专题1.3整式加减的应用及综合问题11种类型精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期高效复习秘籍（苏科版）

这是一份专题1.3整式加减的应用及综合问题11种类型精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期高效复习秘籍（苏科版），文件包含专题13整式加减的应用及综合问题11种类型精讲精练知识梳理+典例剖析+变式训练-七年级数学上学期复习备考高分秘籍原卷版苏科版docx、专题13整式加减的应用及综合问题11种类型精讲精练知识梳理+典例剖析+变式训练-七年级数学上学期复习备考高分秘籍解析版苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。

【目标导航】

【知识梳理】
2.整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
2.整式加减的常见类型
类型1.整体思想在整式加减中的应用
类型2.代数式求值问题
类型3.整式加减中的无关性问题
类型4.探索规律——数字变化问题
类型5.探索规律——图形变化问题
类型6.整式的应用——面积问题
类型7.整式的应用——销售问题
类型8.整式的应用——方案比较问题
类型9.代数式与数轴综合问题
类型10.代数式与数字综合问题
类型11.与代数式有关的新定义问题
【典例剖析】
【考点1】整体思想在整式加减中的应用
【例1】（2020秋•江苏省清江浦区期中）一位同学一道题：“已知两个多项式A和B，计算2A+B“，他误将2A+B看成A+2B，求得的结果为9x2+2x﹣1，已知B＝x2+3x﹣2．
（1）求多项式A；
（2）请你求出2A+B的正确答案．
【分析】（1）直接利用已知结合整式的加减运算法则得出A即可；
（2）直接利用整式的加减运算法则得出答案．
【解析】（1）∵A+2B＝9x2+2x﹣1，B＝x2+3x﹣2，
∴A＝9x2+2x﹣1﹣2B
＝9x2+2x﹣1﹣2（x2+3x﹣2）
＝9x2+2x﹣1﹣2x2﹣6x+4
＝7x2﹣4x+3；
（2）由（1）得：2A+B＝2（7x2﹣4x+3）+x2+3x﹣2
＝14x2﹣8x+6+x2+3x﹣2
＝15x2﹣5x+4．
【变式1.1】（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室七年级期中）已知A=3a2b−ab2，B=−ab2+3a2b+1．
(1)求A−B；
(2)当a=−2，b=3时，求A−3B的值．
【答案】(1)−1
(2)−111
【分析】（1）通过合并同类项法则将A−B运算即可；
（2）先通过合并同类项将A−3B化简，再将a=−2，b=3代入求值．
【详解】（1）解：A−B=3a2b−ab2−(−ab2+3a2b+1)
=3a2b−ab2+ab2−3a2b−1
=−1；
（2）解：A−3B=3a2b−ab2−3(−ab2+3a2b+1)
=3a2b−ab2+3ab2−9a2b−3
=−6a2b+2ab2−3
当a=−2，b=3时，
A−3B=−6×(−2)2×3+2×(−2)×32−3
=−111．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算以及整式加减运算中的化简求值，掌握合并同类项法则并正确计算是解题的关键．
【变式1.2】（2021·江苏·泰州市姜堰区励才实验学校七年级期中）已知A=3x2−2x+1，A+B=5x2−4x−2．
(1)求B（用含x的代数式表示）
(2)比较A与B的大小．
【答案】(1)2x2−2x−3
(2)A>B
【分析】（1）把A=3x2−2x+1代入A+B=5x2−4x−2中并化简，求出B的代数式；
（2）计算出A−B=x2+4，即可比较．
【详解】（1）解：∵A=3x2−2x+1，A+B=5x2−4x−2，
∴B=A+B−A
=5x2−4x−2−(3x2−2x+1)
=2x2−2x−3；
（2）∵A=3x2−2x+1，B=2x2−2x−3，
∴A−B=3x2−2x+1−(2x2−2x−3)
=x2+4>0，
∴A>B．
【点睛】本题考查了整式的加减，正确去括号、合并同类项是解题的关键．
【变式1.3】（2022·江苏·宿迁经济技术开发区厦门路实验学校七年级期中）思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，例如，我们可以将(a+b)看成一个整体，则2(a+b)+3(a+b)−(a+b)=(2+3−1)(a+b)=4(a+b)，请根据上面的提示和范例，解决下面问题：
(1)把x−y2看成一个整体，求将2x−y2−5x−y2+x−y2合并的结果；
(2)已知3m3+32n2=3，求6m2+3n2−5的值；
【答案】(1)−2(x−y)2；
(2)1．
【分析】（1）仿照文中所给的例子解答即可；
（2）根据3m3+32n2=3，求出6m3+3n2=6，即可求出6m2+3n2−5=6−5=1．
【详解】（1）解：2x−y2−5x−y2+x−y2
=2−5+1x−y2
=−2x−y2．
（2）解：∵3m3+32n2=3，
∴6m3+3n2=6，
∴6m2+3n2−5=6−5=1．
【点睛】本题考查整体代入的思想，整式的混合运算法则，已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是理解整体代入的思想．
【考点2】代数式求值问题
【例2】（2020秋•江苏省崇川区校级期中）（1）当a＝2，b＝1时，求两个代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值；
（2）当a＝5，b＝﹣3时，再求以上两个代数式的值；
（3）你能从上面的计算结果中，发现什么结论？
（4）利用你发现的结论，求：20202﹣2×2020×2021+20212的值．
【分析】（1）将a、b的值代入求得结果；
（2）将a、b的值代入求得结果；
（3）根据前两问中代数式的求值可得两个代数式相等；
（4）此小题只需根据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，将20202﹣2×2020×2021+20212变形为（a﹣b）2的形式简便计算．
【解析】（1）当a＝﹣2，b＝1时，
a2﹣2ab+b2＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）×1+12＝9；
（a﹣b）2＝（﹣2﹣1）2＝9；
（2）当a＝5，b＝﹣3时，
（a﹣b）2＝[5﹣（﹣3）]2＝64；
a2﹣2ab+b2＝52﹣2×5×（﹣3）+（﹣3）2＝64；
（3）结论：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2或a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
（4）20202﹣2×2020×2021+20212
＝（2020﹣2021）2
＝（﹣1）2
＝1．
【变式2.1】（2022·江苏·鼓楼实验中学七年级期中）（1）已知m=1+2n，求代数式7m−14n的值；
（2）已知m−2n=1，求代数式3+7m−9n+5m−n的值．
【答案】（1）7；（2）5
【分析】（1）根据m=1+2n，可得m−2n=1，再代入，即可求解；
（2）先把原式化简，再把m−2n=1代入，即可求解．
【详解】解：（1）∵m=1+2n，
∴m−2n=1，
∴7m−14n=7m−2n=7×1=7；
（2）原式=3+7m−9n+5m−5n
=3+7m−4n+5m
=3+7m−4n−5m
=2m−4n+3
∵m−2n=1，
∴2m−4n=2m−2n=2，
∴原式=2+3=5．
【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算中的化简求值，利用整体代入思想解答是解题的关键．
【变式2.2】（2022·江苏·淮安市淮海初级中学七年级阶段练习）求代数式的值：
(1)3x2y−5xy2+3xy2+7x2y−2xy，其中x、y满足x+2+y−12=0．
(2)5(a+b)2−(a−b)+3(a+b)2−4(a−b)−6(a+b)2，其中a+b=5，a−b=−2．
【答案】(1)10x2y−2xy2−2xy，48
(2)2a+b2−5a−b，60
【分析】（1）根据合并同类项化简代数式，根据非负数的性质求得x,y的值，代入即可求解；
（2）将a+b,a−b看做整体，然后根据整式的加减进行化简，最后将a+b=5，a−b=−2代入计算即可求解．
【详解】（1）解：原式=10x2y−2xy2−2xy，
∵x+2+y−12=0，
∴x+2=0y−1=0，
解得x=−2y=1，
∴原式=10×4×1+2×2×1+2×2×1=48．
（2）原式=5(a+b)2+3(a+b)2−6(a+b)2−(a−b)+4(a−b)
=2(a+b)2−5(a−b)，
当a+b=5，a−b=−2时，
原式=2×52−5×（−2）=60．
【点睛】本题考查了整式的加减以及化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
