苏科版七年级数学下册同步精品讲义 10.3 解二元一次方程组（学生版）

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第10章 二元一次方程组 10.3 解二元一次方程组目标导航知识精讲知识点01 代入消元法解二元一次方程组1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种将未知数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想。2.代入消元法（1）定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方法称为代入消元法。（2）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②代入；③解方程；④求值；⑤联立。（3）代入消元法的技巧：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1（或-1），选系数较简单的方程和系数较简单的未知数变形比较简便。【即学即练1】代入消元法解下列方程组【答案】【详解】解：由②，得x=1-5y③把③代入①，得2（1-5y）+3y=-19，得出：y=3，把y=3代入③，得：x=-14，所以方程组的解为：知识点02 加减消元法解二元一次方程组（1）定义：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程；这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。（2）加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形；②加减；③解方程；④求值；⑤联立。（3）加减法的技巧：①当方程组中两个方程的同一个未知数的系数的绝对值相等时，可直接用加减法进行消元；②当方程组的两个方程中同一个未知数的系数成整数倍时，可把其中一个方面的两边乘以倍数，使这个未知数的系数相同或相反，然后运用加减法消去这个未知数。③当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解。【即学即练2】解方程组：【答案】【分析】利用加减消元法求解即可；【详解】解：，②-①，得2x=-2，解得x=-1，把x=-1代入①，得-1+2y=3，解得y=2．故方程组的解为．能力拓展考法01 代入消元法解二元一次方程组【典例1】解方程组时，两位同学的解法如下：解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③①代入③得3x+2＝5(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法　 　的解题过程有错误（填“一”或“二”）；解二元一次方程组的基本思想　 　．(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．【答案】(1)一，消元； (2)【分析】（1）上述两种解题过程中解法一的解题过程有错误，解二元一次方程组的基本思想消元思想；（2）用②①，消去，求出，再把的值代入①即可求出．【解析】(1)解：上述两种解题过程中解法一的解题过程有错误，解二元一次方程组的基本思想消元思想；故答案为：一；消元；(2)解：②①得：，解得，将代入①得：，解得，所以方程组的解为：．考法02 加减消元法解二元一次方程组【典例2】定义数对（x，y）经过一种运算φ可以得到数对（x'，y'），并把该运算记作φ（x，y）＝（x'，y'），其中（a，b为常数）．例如，当a＝1，且b＝1时，φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）当a＝1且b＝1时，φ（0，1）＝　 　；（2）若φ（1，2）＝（0，4），则a＝　 　，b＝　 　；（3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足二元一次方程2x﹣y＝0，并且对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），求a和b的值．【答案】（1）（1，﹣1）；（2）2，﹣1；（3）【分析】（1）当a=1且b=1时，分别求出x′和y′即可得出答案；（2）根据条件列出方程组即可求出a，b的值；（3）根据对任意数对(x，y)经过运算φ又得到数对(x，y)，得到，根据2x-y=0，得到y=2x，代入方程组即可得到答案．【详解】解：（1）当a＝1且b＝1时，x′＝1×0+1×1＝1，y′＝1×0﹣1×1＝﹣1，故答案为：(1，﹣1)；（2）根据题意得：，解得：，故答案为：2，﹣1；（3）∵对任意数对(x，y)经过运算φ又得到数对(x，y)，∴，∵2x﹣y＝0，∴y＝2x，代入方程组解得：，∴，解得．分层提分题组A 基础过关练1．二元一次方程组更适合用哪种方法消元（ ）A．代入消元法 B．加减消元法C．代入、加减消元法都可以 D．以上都不对【答案】B【分析】由题意直接根据加减消元法和代入消元法的特点进行判断即可．【详解】解：，①②，得，消去了未知数，即二元一次方程组更适合用加减法消元，故选：．2．用加减法解方程组由②-①消去未知数，所得到的一元一次方程是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察两方程发现y的系数相等，故将两方程相减消去y即可得到关于x的一元一次方程．【详解】解：解方程组，由②-①消去未知数y，所得到的一元一次方程是2x=9，故选：A．3．如果方程组的解是方程的一个解，则m的值为（     ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出m的值．【详解】解：{，①+②×3得：17x=34，即x=2，把x=2代入①得：y=1，把x=2，y=1代入方程7x+my=16得：14+m=16，解得：m=2，故选：C．4．