专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2023-2024学年七年级数学上学期专题复习（苏科版）

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（知识梳理+典例剖析+变式训练）
【目标导航】
【知识梳理】
一、正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
二、有理数与无理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3、（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
三、数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
四、相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
五、绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
（3）绝对值的非负性
任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
六、科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【典例剖析】
【考点1】数学与生活
【例1】（2022·江苏泰州·七年级期末）下列所给数据中，能反映出一瓶矿泉水重量的是（ ）．
A．500毫克B．500克C．500千克D．500吨
【变式1.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列人或物中，质量最接近1吨的是（ ）
A．1000枚1元硬币B．25名小学生
C．5000个鸡蛋D．10辆家用轿车
【变式1.2】（2022·江苏·七年级）如图，“英寸”是电视机常用尺寸，1英寸约为大拇指第一节的长，则9英寸长相当于（ ）
A．一支粉笔的长度B．课桌的长度C．黑板的宽度D．数学课本的宽度
【变式1.3】（2022·江苏·七年级）下面四位数学家里有三位对π进行了深入的研究，其中有一位研究方向在其他方面，这位数学家是( )
A．祖冲之B．张衡C．刘徽D．杨辉
【考点2】正数和负数
【例2】（2022·江苏·七年级专题练习）当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示．例：中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A．支出20元B．收入20元C．支出80元D．收入80元
【变式2.1】（2022·江苏·七年级专题练习）规定：（↑30）表示零上30°C，记作+30，（↓5）表示零下5°C，记作（ ）
A．+5B．−5C．+15D．−15
【变式2.2】（2022·江苏南通·七年级期末）规定：(→2)表示向右移动2，记作＋2，则(←5)表示向左移动5，记作（ ）
A．＋5B．－5C．15D．－15
【变式2.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在－3，36，＋25，－0.01，0，−34中，负数的个数为（ ）
A．2个B．3个C．3个D．4个
【考点3】有理数与无理数
【例3】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列说法正确的是（ ）
A．整数包括正整数和负整数B．零是整数，但它既不是正数，也不是负数
C．分数包括正分数、负分数和零D．一个数不是正数就是负数
【变式3.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．−2B．1.6C．1.010010001D．2π
【变式3.2】（2022·江苏·七年级专题练习）下列数中既是分数又是负数的是（ ）
A．5.2B．0C．﹣2D．﹣2.5
【变式3.3】（2022·江苏·七年级专题练习）在-0.8、3.5、23、0、π2、3.01001001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数的个数共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点4】数轴
【例4】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2007cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是（ ）
A．2005或2006B．2006或2007C．2007或2008D．无法确定
【变式4.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A．1.5B．−1.6C．−2.6D．−3.4
【变式4.2】（2022·江苏·七年级专题练习）如图，数轴上点D对应的数为d，则数轴上与数﹣3d对应的点可能是（ ）
A．点AB．点BC．点DD．点E
【变式4.3】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，-b，-a，b从大到小的顺序为（ ）
A．b>−a>a>−bB．−a>−b>b>a
C．−b>a>−a>bD．b>a>−a>−b
【考点5】相反数
【例5】（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．+（﹣2）和﹣|﹣2|B．﹣5和﹣（﹣5）
C．+（﹣3）和﹣3D．﹣12和2
【变式5.1】（2022·江苏·七年级专题练习）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．|+1|与|﹣1|B．﹣（﹣1）与1C．|﹣（﹣3）|与﹣|﹣3|D．﹣|+2|与+（﹣2）
【变式5.2】（2021·江苏·无锡市东林中学七年级期中）下列化简正确的是（ ）
A．+−2=2B．−−3=3C．++3=−3D．−+2=2
【变式5.3】（2022·江苏南京·七年级阶段练习）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）
A．B．C．D．
【考点6】绝对值
【例6】（2022·江苏扬州·七年级期末）已知a，b的位置如图，则b−a−a+b的值为（ ）
A．0B．－2bC．－2aD．2b－2a
【变式6.1】（2021·江苏泰州·七年级期末）−2021的绝对值是（ ）
A．2021B．−2021C．12021D．−12021
【变式6.2】（2022·江苏淮安·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．任何数的绝对值都是正数B．如果两个数不等，那么这两个数的绝对值也不相等
C．任何一个数的绝对值都不是负数D．只有负数的绝对值是它的相反数
【变式6.3】（2021·江苏南通·七年级期中）现有四种说法：①−a表示负数；②若ab；③绝对值最小的有理数是0；④若a=b，则a=b，其中正确的是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点7】绝对值的非负性
【例7】（2020·江苏镇江·七年级阶段练习）若(x﹣2)2+|y+1|=0，则x﹣y等于（ ）
A．−2B．1C．−4D．3
【变式7.1】（2020·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）x是任意实数，则下列各式中一定表示正数的是（ ）
A．2020xB．x+2020C．2020xD．x+2020
【变式7.2】（2019·江苏·泰州市姜堰区张甸初级中学七年级期中）若a+1+b−22=0，则a+b3+a4的值为（ ）
A．-2B．0C．2D．7
【变式7.3】（2018·江苏南通·七年级期末）如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列式子可能成立的是（ ）
A．c＞0，a＜0B．c＜0，b＞0C．c＞0，b＜0D．b＝0
【考点8】有理数的大小比较