【变式2.3】（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校七年级期中）已知有下列3个代数式：①a2+b2；②a+b2−2ab；③a−b2+2ab．
(1)当a=2，b=−1时，从①、②或①、③选一组代数式，求所选的两个代数式的值；
(2)再选一组你喜欢的a，b的值，求所选的两个代数式的值：通过计算你发现所选两个代数式的关系是：______；
(3)已知x+y2=9，x−y2=1，xy=2，根据（2）中发现的结论，求x2+y2的值．
【答案】(1)①、②；两个代数式的值为5，5
(2)a2+b2=(a+b)2−2ab
(3)5
【分析】（1）直接选取一组将a=2，b=−1代入计算即可；
（2）任选a，b的值代入计算即可；
（3）由（2）中结论作答即可．
【详解】（1）选①、②：
①a2+b2=22+−12=5，
②a+b2−2ab=2−12−2×2×−1=1+4=5；
选①、③：
①a2+b2=22+−12=5，
③a−b2+2ab=2+12+2×2×−1=9−4=5．
（2）当a=1，b=1时，
选①、②：
①a2+b2=12+12=2，
②a+b2−2ab=1+12−2×1×1=4−2=2，
即a2+b2=(a+b)2−2ab，
故答案为a2+b2=(a+b)2−2ab；
选①、③：
①a2+b2=12+12=2，
③a−b2+2ab=1−12+2×1×1=0+2=2，
即a2+b2=(a−b)2+2ab，
故答案为a2+b2=(a−b)2+2ab．
（3）x+y2=9，x−y2=1，xy=2，
选①、②：
x2+y2=x+y2−2xy=9−2×2=5；
选①、③：
x2+y2=x−y2+2xy=1+2×2=5．
【点睛】本题考查了代入求值，解题的关键是能够通过计算得到a2+b2=(a+b)2−2ab或a2+b2=(a−b)2+2ab．
【考点3】整式加减中的无关性问题
【例3】（2021秋•长丰县期中）李老师写出了一个整式（ax2+bx﹣2）﹣（5x2+3x），其中a、b为常数，且表示为系数，然后让同学赋予a、b
不同的数值进行计算．
（1）甲同学给出了a＝6、b＝﹣2，请按照甲同学给出的数值化简整式；
（2）乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为3x2﹣2x﹣2，求乙同学给出的a、b的值；
（3）丙同学给出了一组数据，计算的最后结果与x的取值无关，请求出丙同学的计算结果．
【分析】（1）把相应的值代入运算即可；
（2）先把原整式进行整理，再结合其结果进行分析即可；
（3）结果与x的取值无关，则相应的系数为0，据此进行作答即可．
【解答】解：（1）由题意得：
（6x2﹣2x﹣2）﹣（5x2+3x）
＝6x2﹣2x﹣2﹣5x2﹣3x
＝x2﹣5x﹣2；
（2）（ax2+bx﹣2）﹣（5x2+3x）
＝ax2+bx﹣2﹣5x2﹣3x
＝（a﹣5）x2+（b﹣3）x﹣2，
∵其结果为3x2﹣2x﹣2，
∴a﹣5＝3，b﹣3＝﹣2，
解得：a＝8，b＝1；
（3）（ax2+bx﹣2）﹣（5x2+3x）
＝ax2+bx﹣2﹣5x2﹣3x
＝（a﹣5）x2+（b﹣3）x﹣2，
∵结果与x的取值无关，
∴原式＝﹣2．
【变式3.1】（2022·江苏·宿迁经济技术开发区厦门路实验学校七年级期中）已知A=−3a2−6a，B=−a2+ab+1，
(1)求A−3B；
(2)若A−3B的值与a的取值无关，求b的值．
【答案】(1)−6a−3ab−3；
(2)b=−2．
【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则，去括号、合并同类项化简得出答案；
（2）根据A−3B的值与a的取值无关，得出a的系数为零，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵A=−3a2−6a，B=−a2+ab+1，
∴A−3B=−3a2−6a−3−a2+ab+1=−3a2−6a+3a2−3ab−3=−6a−3ab−3 ．
（2）解：∵A−3B的值与a的取值无关，
∴−6a−3ab−3=−3a2+b−3中2+b=0，即b=−2．
【点睛】本题考查了整式的加减，以及整式加减中的无关型问题，解答本题的关键是掌握整式的加减混合运算法则，以及整式无关型问题．
【变式3.2】（2021·江苏·连云港市新海实验中学七年级期中）已知A=2x2−4ax+3，B=−7x2+8x−1，按要求完成下列各小题：
(1)若A+B的结果中不存在含x的一次项，求a的值；
(2)当a=−2时，先化简A−B再代入求值，其中x=−1．
【答案】(1)a=2
(2)9x2+4，13
【分析】（1）根据整式的加减计算A+B，化简后根据一次项系数为0，求得a的值；
（2）将a=−2,代入到A−B的化简结果中，然后代入x=−1即可求解．
【详解】（1）解：∵A=2x2−4ax+3，B=−7x2+8x−1，
∴A+B =2x2−4ax+3+−7x2+8x−1
=2x2−4ax+3−7x2+8x−1
=−5x2+8−4ax+2，
∵A+B的结果中不存在含x的一次项，
∴8−4a=0，
解得a=2；
（2）解：∵A=2x2−4ax+3，B=−7x2+8x−1，
∴A−B=2x2−4ax+3−−7x2+8x−1
=2x2−4ax+3+7x2−8x+1
=9x2−4a+8x+4，
∵a=−2，
∴A−B=9x2+4，
当x=−1时，A−B=9×−12+4=13．
【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的计算是解题的关键．
【变式3.3】（2018·江苏盐城·七年级期中）如果关于x、y的代数式2x2+ax−y+6−2bx2−3x+5y−1的值与字母x所取的值无关，试化简代数式a3−2b2−214a3−3b2，再求值．
【答案】12a3+4b2，−192．
【分析】对关于x、y的代数式去括号，合并同类项，化简后根据其值与字母x所取的值无关列式求出a，b的值，然后对所求代数式去括号，合并同类项，化简后把a、b的值代入计算即可．
【详解】解：2x2+ax−y+6−2bx2−3x+5y−1
=2x2+ax−y+6−2bx2+3x−5y+1
=2−2bx2+a+3x−6y+7，
∵代数式2x2+ax−y+6−2bx2−3x+5y−1的值与字母x所取的值无关，
∴2−2b＝0，a＋3＝0，
解得：b＝1，a＝−3，
a3−2b2−214a3−3b2
=a3−2b2−12a3+6b2
=12a3+4b2；
当b＝1，a＝−3时，原式=12×−33+4×12=−272+4=−192．
【点睛】此题主要考查了整式的加减−−化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
【考点4】探索规律——数字变化问题
【例4】（2020春•扬中市期中）观察下列式子，11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，……
（1）用正整数n表示这个规律，并加以证明；
（2）设F(n)=11×2+12×3+⋯1n×(n+1)，解决下列问题：
①F（10）＝ ；
②求证：F(1)+F(2)22+F(3)32+⋯+F(n)n2=F(n)．
【分析】（1）根据题目中式子的特点，可以用含n的代数式表示这一规律，并加以证明；
（2）①将n＝10代入给出式子，然后计算即可解答本题；
②先对等号左边的式子化简，整理即可证明结论成立．
【解答】（1）用正整数n表示这个规律是：1n(n+1)=1n−1n+1，
证明：∵左边=1n(n+1)=n+1−nn(n+1)=n+1n(n+1)−nn(n+1)=1n−1n+1=右边，
∴1n(n+1)=1n−1n+1成立；
（2）①F（10）
=11×2+12×3+⋯+110×11
=1−12+12−13+⋯+110−111
＝1−111
=1011，
故答案为：1011；
②证明：∵F（1）+F(2)22+F(3)32+⋯+F(n)n2
=11×2+2322+3432+⋯+nn+1n2
=11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)
＝F（n），
∴F(1)+F(2)22+F(3)32+⋯+F(n)n2=F(n)成立．
【变式4.1】（2022·江苏无锡·七年级期中）式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为n=1100n，这里“∑”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为n=150(2n−1)，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示为n=110n3．
(1)把n=16n2写成加法的形式是______；
(2)“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为______；
(3)计算：n=12022(1nn+1)．
【答案】(1)12+22+32+42+52+62
(2)n=1502n
(3)nn+1
【分析】（1）根据题意变形即可；
（2）根据新定义即可得到结果；
