人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题06全等三角形的概念和性质(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题06全等三角形的概念和性质(原卷版+解析)，共17页。


◎题型1：全等形的认识
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
备注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
例．(2023·全国·八年级课时练习）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．(2023·广西百色·八年级期末）下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·山东德州·八年级期中）下列各选项中的两个图形是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·湖北武汉·八年级期中）如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（ ）
A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤
◎题型2：将已知图形分割几个三角形
要抓住全等图像的概念和特征，能够完全重合的两个图形叫做全等图形；特征：形状大小相同，能够完全重合．
例．（2023·全国·七年级课时练习）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（ ）
A．0个B．2个C．3个D．4个
变式1．(2023·全国·八年级）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·全国·八年级）用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ）
A．（1）（2）（4）B．（2）（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）
变式3．(2023·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在四边形与四边形中，，，．下列条件中：①，；②，；③，；④，．添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形．上述条件中符合要求的有（ ）
A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④
◎题型3：全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
对应顶点，对应边，对应角
（1）对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
备注：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
（2）找对应边、对应角的方法
1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
3）有公共边的，公共边是对应边；
4）有公共角的，公共角是对应角；
5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
例．(2023·江苏扬州·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，若想到玻璃店配一块与原来一样大小的五边形玻璃，那么最省事的方法应该带玻璃碎片（ ）
A．①B．①②C．①③D．①③④
变式2．（2023·山西·七年级期末）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．②③
变式3．（2023·全国·八年级期末）全等三角形是（ ）
A．面积相等的三角形B．角相等的三角形C．周长相等的三角形D．完全重合的三角形
◎题型4：全等三角形的性质
性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.
备注：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今
研究其它全等图形的重要工具.
例．(2023·河南漯河·八年级期末）如图，，下列等式不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC≌△DBC，∠A＝40°，∠ACD＝86°，则∠CBD的度数为（ ）
A．94°B．50°C．97°D．54°
变式2．（2023·陕西·商州区第一初级中学八年级期中）如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·四川巴中·七年级期末）如图，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
专题06 全等三角形的概念和性质
【思维导图】
◎题型1：全等形的认识
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
备注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
例．(2023·全国·八年级课时练习）下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据全等图形是能够完全重合的两个图形进行分析判断即可．
【详解】
解：A、两个图形的形状不一样，不是全等形，故不合题意；
B、两个图形的形状不一样，不是全等形，故不合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等形，故符合题意；
D、两个图形的大小不一样，不是全等形，故不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
变式1．(2023·广西百色·八年级期末）下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】
解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形．
变式2．（2023·山东德州·八年级期中）下列各选项中的两个图形是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根据全等的定义分析，能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】
A.不是全等图形，故该选项不符合题意；
B.是全等图形，故该选项符合题意；
C.不是全等图形，故该选项不符合题意；
D.不是全等图形，故该选项不符合题意；
故选B
【点睛】
本题考查了本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，理解定义是解题的关键．
变式3．（2023·湖北武汉·八年级期中）如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（ ）
A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤
答案：C
【解析】
分析：
根据旋转变换及全等图形的定义对应边相等，对应角相等的图形是全等图形对个图进行一一分析判断即可
【详解】
解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，
③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，
④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，
⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，
∴与①中由实线围成的图形全等的有②④⑤．
故选择C．
【点睛】
本题考查多边形全等的判定，掌握全等图形的定义，关键是会通过图形的旋转使它们全等．
◎题型2：将已知图形分割几个三角形
要抓住全等图像的概念和特征，能够完全重合的两个图形叫做全等图形；特征：形状大小相同，能够完全重合．
例．（2023·全国·七年级课时练习）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（ ）
A．0个B．2个C．3个D．4个
答案：C
【解析】
分析：
观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【详解】
由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选：．
【点睛】
本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系．
变式1．(2023·全国·八年级）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
直接利用全等图形的概念进而得出答案．
【详解】
解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故选B．
【点睛】
此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质.
变式2．(2023·全国·八年级）用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是 （ ）
A．（1）（2）（4）B．（2）（3）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）
答案：A
【解析】
【详解】
试题分析：根据全等的直角三角形的性质依次分析各小题即可判断.
用两个全等的直角三角形一定可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形
故选A.
考点：图形的拼接
点评：图形的拼接是初中数学平面图形中比较基础的知识，，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.