与是同类项，则m与n的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同类项定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，列方程组求解即可．【详解】解：与是同类项，则 ，解得： ．故选A．5．我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y得，从而求解，这种解法体现的数学思想是（ ）A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想【答案】A【分析】把第一个方程代入第二个方程消去y是把y转化成x，体现的是转化的思想．【详解】A项：本题用一个未知数代替另一个未知数，体现的是转化思想，故A符合题意；B项：分类讨论是把可能的情况都罗列出来进行讨论，本题没有用到，故B不符题意；C项：数形结合是把数字和图形进行结合，本题没有用到，故C不符合题意；D项：公理化思想是用公理去证明一些命题的真假性，本题没有用到，故D不符合题意．故选A6．下列方程组中，与方程组的解相同的方程组是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照二元一次方程组消元法或代入法解出两个未知数即可．【详解】联立题干中的二元一次方程解出：,A项：解得 故不符题意；B项：解得故B符合题意；C项：解得故C不符题意；D项：解得故D不符题意．故选B.7．下列四对数，是二元一次方程组的解的是 （ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用加减消元法求解即可．【详解】解：，①+②得2x=2，解得x=1，把x=1代入①得1+y=3，解得y=2，∴方程组的解为，故选：B．8．由方程组消去m，可得x与y的关系式是（ ）A．2x﹣5y＝5 B．2x+5y＝﹣1 C．﹣2x+5y＝5 D．4x﹣y＝13【答案】A【分析】方程组消去m即可得到x与y的关系式．【详解】解：，①×3-②，得2x-5y=5，故选：A．9．已知二元一次方程，用含的代数式示，则________．【答案】【分析】把看做已知数表示出即可．【详解】解：方程，解得：，∴．故答案为：．10．已知，用含m的代数式表示n，则______．【答案】【分析】先移项，然后将的系数化为1，即可求解．【详解】解：故答案为：11．把方程改成用含x的代数式表示y为__________．【答案】2x-【分析】把x看作已知数求出y即可．【详解】解：6x-3y=5， 3y=6x-5，解得：y=2x-故答案为：y=2x-12．将方程的各个未知数的系数化整，则原方程变形为____________．【答案】【分析】方程两边乘以6即可．【详解】解：，方程两边同时乘6得，，即，故答案为：．13．解方程组【答案】【分析】先给方程①×2，则可利用加减消元法，即可求出方程组的解．【详解】解：，①×2+②，得，解得，把代入①，得，解得，∴原方程组的解是．14．解方程组：【答案】．【分析】根据解二元一次方程组的方法，得到③，得到④，消元得解，然后代入①求解即可．【详解】解：，得：，得：，得：，解得：，将代入①得：，∴方程组的解为：．15．解方程组：．【答案】【分析】，将①×2＋②可求得x，再代入①即可解得y ，写出结论即可．【详解】解：，①×2＋②得：7x＝-7，解得x＝-1，将x＝-1代入①解得y＝3，∴方程组的解为．16．解方程组：【答案】【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【详解】解：，由②得：③，把③代入①得：，即，把代入③得：，则方程组的解为．题组B 能力提升练1．如果是二元一次方程，那么m、n的值分别为（ ）A．2、3 B．2、1 C．3 、4 D．－1、2【答案】C【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可得，解二元一次方程组即可求得的值．【解析】解：∵是二元一次方程，∴①+②×2得：，将代入②，解得故选C2．把方程写成用含x的式子表示y的形式，以下各式中正确的是（ ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，将看作已知数求出即可【解析】解：故选C3．已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案．【解析】解：关于的方程组可变形为，由题意得：，解得，故选：A．4．若方程组的解为，则方程组的解为（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】由整体思想可得，求出x、y即可．【解析】解：∵方程组的解为，∴方程组的解，∴；故选：B．5．用代入法解方程组，以下各式正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据代入消元法的步骤把②变形代入到①中，然后整理即可得到答案．【解析】解：由②得，代入①得，移项可得，故选B．6．在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图所示的方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则x+2y的值是（　　） A．15 B．17 C．19 D．21【答案】D【分析】根据题意列出两条等式，求出x，y的值即可．【解析】根据题意可得: ，解得，x+2y=5+2×8=5+16=21，故答案为：D．7．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为（　　）A．﹣ B． C． D．﹣【答案】B【分析】解方程组求出x=7k，y=﹣2k，代入2x+3y=6解方程即可．【解析】解：，①+②得：2x=14k，即x=7k，将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=﹣2k，将x=7k，y=﹣2k代入2x+3y=6得：14k﹣6k=6，解得：k=．