（3）利用新定义变形后，计算即可得到结果．
【详解】（1）n=16n2=12+22+32+42+52+62，
故答案为：12+22+32+42+52+62；
（2）2+4+6+8+…+100=n=1502n，
（3）n=12022(1nn+1)
=11×2+12×3+13×4+...+1nn+1
=1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
【点睛】此题考查了数字变化类，有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式4.2】（2022·江苏·靖江市靖城中学七年级阶段练习）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：
加数n的个数 和（S）
1————————→2=1×2
2———————→2+4=6=2×3
3———————→2+4+6=12=3×4
4——————→2+4+6+8=20=4×5
5—————→2+4+6+8+10=30=5×6
(1)这个规律，当n=6时，和为____________；
(2)从2开始，n个连续偶数相加，它们的和S____________；（用含有n的式子表示）
(3)应用上述公式计算：
①2+4+6+⋯+200；
②202+204+206+⋯+300．
【答案】(1)42；
(2)n(n+1)；
(3)①10100；②12550．
【分析】（1）根据规律当n=6时，表示从2开始，6个连续偶数相加，进行计算即可；
（2）根据前面几项的规律，归纳猜想：从2开始，n个连续偶数相加的和为n(n+1)；
（3）①根据（2）中结论，2+4+6+⋯+200表示n=100时的它们的和；②所求式子可表示为前150项连续偶数的和减去前100项连续偶数的和，进行计算即可．
【详解】（1）解：当n=6时，和为：2+4+6+8+10+12=6×7=42；
故答案为：42；
（2）解：从2开始，n个连续偶数相加，它们的和为：
S=2+4+6+⋯+2n=n(n+1)；
故答案为：n(n+1)；
（3）解：①∵式子2+4+6+⋯+200，从2开始，有100个连续偶数相加，
∴2+4+6+⋯+200=100×101=10100；
②∵2+4+6+⋯+300=150×151=22650，
2+4+6+⋯+200=100×101=10100
∴ 202+204+206+⋯+300
=(2+4+6+⋯+300)−(2+4+6+⋯+200)
=22650−10100
=12550．
【点睛】此题考查了整式的求和规律探索，熟练掌握运用归纳法得出一般性结论，然后运用得到的结论解决一些简单的问题，是解答此题的关键．
【变式4.3】（2022·江苏连云港·七年级期中）代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格：
【初步感知】
(1)根据表中信息可知：a=___________；b=___________．
【归纳规律】
(2)表中−x−2的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，−x−2的值就减少1．类似地，2x+1的值随着x的变化而变化的规律是：___________；
(3)观察表格，下列说法错误的有___________（填序号）；
①当x=−1时，−x−2=2x−1；
②当x=−2时，2x+1=22x−2；
③当x=1时，−x−2+2x+1=2x−2；
④当x>0时，−x−2<2x−2．
【应用迁移】
(4)若已知2x+1的值总是大于2x−2的值，请直接写出x的取值范围．
【答案】(1)−4，−2
(2)x的值每增加1，2x+1的值就增加2
(3)①②
(4)x≥1．
【分析】（1）根据表中的规律进行求解即可；
（2）根据2x+1的变化规律进行描述即可；
（3）结合表格进行分析即可得出结果；
（4）观察表格中的数据，从而可求解．
【详解】（1）解：当x=2时，−x−2=−2−2=−4，
故a=−4；
当x=0时，2x−2=2×0−2=−2，
故b=−2，
故答案为：−4，−2；
（2）解：2x+1的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，2x+1的值就增加2；
故答案为：x的值每增加1，2x+1的值就增加2；
（3）解：①当x=−1时，−x−2=1−2=−1；2x−1=−2−1=−3；①说法错误；
②当x=−2时，2x+1=−4+1=−3；22x−2=2−4−2=−12；②说法错误；
③当x=1时，−x−2+2x+1=−1−2+2+1=0；2x−2=2−2=0；③说法正确；
④由−x−2<2x−2得−3x<0，则x>0；④说法正确；
故答案为：①②；
（4）观察表格得，当x≥1时，2x+1的值总是大于2x−2的值．
【点睛】本题主要考查代数式求值，解答的关键是对分析清楚所给的数列之间的关系．
【考点5】探索规律——图形变化问题
【例5】（2021秋•海州区期中）下面是一组有规律的图案：
（1）第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由 7 个基础图形组成，…，第10个图案由 31 个基础图形组成．
（2）第n个图案由 （3n+1） 个基础图形组成（用含n的代数式表示）．
（3）在上面的图案中，能否找得到一个由2020个基础图形组成的图案？如果能，说明是第几个图案；如果不能，说明理由．
【分析】（1）根据图（1）、图（2）、图（3）的基础图形个数进行归纳总结，寻找规律，即可；
（2）找到规律，即可写出表达式；
（3）能，因为第n个图形有3n+1个基础图形构成，把2020代入，即可得3n+1＝2020，解方程得n的整数解．
【解答】解：（1）由图形得出，第二个图形有7个基础图形组成，第10个图形有31个基础图形组成．
故答案为：7，31；
（2）通过（1）的结论寻找规律为，第n个图形有（3n+1）个基础图形组成．
故答案为：（3n+1）；
（3）能，
由（2）的结论推出第n个图案由3n+1个基础图形组成，列方程得：3n+1＝2020，
解得：n＝673，
所以能找到一个有2020个基础图形组成的图案．
【变式5.1】（2021·江苏·泰州市姜堰区励才实验学校七年级期中）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面．
(1)第1个图案用了 ___________块灰色的瓷砖，第2个图案用了 ___________块灰色的瓷砖，第3个图案用了 ___________块灰色的瓷砖；
(2)第1个图案用了 ___________块白色的瓷砖，第2个图案用了 ___________块白色的瓷砖，第3个图案用了 ___________块白色的瓷砖；
(3)第n个图案中灰色瓷砖和白色瓷砖共用了多少块？
【答案】(1)4，6，8
(2)5，8，11
(3)(5n+4)块
【分析】（1）根据所给的图案进行求解即可；
（2）根据所给的图案进行求解即可；
（3）不难看出每增加一个图案，则灰色瓷砖增加2块，白色瓷砖增加3块，据此可求解．
【详解】（1）解：由题意得：第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案用了6块灰色的瓷砖，第3个图案用了8块灰色的瓷砖；
故答案为：4，6，8；
（2）第1个图案用了5块白色的瓷砖，第2个图案用了8块白色的瓷砖，第3个图案用了11块白色的瓷砖；
故答案为：5，8，11；
（3）由题意得：第n个图案中灰色瓷砖的数量为：4+2(n−1)=(2n+2)块，
第n个图案中白色瓷砖的数量为：5+3(n−1)=(3n+2)块，
则一共所用的瓷砖为：2n+2+3n+2=(5n+4)块．
答：第n个图案中灰色瓷砖和白色瓷砖共用了(5n+4)块．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
【变式5.2】（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）用同样大小的两种正方形纸片，按下图方式拼正方形．
(1)图3中共有1+3+5=9个小正方形，图4中共有1+3+5+ =16个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有1+3+5+⋯+ = 个小正方形；
(2)以此类推，图n中（未画出）共有1+3+5+⋯+ = 个小正方形；
(3)借助以上结论计算：1+3+5+⋯+1999．
【答案】(1)7,19,100
(2)2n−1,n2
(3)106
【分析】（1）观察图形根据已知图形得出第2个图形比第1个图形多：4−1=3个；第3个图形比第2个图形多：9−4=5个；第4个图形比第3个图形多：16−9=7个；即可得出后面一个图形比第前个图形多的个数是连续奇数，即可求解；
（2）根据（1）的规律，写出式子即可求解．
（3）根据（2）的结论进行计算即可求解．
【详解】（1）图3中共有1+3+5=9个小正方形，图4中共有1+3+5+7=16个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有1+3+5+⋯+19=100个小正方形；