【例8】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．|﹣23|＜|﹣12|B．﹣|﹣3411|＝﹣（﹣3411）
C．﹣|﹣8|＞7D．﹣56＜﹣45
【变式8.1】（2022·江苏扬州·七年级期末）无理数−π在数轴上位置的描述，正确的是（ ）
A．在点−4的左边B．在点−3的右边
C．和原点的距离小于3D．和原点的距离大于3
【变式8.2】（2021·江苏·常州市金坛良常初级中学七年级阶段练习）在0.2，−2，0，−12这四个有理数中，最小的数是（ ）
A．0.2B．−2C．0D．−12
【变式8.3】（2022·江苏宿迁·七年级期末）在﹣0.2418中，若用3去替换其中的一个非0数字，并使所得的数最大，则替换的数字是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【考点9】科学记数法
【例9】（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）“天问一号”探测器由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，飞行期间已成功完成地月合影获取、两次轨道中途修正、载荷自检等工作，截至2020年10月1日凌晨，探测器已飞行约188000000千米，飞行状态良好，把188000000用科学记数法表示，结果正确的是（ ）
A．188×106B．18.8×107C．1.88×108D．1.88×109
【变式9.1】（2021·江苏·南京东山外国语学校七年级阶段练习）某建成的新机场一期将满足年旅客吞吐量45000000人次的需求．将45000000用科学记数法表示应为（ ）
A．4.5×107B．45×106C．0.45×108D．4.5×106
【变式9.2】（2022·江苏南京·七年级期末）据统计，电影《长津湖》上映第16天，累计票房突破45.6亿元．将数据45.6亿用科学记数法表示为（ ）
A．45.6×108B．4.56×109C．4.56×1010D．0.456×1011
【变式9.3】（2021·江苏南通·七年级期中）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103
【考点10】有理数的分类（大题）
【例10】（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）请你把下列各数填入表示它所在的数的集合内：
﹣2，20%，﹣0.13，﹣734，0， 4.7， −34,−−25,−62,−0.5
正有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}．
自然数集合：{ …}．
【变式10.1】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）请把下列各数填入相应的集合中
−12； －7； 47； －90； －3； 0.4； 0； 53
负整数集合： { …}；
分数集合： { …}．
【变式10.2】（2022·江苏·七年级专题练习）把下列各数填到相应的集合中．
1，13，0，﹣π，﹣6.4，﹣9，﹣26，1.010010001…．
正数集合：{ }；
负数集合：{ }；
整数集合：{ }；
有理数集合{ }．
【变式10.3】（2022·江苏·七年级专题练习）如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内：−12，﹣7，+2.8，﹣900，﹣312，99.9，0，4．
【考点11】绝对值与相反数综合问题（大题）
【例11】（2022·江苏·七年级专题练习）现场学习：我们知道|x|＝x(x>0)0(x=0)−x(x<0)，所以当x＞0时，x|x|=xx＝1，当x＜0时，x|x|=x−x＝﹣1．
解决问题：已知a，b是有理数，当ab≠0时，求a|a|+b|b|的值．
【变式11.1】（2022·江苏·七年级专题练习）（1）用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空：
①|﹣5|+|4|_____|﹣5+4|；
②|﹣6|+|3|_____|﹣6+3|；
③|﹣3|+|﹣4|_____|﹣3﹣4|；
④|0|+|﹣9|_____|0﹣9|；
（2）归纳：|a|+|b|_____|a+b|；
（3）根据上题（2）得出的结论，若|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，求m的值．
【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）若a，b满足|a|＜|b|≤4，且a，b为整数．
（1）直接写出a，b的最大值；
（2）当a，b为何值时，|a|+b有最小值？此时，最小值是多少？
【变式11.3】（2022·江苏·七年级专题练习）我们知道：4−−1表示4与−1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与−1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理x−3也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，5+3=5−−3表示5、−3之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为a−b．试探索：
（1）若x−3=7，则x=___________；
（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−2，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示−4的点与表示__________的点重合；
（3）计算：x−4+x+1=7．
【考点12】数轴有关综合问题（大题）
【例12】（2021·江苏南京·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．
（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为 ，点Q对应的数为 ；P、Q两点间的距离为 ．
（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为 ．
（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．
【变式12.1】（2021·江苏无锡·七年级期中）① 请你在数轴上表示下列有理数： −12,−2.5,0,−(−2)2,−−4．
② 将上列各数用“＜”号连接起来：___________________．
【变式12.2】（2020·江苏·盐城市盐都区实验初中七年级期中）在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a+2|+（b﹣3）2＝0．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）在（1）的条件下，点A以每秒0.5个单位长度沿数轴向左移动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A运动到﹣4所在的点处时，求A、B两点间距离；
（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距3个单位长度？
【变式12.3】（2020·江苏无锡·七年级期中）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为16；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为4，由此可得到木棒长为 cm．
（2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决以下问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要25年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？