故选：B．8．已知关于，的方程组，给出下列说法：①当时，方程组的解也是方程的一个解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变；④若，则以上四种说法中正确的有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用二元一次方程的解及方程组的解定义判断即可．【解析】解：①当时，方程组的解为：，也是方程的一个解，符合题意；②关于，的方程组的解为：，当时，，符合题意；③不论取什么实数，的值始终不变，符合题意；④当时，方程组的解为：，则，符合题意．所以以上四种说法中正确的有4个．故选：D．9．已知是方程组的解，则计算的值是______．【答案】1【分析】把代入求出m和n的值，然后代入计算即可．【解析】解：把代入，得，①+②，得2m=6，∴m=3，把m=3代入②，得3+2n=-1，∴n=-2，∴=3-2=1，故答案为：1．10．关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是_______．【答案】2【分析】先两式相加得，再整体代入方程5x+y=得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．【解析】解：，①+②得，把代入5x+y=得，解得m=2，故答案为：2．11．若，则的值为______．【答案】【分析】根据绝对值和平方的非负性，列出方程组，可得，再代入，即可求解．【解析】解：∵，∴ ，解得： ，．故答案为：12．解方程组：(1)（用代入法） (2)用加减法【答案】(1) (2)【分析】（1）根据题意用代入消元法解二元一次方程组即可；（2）根据题意用加减消元法解二元一次方程组即可；【解析】(1)由②得③将③代入①得：即解得将代入③得：原方程组的解为(2)①×3-②×2得：解得将代入①得：解得原方程组的解为13．已知方程组的解、的值之和等于2，求的值．【答案】k=4【分析】由原方程组中两个方程相减可得 与结合成新的方程组，求解的值，再求解即可.【解析】解： 方程组，①②得：③，又由题意得：④，由③和④组成新的方程组，解得：，．14．已知方程组的解适合，求m的值．【答案】【分析】方程组消去m得到关于x与y的方程，与已知方程联立成方程组，再利用加减消元法解题．【解析】解：方程组消去m得，x+4y=2，联立得①-②得，-3y=6y=-2把y=-2代入①得，x=10．15．已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2021的值．【答案】【分析】根据方程组解相同，可得新方程组，求解得到方程组的解，根据方程组的解满足方程，把解代入可得到关于a、b的方程组，求解即可得到a、b的值，再代入求解，根据-1的奇数次方都等于-1，即可得到答案；【解析】解：由题意得，方程组 ∴方程组的解为 把代入得，∴方程组的解为∴；16．若2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，试求x与y的值．【答案】【分析】根据幂的乘方的意义得到二元一次方程组，再进行计算即可．【解析】解：∵2x＝4y+1，27y＝3x﹣1，∴ ∴ 整理得， ①+②得， 把代入①得， ∴ ∴方程组的解为题组C 培优拔尖练1．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．0 D．2021【答案】B【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求．【解析】解：联立得：，解得：，则有，解得：，∴，故选：B．2．已知方程组和有相同的解，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【解析】解：根据题意，则，由①×2+②得：11x=11，解得：x=1，把x=1代入①得：5+y=3，解得：y=2；把x=1，y=2代入，则，解得：，∴．故选：C．3．下列四对数中，是方程组的解是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用加减消元法解方程组即可得答案．【解析】①-②得：，去分母得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程组的解是，故选：D．4．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是( )①当＝5时，方程组的解是； ②当，的值互为相反数时，＝20；③当＝16时，＝18； ④不存在一个实数使得＝．A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③【答案】C【分析】①把a＝5代入方程组求出解，即可做出判断；②根据题意得到x+y＝0，代入方程组求出a的值，即可做出判断；③当＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x，代入方程组求出a的值，即可做出判断；④假如x＝y，得到a无解，本选项正确；．【解析】解：①把a＝5代入方程组得：，解得：，本选项错误；②由x与y互为相反数，得到x+y＝0，即y＝﹣x，代入方程组得：，解得：a＝20，本选项正确；③当＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x代入方程组得：，解得：a＝18，本选项正确；④若x＝y，则有，可得a＝a﹣5，矛盾，故不存在一个实数a使得x＝y，本选项正确；故选：C．5．已知关于x，y的方程组以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6则k＝1．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④【答案】A【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．