故答案为：7,19,100；
（2）∵第2个图形比第1个图形多：4−1=3个；
第3个图形比第2个图形多：9−4=5个；
第4个图形比第3个图形多：16−9=7个；
∴第n个图形比第n−1个图形多：2n−1个；第n个图中有n2个小正方形，
此类推，图n中（未画出）共有1+3+5+⋯+2n−1=n2个小正方形
故答案为：2n−1,n2；
（3）解：∵1999=2×1000−1，
∴1+3+5+⋯+1999 =10002=106
【点睛】本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键．
【变式5.3】（2022·江苏镇江·七年级期中）下列是用火柴棒拼出的一列图形．
(1)第5个图中共有___________根火柴；
(2)第n个图形中共有多少根火柴（用含n的式子表示）．
(3)若f(n)=2n−1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），则f(1)+f(2)+⋯+f(2022)2022=___________．
【答案】(1)21
(2)4n+1
(3)2022
【分析】（1）观察发现得到规律，即可求得总数；
（2）根据以上规律即可得；
（3）利用高斯求和方法计算可得．
【详解】（1）解：根据图案可知，
第1个图案中有4×1+1=5根火柴，
第2个图案中有4×2+1=9根火柴，
第3个图案中有4×3+1=13根火柴，
第4个图案中有4×4+1=17根火柴，
∴第5个图案中火柴有4×5+1=21根火柴，
故答案为：21；
（2）解：由（1）的规律得，所以第n个图形中火柴有4n+1；
（3）解：∵f(1)=2×1−1=1，
f(2)=2×2−1=3，
f(3)=2×3−1=5，
……
f(2022)=2×2022−1=4043，
∴f(1)+f(2)+⋯+f(2022)2022
=1+3+5+7+⋯+40432022
=(1+4043)×20222×2022
=2022．
【点睛】本题主要考查图形的规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
【考点6】整式的应用——面积问题
【例6】2021秋•姜堰区期中）如图，已知长方形ABCD的宽AB＝4，以B为圆心，AB长为半径画弧与边BC交于点E，连接DE．若CE＝x．（计算结果保留π）
（1）用含x的代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）当x＝4时，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据阴影部分的面积＝长方形的面积﹣扇形的面积﹣三角形的面积即列出代数式；
（2）把x＝4代入代数式求值即可．
【解答】解：（1）4（4+x）﹣π×42﹣×4x
＝16+4x﹣4π﹣2x
＝16+2x﹣4π；
（2）当x＝4时，
16+2x﹣4π
＝16+8﹣4π
＝24﹣4π．
【变式6.1】（2022·江苏·鼓楼实验中学七年级期中）我国“华为”公司是世界通讯领城的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其中大圆的半径为r，中间小圆的半径为12r，4个半径为15r的高清圆形镜头分布在两圆之间．
(1)请用含r的式子表示图中阴影部分的面积；
(2)当r=2cm时，求图中阴影部分的面积（π取3）．
【答案】(1)59100πr2
(2)17725cm2
【分析】（1）阴影部分面积为大圆面积减去中间圆的面积再减去四个高清圆形镜头的面积即可得出答案．
（2）由第一问得出代数式直接代数求值即可．
【详解】（1）解：阴影面积：πr2−π⋅12r2−4⋅π⋅r52
=πr2−14πr2−425×r2
=59100πr2．
（2）（2）当r＝2cm，π取3时
原式=59100×3×4=17725cm2．
【点睛】本题主要考查圆环的面积，读懂题意和掌握圆形的面积公式是解决本题的关键．
【变式6.2】（2022·江苏徐州·七年级期中）小颖家买了一套新房，他准备将地面铺上地砖，地面机构如图所示，根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
(1)客厅的面积是______m2．
(2)用含x、y的式子表示这套房子的总面积（写出必要的过程，结果保留最简形式）；
(3)当x=3.6,y=2时，若铺1m2地砖的平均费用为100元，那么铺地砖的总费用是多少元?
【答案】(1)5xy
(2)(5xy+18y) m2
(3)7200元
【分析】（1）根据图示利用矩形的面积公式即可得；
（2）分别计算出卧室、卫生间、厨房、客厅的面积 ，然后相加即可得；
（3）代入具体数值求出总面积，再乘以费用即可．
【详解】（1）解：根据题意得：客厅的面积是5xy m2；
故答案为：5xy；
（2）解：根据题意可得，卧室面积为3y×(2+2)=12y m2，
卫生间面积为2y m2，
厨房面积为2(5y−3y)=4y m2，
所以总面积为5xy+12y+2y+4y=(5xy+18y) m2；
（3）解：当x=3.6,y=2时，
总面积为5xy+18y=5×3.6×2+18×2=72 m2，
所以总费用是72×100=7200元，
答：铺地砖的总费用是7200元．
【点睛】本题主要考查了列代数式以及代数式求值的知识，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
【变式6.3】（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）小红家新买了一套商品房，其平面图如图所示（单位：米）
(1)这套住房的总面积是_____________平方米；（用含a，b的代数式表示）
(2)经测量，a=5，b=4．在地面装修前，小红家对两个公司进行了咨询，两个公司按要求分别给出了装修方案（两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完金一致）．
甲公司：客厅地面每平方米200元，书房和卧室地面每平方米300元，厨房和卫生间地面每平方米100元；
乙公司：全屋地面每平方米折合均价为220元．
请你帮助小红家测算一下选择哪个公司比较合算，请说明理由．
【答案】(1)(10a+5b+15)
(2)选择乙公司比较合算．理由见解析
【分析】（1）根据图形，可以用代数式表示这套住房的建筑总面积；
（2）根据住房的面积×每平方米的单价计算出甲公司和乙公司的钱数，即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意可得：这套住房的建筑总面积是：
(2+4+4)×a+5b+(3+2)×(4−1)=(10a+5b+15)平方米，
即这套住房的建筑总面积是(10a+5b+15)平方米．
故答案为：(10a+5b+15)；
（2）解：选择乙公司比较合算．理由如下：
当a=5，b=4时，
甲公司的总费用：
4a×200+(4a+5b+3×3)×300+(2a+2×3)×100
=800a+1200a+1500b+2700+200a+600
=2200a+1500b+3300
=2200×5+1500×4+3300
=20300（元），
乙公司的总费用：
(10a+5b+15)×220
=(10×5+5×4+15)×220
=18700（元），
∵20300>18700，
所以选择乙公司比较合算．
【点睛】本题考查了列代数式、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的代数式的值．
【考点7】整式的应用——销售问题
【例7】（2019秋•江苏省姜堰区期末）学校体育室有两个球筐，已知甲筐内的球比乙筐内球的个数的2倍还多6只．现进行如下操作：第一次，从甲筐中取出一半放入乙筐；第二次，又从甲筐中取出若干只球放入乙筐．设乙筐内原来有a只球．
（1）第一次操作后，乙筐内球的个数为 只；（用含a的代数式表示）
（2）若第一次操作后乙筐内球的个数比甲筐内球的个数多10只，求a的值；
（3）第二次操作后，乙筐内球的个数可能是甲筐内球个数的2倍吗？请说明理由．
【分析】（1）先用含有a的代数式表示出甲筐内的球数，再求出它的一半加上a即可得到乙筐内球的个数；
（2）根据题意列出关于a的方程求解即可；
（3）设第二次操作从甲筐取出n个球放入乙筐，列出方程求解即可．
【解析】（1）设乙筐内原来有a只球，则甲筐内的球的个数为（2a+6）只，
∴甲筐球数的一半为（a+3）只，
∴从甲筐中取出一半放入乙筐后，乙筐内的球数为：a+（a+3）＝（2a+3）只；
（2）第一次操作后甲筐内的球的个数为：（2a+6）÷2＝a+3，乙筐内的球数为（2a+3）只，
根据题意得，（2a+3）﹣（a+3）＝10，
解得，a＝10；
（3）可能，理由如下：
设第二次操作从甲筐取出n只球放入乙筐，则此时甲筐内的球数为a+3﹣n，乙筐的只数为2a+3+n，
且2（a+3﹣n）＝2a+3+n，
解得，n＝1，
∴第二次从甲筐中取出1只球放入乙筐后，乙筐内球的个数是甲筐内球个数的2倍．
【变式7.1】（2022·江苏·常州外国语学校七年级期中）某土特产公司组织10辆汽车装运甲、乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
