(1)解：因为23＝8，所以（2，8）＝3；因为2﹣2＝14，所以（2，14）＝﹣2．故答案为：3，﹣2；(2)解：根据题意得a＝42＝16，b3＝8，所以b＝2，所以（b，a）＝（2，16），因为24＝16，所以（2，16）＝4．答：（b，a）的值为4．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，考核学生的运算能力，熟悉乘方运算是解题的关键．【变式13.2】（2022·江苏·七年级）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，M(n)=(−2)×(−2)×⋯×(−2)n个−2相乘（n为正整数）．(1)求2M（2018）+M（2019）的值．(2)猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由．【答案】(1)0(2)2M（n）与M（n+1）互为相反数，理由见解析【分析】（1）根据已知算式即可进行计算；（2）结合（1）将算式变形即可说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．(1)解：2M（2018）+M（2019）＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；(2)解：2M（n）与M（n+1）互为相反数，理由如下：因为2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，所以2M（n）＝﹣M（n+1），所以2M（n）与M（n+1）互为相反数．【点睛】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，解决本题的关键是掌握有理数的乘方和有理数的乘法．【变式13.3】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a⊕b，比如：5⊕2=1；7⊕25=4．求：(1)32⊕68⊕45；(2)16⊕53−4⊕102．【答案】(1)25(2)-3【分析】（1）根据题目中余数记为a⊕b，可以将题目中的式子化简；（2）根据余数记为a⊕b，可以先计算出两个括号内的式子，然后再计算即可．（1）解：∵32÷6＝5……2，45÷8＝5……5，∴32⊕68⊕45=25．（2）解：由题意可得，16⊕52−4⊕102＝=13−22＝1−4＝−3【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．【考点14】有理数材料阅读综合问题【例14】（2022·江苏扬州·七年级期末）有以下运算程序，如图所示：比如，输入数对（2，1），输出W＝2．(1)若输入数对（1，﹣2），则输出W＝ ；(2)分别输入数对（m，﹣n）和（﹣n，m），输出的结果分别是W1,W2，试比较W1,W2的大小，并说明理由；(3)设a＝|x+2|，b＝|x﹣3|，若输入数对（a，b）之后，输出W＝26，请直接写出a+2b的值．【答案】(1)1(2)W1=W2，理由见解析(3)68或73【分析】（1）根据程序框图，代入求值，即可求解；（2）根据程序框图，先求出W1,W2，再比较大小，即可求解；（3）分三种情况讨论：当x≥3时；当x≤-2时；当-2＜x＜3时，即可求解．（1）解：根据题意得：W=12×1−−2+1−2=12×3−1 =1；故答案为：1（2）解：W1=W2，理由如下：当a=m，b=-n时，W1=a−b+a+b×12=12m+n+m−n，当a=-n，b= m时，W2=a−b+a+b×12=−n−m+m−n×12=12m+n+m−n∴W1=W2；（3）解：当x≥3时，a=x+2，b＝x﹣3，∵W＝26，∴W=12×x+2−x−3+x+2+x−3=26，解得：x=24，∴a=26，b=21，∴a+2b=68；当x≤-2时，a=-x-2，b＝-x+3，∵W＝26，∴W=12×−x−2−−x+3+−x−2+−x+3=26，解得：x=-23，∴a=21，b=26，∴a+2b=73；当-2＜x＜3时，a=x+2，b＝-x+3，∴W=12×x+2−−x+3+x+2+−x+3=26，即2x−3=47，解得：x=25或-22，不符合题意，舍去；综上所述，a+2b的值为68或73．【点睛】本题主要考查了求代数式的值及含绝对值的一元一次方程，正确表示W是求解本题的关键．【变式14.1】（2022·江苏·七年级）阅读下列解题过程：计算1+3+32+33+34+…+39+310的值．解：设S＝1+3+32+33+34+…+39+310①，则3S＝3×(1+3+32+33+…+39+310)3S＝3×1+3×3+3×32+3×33+…+3×39+3×3103S＝3+32+33+34+…+310+311②，②﹣①得：3S﹣S＝(3+32+33+34+…+39+310+311)﹣(1+3+32+33+34+…+39+310)2S＝311﹣1，S＝311−12，即1+3+32+33+34+…+39+310＝311−12通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：1+5+52+53+54+…+524+525．【答案】526−14【分析】根据题目所给信息的举例，设S＝1+5+52+53+54+…+524+525，然后再乘5再相减计算可解决问题．【详解】解：设S＝1+5+52+53+54+…+524+525，①则5S＝5×1+5×5+5×52+5×53+5×54+…+5×524+5×525，5S＝5+52+53+54+…+524+525+526，②②﹣①得，5S﹣S＝(5+52+53+54+…+524+525+526)﹣(1+5+52+53+54+…+524+525)，4S＝526﹣1，S＝526−14，即1+5+52+53+54+…+524+525＝526−14．【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确理解阅读材料并掌握求和的方法．【变式14.2】（2021·江苏·南闸实验学校七年级阶段练习）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴．（1）折叠纸条使数轴上表示﹣1的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为10，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ；（2）如图2，点A、B表示的数分别是﹣2、4，数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的3倍，那么点C表示的数是 ；（3）如图2，若将此纸条沿A、B两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，求最右端的折痕与数轴的交点表示的数．【答案】（1）2，−3；（2）2.5或7；（3）6116．【分析】（1）设折痕与数轴的交点表示的数为x，根据折痕与数轴的交点是−1与5对应点的中点可得方程x−−1=5−x，解方程即可求得答案；按照（1）的折叠方式，中点为2，两点之间的距离为10，则左边数到中点的距离为5个单位，可得方程2−x=10×12，解方程即可求得答案；（2）要分点C在A、B之间和B点右侧两种情况；（3）A、B两点之间距离为4−−2=6，连续对折5次后，共有25段，每两条相邻折痕间的距离为4−−225=316，则最右端的折痕与数轴的交点为4−316，即可解得答案．