【解析】解：①当时，原方程组可整理得：，解得：，把代入得：，即①正确，②解方程组，得：，若，则，解得：，即存在实数，使得，即②正确，③解方程组，，得：，，不论取什么实数，的值始终不变，故③正确；④解方程组，，得：，若，故④错误，故选：A．6．已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是：①当a＝0时方程组的解是方程x+y＝1的解；②当x＝y时，a＝﹣；③当xy＝1，则a的值为3或﹣3；④不论a取什么实数3x﹣y的值始终不变．（　　）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】①把a看做已知数表示出方程组的解，把a＝0代入求出x与y的值，代入方程检验即可；②令x＝y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x﹣y中计算得到结果，判断即可；④令2x＝3y求出a的值，判断即可．【解析】解：，据题意得：3x＝3a﹣6，解得：x＝a﹣2，把x＝a﹣2代入方程x+y＝1+4a得：y＝3a+3，当a＝0时，x＝﹣2，y＝3，把x＝﹣2，y＝3代入x+y＝1得：左边＝﹣2+3＝1，右边＝1，是方程的解，故①正确；当x＝y时，a﹣2＝3a+3，即a＝﹣，故②正确；当xy＝1时，（a﹣2）3a+3＝1，即a＝﹣1，或 或 故③错误3x﹣y＝3a﹣6﹣3a﹣3＝﹣9，无论a为什么实数，3x﹣y的值始终不变为﹣9，故④正确．∴正确的结论是：①②④，故选：B．7．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．【解析】解：把代入方程组得： ，把代入ax+by=2得：-2a+2b=2，即-a+b=1，联立得：，解得： ，由3c+2=-4，得到c=-2，则a+b+c=4+5-2=7．故选：D．8．在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过小明由于粗心把系数抄错了，得到，通过小亮把常数抄错了，得到，便可将原方程组复原，再求解即可．【解析】对于方程组，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是∴解得小亮把常数抄错了，得到的解是∴解得∴原方程组为，解得故答案选：C．9．若a－b＝2，a2－b2＝6，则a2＋b2＝______．【答案】【分析】根据平方差公式求出a+b=3，解方程组，求出解代入计算即可．【解析】解：∵a－b＝2，a2－b2＝6，a2-b2=(a+b)(a-b)∴a+b=3，解方程组，得，∴a2＋b2＝，故答案为：．10．定义新运算：规定※，若3※，2※，则※※__．【答案】16【分析】先根据3※，2※列方程组求出m和n的值，然后再计算※※2即可．【解析】解：※，2※，，解得：，∴※y=−x+3y2，※，※※2=−4※，故答案为：16．11．已知等式（2A﹣7B）x+（3A﹣8B）＝8x+10，对一切实数x都成立，则A+B＝_____．【答案】【分析】根据关键语“等式(2A﹣7B)x+(3A﹣8B)＝8x+10对一切实数x都成立”，只要让等式两边x的系数和常数分别相等即可列出方程组求解．【解析】解：(2A﹣7B)x+(3A﹣8B)＝8x+10，∴，解得：，则A+B＝，故答案为：．12．已知关于x的方程＝1+中，a、b、k为常数，若无论k为何值，方程的解总是x＝1，则a+b的值为 ___．【答案】【分析】将代入方程，然后令的系数为0，得到关于的二元一次方程组，求解即可．【解析】解：将代入方程＝1+得由题意可得：，解得则故答案为：13．下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：．解：①，得③，第一步，②③，得，第二步，．第三步，将代入①，得．第四步，所以，原方程组的解为．第五步．填空：(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．、代入消元法、加减消元法(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；(3)直接写出该方程组的正确解：______．【答案】(1)B(2)二；应该等于(3)【分析】（1）②−③消去了x，得到了关于y的一元一次方程，所以这是加减消元法；（2）第二步开始出现错误，具体错误是−3y−（−4y）应该等于y；（3）解方程组即可．【详解】(1)解：②③消去了，得到了关于的一元一次方程，故答案为：；(2)解：第二步开始出现错误，具体错误是应该等于，故答案为：二；应该等于；(3)解：②③得，将代入①，得：，原方程组的解为．故答案为：．14．在解方程组时，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为x＝2，y＝1．（1）求a、b的值；（2）求方程组的正确解．【答案】（1），；（2） ，【分析】（1）根据方程组的解的定义，应满足方程②，x＝2，y＝1应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的二元一次方程组，解得a，b的值；（2）将a，b代入原方程组，求解即可．【解析】解：（1）将代入②得，解得： 将x＝2，y＝1代入①得，解得： ，∴，；（2）方程组为：，①+②得： ， ，解得： ，将代入①得： ， ，解得： ，∴方程组的解为 ．15．方程组的解满足2x－ky＝10（k是常数）．（1）求k的值；（2）求出关于x，y的方程(k－1)x＋2y＝13的正整数解．【答案】（1）；（2），【分析】（1）先求出方程组的解，再代入方程，即可求出k值；（2）把k的值代入方程得：，再根据x、y都是正整数，得到，由此求解即可．【解析】解：（1），把①×2得：③，用②+③得：，解得，把代入①，解得，∴方程组的解为：，将代入得：，解得：；（2）把代入方程得：，即，∵x、y都是正整数，∴，∴，当时，；当时，；∴关于x，y的方程的正整数解为或．16．（1）用“>”“