(1)装运乙种土特产的车辆数为 （用含有x的式子表示）；
(2)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有x的式子表示并化简）；
(3)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x的式子表示并化简），当x=6时的总利润是多少元？
【答案】(1)10−x
(2)2x+20吨
(3)总利润220x+1800元，3120元
【分析】（1）根据“装运乙种土特产的车辆数=总汽车辆数10−装运甲种土特产的车辆数”列式表达便可；
（2）根据“装运甲种土特产的每辆车运载重量×装运甲种土特产的车辆数+装运乙种土特产的每辆车运载重量×装运乙种土特产的车辆数=10辆汽车共装运土特产的数量”列出代数式并化简便可；
（3）根据“甲种土特产每吨利润×甲种土特产的总吨数+乙种土特产每吨利润×乙种土特产的总吨数=总利润”列出代数式，并化简便可．
【详解】（1）解：由题意得， 装运乙种土特产的车辆数为：10−x（辆），
故答案为：10−x；
（2）根据题意得，4x+210−x=4x+20−2x=2x+20；
∴这10辆汽车共装运土特产的数量为2x+20吨；
（3）根据题意得，100×4x+90×210−x=400x+1800−180x=220x+1800；
∴销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为220x+1800元．
当x=6时，总利润为：220x+1800=1320+1800=3120（元）.
【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值和整式的加减应用，正确理解各种数量关系之间的运算关系是列代数式的关键所在．
【变式7.2】（2021·江苏镇江·七年级期中）小明的爸爸以每件m元的成本价购进了30件甲种商品，以每件n元的成本价购进了40件乙种商品，且m>n．
（1）在销售前小明的爸爸经市场调查发现，甲种商品比较畅销供不应求，乙种商品基本没人问津．为了尽快减少库存，但又不能亏本，小明的爸爸决定将甲种商品按成本价提高40%后标价出售；乙种商品按成本价的七折出售，则甲种商品的每件售价可表示为______（用含m的代数式表示），乙种商品的每件售价可表示为______（用含n的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，将甲、乙商品全部售出，用含m、n的代数式表示小明爸爸的获利；
（3）若小明的爸爸将两种商品都以m+n2的平均价格一次打包全部出售，请判断他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由．
【答案】（1）1.4m，0.7n；（2）12m−12n；（3）赚钱，理由见解析
【分析】（1）根据甲种商品按成本价提高40%后标价出售；乙种商品按成本价的七折出售解答即可；
（2）根据总销售额减去总成本即可得出总获利；
（3）利用已知表示出总销售额减去总成本，判断正负即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意得：甲种商品的每件售价为：(1+40％)m=1.4m，
乙种商品的每件售价为：0.7n，
故答案为：1.4m，0.7n；
（2）由题意得：1.4m×30+0.7n×40−30m−40n=12m−12n，
故总获利为：12m−12n；
（3）根据题意，这次买卖的利润为：m+n2×70−30m−40n=5(m−n)，
∵m>n，
∴m−n>0，
∴5(m−n)>0，
∴这次买卖是赚钱．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减运算，正确表示出获利是解题的关键．
【变式7.3】（2021·江苏南京·七年级期中）某水果经销户从水果市场批发了苹果和桔子共100千克，苹果和桔子当天的批发价、零售价如下表：
（1）若经销户分别批发了60 kg苹果和40 kg桔子，那么当天卖完这些苹果和桔子该经销户能盈利 元．
（2）若经销户批发了m kg苹果，当天卖完这些苹果和桔子经销户能盈利多少元？（用含m的代数式表示，要求化简）
【答案】（1）336；（2）0.6m＋300．
【分析】（1）根据题意可得利润为60×（8.8－5.2）＋40×（6.2－3.2），进而计算即可求得答案；
（2）根据题意可得利润为m·（8.8－5.2）＋（100－m）×（6.2－3.2），进而化简即可求得答案．
【详解】解：（1）根据题意可得：
60×（8.8－5.2）＋40×（6.2－3.2）
＝60×3.6＋40×3
＝216＋120
＝336（元），
故答案为：336 ；
（2）根据题意可得：
m·（8.8－5.2）＋（100－m）×（6.2－3.2）
＝3.6m＋3(100－m)
＝3.6m＋300－3m
＝0.6m＋300．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及整式加减的实际应用，熟练掌握整式加减的运算法则是解决本题的关键．
【考点8】整式的应用——方案比较问题
【例8】（2019秋•江苏省玄武区期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）：
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小刚家用电量最多的是 五 月份，实际用电量为 236 度；
（2）小刚家一月份应交纳电费 85 元；
（3）若小刚家七月份用电量为x度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含x的代数式表示）．
【分析】（1）根据表格中的数据可以解答本题；
（2）根据表格中的数据和题意，可以计算出小刚家一月份应交纳电费；
（3）根据表格中的数据，可以用分类讨论的方法用相应的代数式表示出小刚家七月份应交纳的电费．
【解析】（1）由表格可知，
五月份用电量最多，实际用电量为：200+36＝236（度），
故答案为：五，236；
（2）小刚家一月份用电：200+（﹣50）＝150（度），
小刚家一月份应交纳电费：0.5×50+（150﹣50）×0.6＝25+60＝85（元），
故答案为：85；
（3）当0＜x≤50时，电费为0.5x元；
当50＜x≤200时，电费为0.5×50+（x﹣50）×0.6＝25+0.6x﹣30＝（0.6x﹣5）元；
当x＞200时，电费为0.5×50+0.6×150+（x﹣200）×0.8
＝25+90+0.8x﹣160
＝（0.8x﹣45）元．
【变式8.1】（2021·江苏·靖江市靖城中学七年级期中）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝32，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝32时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【答案】（1）(16000+200x)，(18000+180x)；（2）方案一合算；（3）先按方案一购买20套西装并获赠20条领带，再按方案二购买12条领带，则需22160元.
【分析】（1）方案①付费为：20套西装的价钱+ (x−20)条领带的钱；方案②付费为：(20套西装的钱+x条领带的钱)×0.9；
（2）将x=32代入（1）中的代数式，分别计算即可；
（3）只买20套西装按方案①付费，剩下的领带按9折付费．
【详解】解：（1）方案①付费为：20×1000+(x−20)×200=16000+200x，
方案②付费为：(20×1000+200x)×0.9=18000+180x，
故答案为：(16000+200x)，(18000+180x)；
（2）若x=32，则方案①付费为：16000+200x=16000+200×32=22400元，
方案②付费为：18000+180x=18000+180×32=23760元，
∵22400<23760，
∴则方案①购买较合算；
（3）只买20套西装按方案①付费，得到获赠的20条领带，剩下的领带按9折付费，
总费用为：20×1000+(32−20)×200×0.9=22160元．
【点睛】本题考查了列代数式以及代数式求值，得到所给方案计算的等量关系是解决本题的关键．
【变式8.2】（2021·江苏南京·七年级期中）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价900元，电磁炉每台定价300元．“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉2台，电磁炉x台(x＞2)．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元 (用含x的代数式表示) ．
若该客户按方案二购买，需付款 元 (用含x的代数式表示) ．
（2）若x＝6时，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?