【详解】解：（1）设折痕与数轴的交点表示的数为x，则x−−1=5−x，解得x=2，故答案为：2；设左边点表示的数为x，则2−x=10×12，解得x=−3，故答案为：−3；（2）设点C表示的数为x，∵AC=3BC，∴点C离点B较近，只有两种情况：①点C在线段AB上时，x−−2=34−x，解得：x=2.5；②当点C在点B的右边数轴上时，x−−2=3x−4，解得：x=7．故答案为：2.5或7．（3）对折5次后，每两条相邻折痕间的距离4−−225=316，∴最右端的折痕与数轴的交点表示的数为4−316=6116．【点睛】本题考查实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质．【变式14.3】（2022·江苏·七年级专题练习）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数．(1)若●表示2，输入数为−3，求计算结果；(2)若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？(3)若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系．【答案】(1)3(2)-17(3)b=−2a−1【分析】（1）根据题意代入相应的值运算即可；（2）设●表示的数为x，根据题意得出相应的方程求解即可；（3）根据输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，求出a，b之间的关系．(1)解：∵●表示2，输入数为−3∴(−3)×(−4)÷2+(−1)−2=12÷2−1−2=3；(2)解：设●表示的数为x，根据题意得：4×(−4)÷2+(−1)−x=8，∴x=−17；(3)解：∵输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，∴−4a2+(−1)−b=0，整理得b=−2a−1．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键理解清楚题意，并掌握相应的运算法则．【考点15】“24点”计算综合问题【例15】（2020·江苏·兴化市板桥初级中学七年级阶段练习）现有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？积最大是多少？（2）将这4张卡片上的数字用学过的运算方法，使结果为24，写出运算式子．（写出一种即可）．【答案】（1）（-6）×（-4）=24；（2） (-3)×[（-4）-10+6]=24(答案不唯一)．【分析】（1）利用乘法法则判断即可；（2）利用“24点”游戏规则判断即可．【详解】解：（1）取出-6和-4，积最大，最大为（-6）×（-4）=24；（2）根据题意得：(-3)×[（-4）-(+10)-(-6)]=24．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式15.1】（2021·江苏扬州·七年级阶段练习）有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，J、Q、K分别为11、12、13，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌，将这4张牌的牌面所表示的数进行加、减、乘、除运算（使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：(−4)÷(−2)×4×3=24．（1）若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24．（2）若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24（3）若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．【答案】（1）−3×−1×5+3=24；（2）−3×8×−13+12=24；12×−3−−13−8=24；（3）23×−4−(−7)=24【分析】（1）根据所给的数是-3、-1、5、3，应用有理数混合运算的运算方法，凑成24即可；（2）根据所给的数是-3、-13、8、12，应用有理数混合运算的运算方法，凑成24即可；（3）根据所给的数是-4、-7、2、3，应用有理数混合运算的运算方法，凑成24即可．【详解】（1）−3×−1×5+3=3×8=24；（2）−3×8×−13+12=−24×−1=24；12×−3−−13−8=12×10−8=12×2=24；（3）23×−4−(−7)=8×3=24．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式15.2】（2018·江苏·海门市城北初级中学七年级期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题：（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相乘的积最大，最大值是________.（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是________.（3）从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能对用一次，如23×1−−2）请另写出两种符合要求的运算式子.【答案】(1)6;(2)−2;(3)−(−2)3×(1+2);[3−(−2)]2−1.【分析】（1）根据题意列出算式，找出积最大值即可；（2）根据题意列出算式，找出商最小值即可；（3）利用“24点”游戏规则列出算式即可．【详解】(1)根据题意得：3×2=6，则最大值为6；(2)−2÷1=−2，最小值为−2；(3)根据题意得：−(−2)3×(1+2);[3−(−2)]2−1.故答案为(1)6;(2)−2;(3)−(−2)3×(1+2);[3−(−2)]2−1.【点睛】此题考查有理数的混合运算，有理数大小比较，解题关键在于掌握各性质和运算法则.【变式15.3】（2019·江苏·常州市朝阳中学七年级阶段练习）数学游戏题小学学过“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24．例如对1，2，3，4，可作如下运算：（1+2+3）×4＝24（上述运算与4×（1+2+3）视为相同方法的运算）（1）给出有理数4，6，9，12；请你写出一个算式使其结果为24．（2）在我们学过负数及乘方运算以后这个游戏仍可以玩，如﹣2，﹣3，4，5可以列出算式：﹣2×（﹣3﹣4﹣5）＝24．现给出﹣6，4，10，3四个数，请你写出一个算式使其结果为24．【答案】（1）4×（9﹣6）+12=24；（2）（10﹣4）﹣3×（﹣6）=24【分析】（1）根据题目中的信息和要求可以写出一个算式使其结果为24；（2）根据题意可以写出一个算式使其结果为24．【详解】解：（1）4×（9﹣6）+12＝4×3+12＝12+2＝24；（2）（10﹣4）﹣3×（﹣6）＝6+18＝24．【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键．硬面抄（本）软面抄（本）两类本子销售总额（元）星期一1015160星期二1218192星期三1421224星期四162426010﹣312﹣12＝10﹣（﹣312﹣12）①＝10+（﹣3）②＝7③第n枚123456质量69.370.270.869.669.471第n枚123456质量　 　＋0.2　 　﹣0.4　 　＋1星期一星期二星期三星期四星期五0+8+6-2-7