变式3．(2023·辽宁辽阳·七年级期末）如图，在四边形与四边形中，，，．下列条件中：①，；②，；③，；④，．添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形．上述条件中符合要求的有（ ）
A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④
答案：B
【解析】
分析：
连接AC、，通过证明（SAS），（SAS），即可得到结论，同理可证其余情况．
【详解】
证明：连接AC、，
在△ABC与△A′B′C′中，，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴
添加①，，
∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴∠BAD﹣∠BAC＝∠B′A′D′﹣∠B′A′C′，
∴∠DAC＝∠D′A′C′，
在△ACD和△A′C′D中，，
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D′，∠ACD＝∠A′C′D′，CD＝C′D′，
∴∠BCD＝∠B′C′D′，
∴四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
同理添加②④的条件证得四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′．
添加③无法得到△ACD≌△A′C′D′，所以条件③不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
◎题型3：全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
对应顶点，对应边，对应角
（1）对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
备注：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
（2）找对应边、对应角的方法
1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
3）有公共边的，公共边是对应边；
4）有公共角的，公共角是对应角；
5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
例．(2023·江苏扬州·八年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形
答案：A
【解析】
分析：
根据全等三角形的定义和性质依次分析各项即可判断．
【详解】
解：A，全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，故此选项符合题意．
B，全等三角形是指形状相同的两个三角形，还有大小相等，故此选项不符合题意．
C，全等三角形是指面积相等的两个三角形，应大小相等形状相同，故此选项不符合题意．
D，所有的等边三角形都是全等三角形，大小不一定相等，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的定义和性质，基础应用题，熟练掌握全等三角形的定义和性质是解此题的关键．
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，若想到玻璃店配一块与原来一样大小的五边形玻璃，那么最省事的方法应该带玻璃碎片（ ）
A．①B．①②C．①③D．①③④
答案：A
【解析】
分析：
类似全等三角形的判定，只要带去的玻璃能够测量正五边形的内角的度数与正五边形的边长就可以，然后对各块玻璃进行分析即可得解．
【详解】
解：带①去，能够测量出此正五边形的内角的度数，以及边长，所以可以配一块完全一样的玻璃，
带②③④去，只能够测量出正五边形的内角的度数，不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃；
所以最省事的方法是带①去．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用拓广，根据正五边形的定义每个角都相等，每条边都相等，所以只要知道一个角、一条边即可作出能够完全重合的正五边形．
变式2．（2023·山西·七年级期末）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．②③
答案：D
【解析】
分析：
根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．
【详解】
①两个形状相同的图形称为全等图形，说法错误；
②边、角分别对应相等的两个多边形全等，说法正确；
③全等图形的形状、大小都相同，说法正确；
④面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误，
故答案为：D．
【点睛】
此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同．
变式3．（2023·全国·八年级期末）全等三角形是（ ）
A．面积相等的三角形B．角相等的三角形C．周长相等的三角形D．完全重合的三角形
答案：D
【解析】
分析：
根据全等三角形的定义即可求解．
【详解】
解：全等三角形是指能够完全重合的三角形．
故选：D
【点睛】
本题考查了全等三角形的定义，熟知全等三角形的定义是解题的关键．
◎题型4：全等三角形的性质
性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.
备注：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今
研究其它全等图形的重要工具.
例．(2023·河南漯河·八年级期末）如图，，下列等式不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据全等三角形的性质得出，，，，再逐个判断即可．
【详解】
解：，
，，，，
，
，
即只有选项符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
变式1．（2023·江苏镇江·八年级期中）如图，△ABC≌△DBC，∠A＝40°，∠ACD＝86°，则∠CBD的度数为（ ）
A．94°B．50°C．97°D．54°
答案：C
【解析】
分析：
根据全等三角形的性质求出，，进而可求出，再根据三角形内角和定理求出∠DBC的度数即可．
【详解】
解：，，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质的应用及三角形内角和定理，能根据全等三角形的性质得出，是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
变式2．（2023·陕西·商州区第一初级中学八年级期中）如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由全等三角形的性质得，再利用角的和、差关系即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和角的和、差关系，通过三角形全等得到是解题的关键．
变式3．(2023·四川巴中·七年级期末）如图，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据，所以得到，再根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数．
【详解】
∵，
所以°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-26°-34°=120°，
故选：C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟悉全等三角形的性质是解题关键．