（3）当x＝6时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出购买方案，并计算需要付款多少元?
【答案】（1）（300x+1200），（240x+1440）；（2）按方案二购买较合算；（3）先按方案一购买2台微波炉送2台电磁炉，再按方案二购买4台电磁炉，共2760元．
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x=6代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买2台微波炉再送2台电磁炉，再按方案二购买3台电磁炉更合算．
【详解】解：（1）方案一：900×2+300x−2=300x+1200 ，
方案二：900×80%×2+300x×80%=240x+1440 ；
故答案为：（300x+1200），（240x+1440）；
（2）当x=6时，方案一：300×6+1200=3000（元），
方案二：240×6+1440=2880（元），
按方案二购买较合算；
（3）先按方案一购买2台微波炉送2台电磁炉，再按方案二购买4台电磁炉，
共2×900+300×4×80%=2760（元）．
【点睛】本题考查了列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．
【变式8.3】（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室七年级期中）某物流公司配送防疫物资，甲、乙两仓库分别有防疫物资35箱和45箱，A、B两地分别需要防疫物资20箱和60箱．已知从甲、乙仓库到A、B两地的运价如表：
(1)若从甲仓库运到A地的防疫物资为x箱，则用含x的代数式表示：从甲仓库运到B地的防疫物资为______________箱，从乙仓库将防疫物资运到B地的防疫物资为___________箱；
(2)求把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A、B两地的总运输费（用含x的代数式表示并化简）；
(3)从物流公司少花钱角度考虑，希望从乙仓库运到A地的防疫物资为__________箱时，总运输费最少，此时总运输费为____________元．
【答案】(1)35−x；25+x
(2)2x+845（元）
(3)20，845
【分析】（1）根据题意列出代数式即可求解；
（2）先求得乙仓库将防疫物资运到A地的防疫物资为20−x箱，根据表格数据，得出代数式，根据整式的加减进行计算即可求解；
（3）根据（2）的结论，可知当x=0时，总费用最小，进而即可求解．
【详解】（1）从甲仓库运到A地的防疫物资为x箱，从甲仓库运到B地的防疫物资为35−x箱，则从乙仓库将防疫物资运到B地的防疫物资为60−35−x=25+x箱
故答案为：35−x；25+x
（2）∵甲仓库运到A地的防疫物资为x箱，，
∴乙仓库将防疫物资运到A地的防疫物资为20−x箱
根据题意，把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A、B两地的总运输费为：15×x+35−x×12+20−x×10+25+x×9
=15x+420−12x+200−10x+225+9x
=2x+845（元）
（3）∵总费用为2x+845，当x=0时，2x+845最小，即最小费用为845，
当x=0时，从乙仓库运到A地的防疫物资为20−x=20箱，
故答案为：20，845．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，代数式求值，理解题意，列出代数式是解题的关键．
【考点9】代数式与数轴综合问题
【例9】（2021秋•沭阳县期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是 4 ；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 5 ．
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 |x﹣6| ；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 |x+3| ．若|x+3|＝4，则x＝ 1或﹣7 ．
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝ 5 ．
（4）若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为 ﹣1或0或1或2或3； .则满足条件的所有整数x的和为 5 ．
（5）若x表示一个有理数，当x为 3 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 6 ．
【分析】（1）利用数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值，即可求解；
（2）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值，即可求解；
（3）根据绝对值几何意义即可得出结论．
（4）分情况讨论计算即可得出结论；
（5）|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上某点到表示﹣2、3、4三点的距离之和，依此即可求解
【解答】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是|6﹣2|＝4；
数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是|1﹣（﹣4）|＝5．
故答案为：4，5；
（2）数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为|x﹣6|；
数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为|x+3|；
若|x+3|＝4，
则x+3＝4或﹣4，
∴x＝1或﹣7，
故答案为：|x﹣6|；|x+3|；1或﹣7；
（3）根据绝对值的定义有：|x﹣1|+|x+4|可表示为点x到1与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：
当x在﹣4与1之间时，|x﹣1|+|x+4|的最小值＝5．
故答案为：5；
（4）当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1+3﹣x＝﹣2x+2＝4，
解得：x＝﹣1，
此时不符合x＜﹣1，舍去；
当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+3﹣x＝4，
此时x＝﹣1或x＝0，x＝1，x＝2，x＝3；
当x＞3时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＝4，
解得：x＝3，
此时不符合x＞3，舍去．
∴x＝﹣1或0或1或2或3；
满此时足条件的所有整数x的和：﹣1+0+1+2+3＝5，
故答案为：﹣1或0或1或2或3；5；
（5）∵式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|可看作是数轴上表示x的点到﹣2、3、4三点的距离之和，
∴当x为3时，|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值，
∴|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值＝|3+2|+|3﹣3|+|3﹣4|＝6．
故答案为：3，6．
【变式9.1】（2022·江苏江苏·七年级期中）如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足a+9+(b−5)2=0．
(1)a = ；b = ；
(2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．
①几秒时，点P与点Q距离2个单位长度?
②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒nn>3个单位长度．记点P与点R之间的距离为PR，点A与点Q之间的距离为AQ，点O与点R之间的距离为OR．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，7PR−4OR3+AQ的值是定值?若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)−9；5
(2)①8秒或6秒；②存在，当n=6时，式子的定值为35
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案；
（2）①用含t的代数式表示P，Q表示的数，再根据“两点距离2个单位长度”列出方程，可得答案；②用含t的代数式表示出PR、OR、AQ，代入7PR−4OR3+AQ化简变形，再令t的系数为0，即可得出n值和7PR−4OR3+AQ的定值．
【详解】（1）解：∵ a+9+(b−5)2=0，
∴ a+9=0，b−52=0，
∴ a+9=0，b−5=0，
∴ a=−9，b=5；
（2）解：①P表示的数是：−9+3t，Q表示的数是：5+t，
由题意得：−9+3t−5+t=2，即2t−14=2，
∴ 2t−14=2或2t−14=−2，
解得t=8或t=6，
即8秒或6秒时，点P与点Q距离2个单位长度；
②存在n的值，使得在运动过程中，7PR−4OR3+AQ的值是定值．理由如下：
∵ P表示的数是：−9+3t，Q表示的数是：5+t，R表示的数是：nt，
∴ PR=nt−−9+3t=nt−3t+9，OR=nt，AQ=5+t−−9=t+14，
∴ 7PR−4OR3+AQ =7nt−3t+9−4nt3+t+14=n−6t+35，
∴当n−6=0时，7PR−4OR3+AQ=35，
即当n=6时，7PR−4OR3+AQ的值为定值，定值为35．
【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，列代数式，数轴上两点间的距离，整式加减的应用，一元一次方程的应用等，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示出PR、OR、AQ．
【变式9.2】（2022·江苏南京·七年级期中）如图，数轴上依次排列着四个点A、B、C、D，且A、B间的距离与C、D间的距离相等，点A表示的数是x．
【问题提出】
(1)如图①，若A、B间的距离为2，且B、C两点到原点的距离相等，则
①点B表示的数为______（用含x的代数式表示），
②点C表示的数为______（用含x的代数式表示）；
【初步思考】
(2)如图②，若A、B间的距离为2，点A、B都以每秒3个单位长度的速度沿数轴同时向右运动，当点B与C重合时，点D表示的数为4x−14，求点A运动的时间（用含x的代数式表示）；
【类比解决】
(3)一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是102岁的老寿星了”．
①请在数轴上大致标出小明的年龄数对应的点M以及他爷爷的年龄数对应的点N；
②爷爷的年龄是______岁．
【答案】(1)①x+2；②−x+2；
(2)点A的运动时间为x−6秒；
(3)①见解析；②53
【分析】（1）①直接根据题意即可确定点B表示的数；②利用B、C两点到原点的距离相等，得出点B、C互为相反数且点B在原点左侧，点C在原点右侧，即可确定点C表示的数；
（2）根据题意确定出点C表示的数为4x−16，点B表示的数为x+2，得出B、C两点之间的距离，然后再除以速度即为时间；
（3）①根据题意及（1）（2）过程得出数轴上小明的年龄数对应的点M以及他爷爷的年龄数对应的点N的大致位置；
②根据题意得出CM=MN=ND=49，再由数轴上点的位置即可分别确定出两人的年龄．
【详解】（1）解：①∵A、B间的距离为2，且点A表示的数是x，
∴点B表示的数为x+2；
②∵B、C两点到原点的距离相等，
∴根据数轴得，点B、C互为相反数且点B在原点左侧，点C在原点右侧，
∴点C表示的数为−x+2；
故答案为：①x+2；②−x+2；
（2）∵点D表示的数为4x−14，A、B间的距离为2，
∴C、D间的距离为2，点C表示的数为4x−14−2=4x−16，
∵A、B间的距离为2，且点A表示的数是x，
∴点B表示的数为x+2，
∴B、C间的距离为：4x−16−x+2=3x−18，
∵点A、B都以每秒3个单位长度的速度沿数轴同时向右运动，
∴运动时间为：3x−18÷3=x−6，
∴点A的运动时间为x−6秒；
（3）①由题意可得如下数轴：(点M表示小明现在的年龄，点N表示爷爷现在的年龄，M、N之间的距离为小明与爷爷的年龄差）
②当N到M时，M到C；当M到N时，N到D且CM=MN=ND，
∵CD=102−−45=147，
∴CM=MN=ND=147÷3=49，
根据数轴可知：M点表示的数为−45+49=4，N点表示的数是4+49=53，
∴小明的年龄为4岁，爷爷的年龄为53岁，
故答案为：53．
【点睛】题目主要考查数轴上两点之间的距离及数轴上的点表示有理数，理解题意，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题关键．
【变式9.3】（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，点A、B、C、D分别表示四个车站的位置．
(1)A、D两站的距离是_______，C、D两站的距离是______；（用含a、b的代数式表示）
(2)若已知C、D两站之间的距离是8km，求A、D两站之间的距离．
【答案】(1)6a+4b-1，3a+2b-1
(2)A，D两站之间的距离为17km
【分析】（1）根据AD=AB+BD和CD=BD−BC代入求解即可；
（2）首先根据CD=8代入（1）中求出的CD=3a+2b−1中得到关于AB的等式，然后整体代入到（1）中求出的AD=6a+4b−1中即可求解．
(1)
解：AD=AB+BD=a+3b+5a+b−1=6a+4b−1，
CD=BD−BC=5a+b−1−2a−b=5a+b−1−2a+b=3a+2b−1，
故答案为：6a+4b-1，3a+2b-1．
(2)
解：∵CD=8，
∴3a+2b-1=8，
∴3a+2b=9，
∴AD=6a+4b-1=2（3a+2b）-1=2×9-1=17．
答：A，D两站之间的距离为17km．
【点睛】此题考查了线段的和差运算，整式的加减混合运算的应用，代数式求值问题，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则和整体代入思想的运用．
【考点10】代数式与数字综合问题
【例10】（2019秋•江苏省建邺区期中）已知a是一个正整数，且1≤a≤9，用只含a的代数式表示：
（1）一个两位数的个位数字是a，十位数字是3，这个两位数是 ；
（2）一个两位数的十位数字是a，且无论a取何值，这个两位数均能够被3整除，则这个两位数是 ．
【分析】（1）根据题意，可以用含a的代数式表示出这个两位数；
（2）根据题意可以得到这个两位数的个位数字，从而可以表示出这个两位数字．
【解析】（1）由题意可得，
这个两位数是：3×10+a＝30+a，
故答案为：30+a；
（2）∵一个两位数的十位数字是a，且无论a取何值，这个两位数均能够被3整除，a是一个正整数，且1≤a≤9，
∴这个两位数数字的个位数字是9﹣a，
则这个两位数为：10a+（9﹣a）＝10a+9﹣a＝9a+9，
【变式10.1】（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室七年级期中）神奇的幸福年份．每一个新生命的出生都给亲人带来欢乐和希望．现代社会，我们把人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差称为幸福年份．例如中国科学院院士、数学家陈景润出生于1933年，他的幸福年份就是1933−1+9+3+3=1917．
(1)一位大叔出生于1972年，他的幸福年份是__________；
(2)问幸福年份能否一定被9整除？请说明理由．
【答案】(1)1953
(2)能，理由见解析
【分析】（1）根据题意列式进行计算即可求解；
（2）根据题意设这个数为1000a+100b+10c+d，则幸福年份为999a+99b+9c，即可求解．
【详解】（1）解：1972−1+9+7+2=1953
（2）解：幸福年份能一定被9整除，理由如下
设这个数为1000a+100b+10c+d．
则幸福年份为1000a+100b+10c+d−a+b+c+d=999a+99b+9c =9×111a+11b+c．
∴幸福年份能一定被9整除．
【点睛】本题考查了有理数的减法，整式的加减的应用，根据题意列出算式或代数式是解题的关键．
【变式10.2】（2022·江苏盐城·七年级期中）我们用xyz表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即xyz=100x+10y+z．
(1)说明abc+bca+cab一定是111的倍数；
(2)①写出一组a、b、c的取值，使abc+bca+cab能被11整除，这组值可以是a=_____，b=_____，c=_____；
②若abc+bca+cab能被11整除，则a、b、c三个数必须满足的数量关系是 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)①2；4；5；（答案不唯一）；②a+b+c=11或a+b+c=22（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9）
【分析】（1）根据xyz=100x+10y+z，利用整式的加法计算法则得到abc+bca+cab=111a+b+c，由此即可证明结论；
（2）①根据（1）所求可推出a+b+c一定是11的倍数，由此取值求解即；②根据①所求可得a+b+c一定是11的倍数，再由3≤a+b+c≤27，可得a+b+c=11或a+b+c=22．
【详解】（1）解：abc+bca+cab
=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b
=111a+111b+111c
=111a+b+c，
∵a、b、c都是整数，
∴a+b+c也是整数，
∴111a+b+c是111的倍数，
∴abc+bca+cab一定是111的倍数，
（2）解：①∵abc+bca+cab=111a+b+c，
∴要使abc+bca+cab能被11整除，即要使111a+b+c能被11整除，
∴a+b+c一定是11的倍数，
∴这组数可以是a=2，b=4，c=5，
故答案为：2；4；5；（答案不唯一）
②由①可知要使abc+bca+cab能被11整除，则a+b+c一定是11的倍数，
又∵1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，
∴3≤a+b+c≤27，
∴a+b+c=11或a+b+c=22，
故答案为：a+b+c=11或a+b+c=22（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9）．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，有理数的加法计算，正确理解题意是解题的关键．
【变式10.3】（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）定义：若有理数a，b满足等式a−b=ab+2，则称a，b是“完美有理数对”，记作a，b．如：数对2，0，12,−1都是“完美有理数对”．
(1)通过计算判断数对4,25，−7,78是不是“完美有理数对”；
(2)若m，5是“完美有理数对”，求m的值；
(3)若m,n是“完美有理数对”，则−n，−m是不是“完美有理数对”，请说明理由．
【答案】(1)4,25是，−7,78不是
(2)m=−74
(3)是，理由见解析
【分析】（1）根据“完美有理数对”的定义进行计算判断即可；
（2）根据题意得出关于m的一元一次方程求解即可；
（3）根据题意得出m−n=mn+2，再由新定义进行判断即可．
（1）
解：(4,25)是“完美有理数对”，(−7,78)不是“完美有理数对”，理由如下：
∵4−25=185，4×25+2=185，
∴(4,25)是“完美有理数对”；
∵−7−78=−638，−7×78+2=−338，
∴(−7,78)不是“完美有理数对”；
（2）
解：由题意得：m−5=5m+2，
解得：m=−74，
故m的值为−74；
（3）
(−n,−m)是“完美有理数对”，理由如下：
∵（m,n）是“完美有理数对”
∴m−n=mn+2，
∴−n−−m=−n·−m+2，
∴(−n,−m)是“完美有理数对”．
【点睛】题目主要考查有理数的混合运算、新定义，解题的关键是读懂新定义进行解答.
【考点11】与代数式有关的新定义问题
【例11】（2020秋•江苏省江阴市期中）定义一种新运算：
例如：1☆3＝1×2﹣3＝﹣1；
3☆（﹣1）＝3×2+1＝7；
5☆4＝5×2﹣4＝6；
4☆（﹣2）＝4×2+2＝10．
（1）观察上面各式，用字母表示上面的规律：a☆b＝ ；
（2）若a≠b，那么a☆b b☆a（填“＝”或“≠”）；
（3）若（3a）☆（﹣2b）＝﹣6，则3a+b＝ ；并求（3a+2b）☆（b﹣3a）的值．
【分析】（1）根据已知的等式归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）利用题中的新定义计算得到结果，判断即可；
（3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出值．
【解析】（1）根据题意得：a☆b＝2a﹣b；
（2）根据题中的新定义得：a☆b＝2a﹣b，b☆a＝2b﹣a，
∵a≠b，
∴a☆b≠b☆a；
（3）已知等式整理得：6a+2b＝﹣6，
即3a+b＝﹣3；
原式＝2（3a+2b）+3a﹣b＝6a+4b+3a﹣b＝9a+3b＝3（3a+b）＝3×（﹣3）＝﹣9．
故答案为：2a﹣b；≠；﹣3．
【变式11.1】（2020·江苏·扬州市梅岭中学七年级期中）定义：对于一个有理数x，我们把x称作x的对称数，若x⩾0，则x=x−2；若x<0，则x=x+2，例：1=1−2=−1，−2=−2+2=0．
(1)求0，−12的值．
(2)已知有理数a>0，b<0，且满足a=b−1，试求代数式(b−a)3−3a+3b的值．
(3)解方程：3x=2x−1．
【答案】(1)32
(2)-36
(3)x=1或x=−3
【分析】（1）利用题中新定义计算即可；
（2）根据已知条件及新定义计算得到a−b=4，对原式化简整理再整体代入计算即可；
（3）分3x≥0；3x<0两种情况分别解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：若x⩾0，则x=x−2，
若x<0，则x=x+2，
∵x=0，
∴x=x−2=0−2=−2，
∵x=−12<0，
∴x=x+12=−12+2=32．
（2）解：∵a>0，
∴a=a−2，
∵b<0，
∴b=b+2，
∴a=a−2=b−1=b+2−1，
∴a=b+3，
∴（b−a）3−3a+3b
=b−（b+3）3−3a+3b
=（b−b−3）3−3（b+3）+3b
=（−3）3−3b−9+3b
=−27−9
=−36．
（3）解： 3x=2x−1，
若3x⩾0，
则方程为3x−2=2x−1，
x=1，
3x=3>0符合题意，
若3x<0，
则方程为3x+2=2x−1，
x=−3，
3x=−9<0符合题意，
∴x=1或x=−3．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、整式的加减及有理数的混合运算，掌握分类讨论以及灵活运用相关知识是解题的关键．
【变式11.2】（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）假如我们规定符号m⊗n表示两个数中较小的一个，m∗n表示两个数中较大的一个，例如2⊗3=2，4⊗3=3，2∗4=4，5∗3=5．
(1)−4∗−3= ，−45⊗−34= ；
(2)若3x2+5x+2⊗4x2+5x+3=2，求5−6x2−10x的值；
(3)当x=2022时，代数式ax5+bx3+cx−3∗ax5+bx3+cx−2的值为100，求当x=−2022时，代数式ax5+bx3+cx−3⊗ax5+bx3+cx−2的值为多少？
【答案】(1)−3，−45
(2)5
(3)−105
【分析】（1）根据题意所给的新定义结合有理数比较大小的方法求解即可；
（2）先根据整式的加减计算法则推出4x2+5x+3>3x2+5x+2进而得到3x2+5x=0，再把3x2+5x=0整体代入所求代数式中进行求解即可；
（3）先证明ax5+bx3+cx−3【详解】（1）解：∵−4=4>3=−3，−45=45=1620>1520=34=−34，
∴−4<−3，−45<−34，
∴−4∗−3=−3，−45⊗−34=−45，
故答案为：−3，−45；
（2）解：4x2+5x+3−3x2+5x+2
=4x2+5x+3−3x2−5x−2
=x2+1，
∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴4x2+5x+3−3x2+5x+2≥1，
∴4x2+5x+3>3x2+5x+2，
∵3x2+5x+2⊗4x2+5x+3=2，
∴3x2+5x+2=2，即3x2+5x=0，
∴5−6x2−10x=5−23x2+5=5−2×0=5；
（3）解：ax5+bx3+cx−3−ax5+bx3+cx−2
=ax5+bx3+cx−3−ax5−bx3−c+2
=−1<0，
∴ax5+bx3+cx−3∵当x=2022时，代数式ax5+bx3+cx−3∗ax5+bx3+cx−2的值为100，
∴a⋅20225+b⋅20223+c⋅2022−2=100，
∴20225a+20223b+2022c=102，
∴当x=−2022时，代数式ax5+bx3+cx−3⊗ax5+bx3+cx−2的值为−20225a−20223b−2022c−3=−20225a+20223b+2022c−3=−102−3=−105；
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，代数式求值，有理数的乘方计算，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
【变式11.3】（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）规定一种“⊕”运算：a⊕b=a+b．如图，数轴上的点M，N表示有理数m，n．
(1)比较大小：m+n_____________0，m−n___________−1（填“>”、“<”或“=”）；
(2)化简：[m⊕n]+[m⊕(−n)]．
【答案】(1)>，<
(2)2n
【分析】（1）根据数轴上点的位置可知−1（2）根据所给定义将原式化为m+n+m+−n，再根据m+n>0，m−n<0化简绝对值即可．
【详解】（1）解：由题意得m<0∴m+n>0，m−n<0，
∵m−n表示MN两点的距离，
∴m−n>1=−1，
∴m−n<−1，
故答案为：>；<；
（2）解：由题意得[m⊕n]+[m⊕(−n)]
=m+n+m+−n
=m+n+m−n
=m+n−m−n
=m+n−m+n
=2n．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的加法，有理数比较大小，化简绝对值，正确得到m+n>0，m−n<0是解题的关键．x
…
−2
−1
0
1
2
…
−x−2
…
0
−1
−2
−3
a
…
2x−2
…
−6
−4
b
0
2
…
2x+1
…
−3
−1
1
3
5
…
土特产种类
甲
乙
每辆汽车运载量（吨）
4
2
每吨土特产利润（元）
100
90
品 名
苹 果
桔 子
批发价（元/ kg）
5.2
3.2
零售价（元/ kg）
8.8
6.2
居民每月用电量
单价（元/度）
不超过50度的部分
0.5
超过50度但不超过200度的部分
0.6
超过200度的部分
0.8
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
﹣50
+30
﹣26
﹣45
+36
+25
到A地
到B地
甲仓库
每箱15元
每箱12元
乙仓库
每箱10元
每箱9元