苏科版七年级下册8.2 幂的乘方与积的乘方学案

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知识精讲
知识点01 幂的乘方
幂的乘方：
（1）法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；
（2）符号表示：（都是正整数）；
【微点拨】
法则可推广为（都是正整数）；法则可逆运用，（都是正整数）；不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，幂的乘方是转化为指数的乘法运算，同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算。
【即学即练1】计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂乘法法则进行计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂乘法法则以及合并同类项的方法进行计算即可得到答案
（3）根据多项式与单项式的除法计算法则进行计算即可；
（4）根据幂的乘方和同底数幂乘法法则进行计算即可；
【解析】解：（1）
（2）
（3）
（4）
知识点02 积的乘方
积的乘方：
（1）法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
（2）符号表示：（是正整数）；
【微点拨】3个或3个以上的数的乘积，也适用这一法则；法则可以逆运用。
【即学即练2】如果，求m，a，b的值．
【答案】
【分析】根据积的乘方和单项式除以单项式的计算法则求解即可得到答案.
【解析】解：∵ ，
∴，
∴，
∴，
解得 ，
能力拓展
考法01 幂的乘方运算
【典例1】根据乘方的意义“”可以推导出幂的相关运算法则．
（1）下面是“积的乘方”法则的推导过程，在括号里写出每一步的依据．
因为 （_______________________________）．
= （________________________________）
（________________________________）
所以
（2）请你类比（1）的过程写出“幂的乘方”法则的推导过程（并写出每一步的依据）
【答案】（1）乘方的意义，乘法交换律、乘法结合律，乘方的意义；（2）见解析
【分析】（1）根据乘方的意义“”和乘法交换律、乘法结合律可推得结果；
（2）根据乘方的意义可得，再根据同底数幂的乘法法则可得．
【解析】解：（1）因为 （___乘方的意义____）．
= （__乘法交换律、乘法结合律_________）
（__________乘方的意义________）
所以
（2）（乘方的意义）
（同底数幂的乘法法则）
（乘法的意义或合并同类项）
考法02 积的乘方运算
【典例2】阅读材料，根据材料回答：
例如1：
.
例如2：
8×0.125＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)
＝(8×0.125)6 ＝1.
（1）仿照上面材料的计算方法计算：；
（2）由上面的计算可总结出一个规律：(用字母表示) ；
（3）用（2）的规律计算：.
【答案】(1)1；（2）；（3）.
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解；
（2）根据题意找到规律即可；
（3）逆用积的乘方法则计算即可求解．
【解析】解：（1）=
=
=
=
=.
（2）根据题意可得：
（3）
=
=
=
==.
分层提分
题组A 基础过关练
1．若，，则（ ）
A．8B．12C．15D．无法确定
【答案】B
【分析】根据积的乘方法则即可得．
【解析】解：因为，，
所以，
故选：B．
2．等于（ ）
A．-4B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用法则即可得．
【解析】解：原式，
，
，
，
，
故选：D．
3．计算：的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方运算法则以及合并同类项的方法求解即可．
【解析】解：
故选：B．
4．若x＝2m+1，y＝4m﹣3，则下列x，y关系式成立的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣4B．y＝x2﹣4C．y＝2（x﹣1）﹣3D．y＝（x﹣1）2﹣3
【答案】D
【分析】根据幂的乘方法则可得y=4m-3=22m-3，由x=2m+1可得2m=x-1，再根据幂的乘方计算即可．
【解析】解：∵x=2m+1，
∴2m=x-1，
∴y=4m-3=22m-3=（x-1）2-3，
故选：D．
5．计算：（－2xy）2＝（ ）
A．4xyB．－2x2y2C．4x2y2D．－4x2y2
【答案】C
【分析】直接利用幂的乘方和积的乘方运算法则计算得出答案．
【解析】解：=，故选C．
6．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（a2）3＝a6
C．（2x2）3＝6x6D．（﹣ab）2＝﹣a2b2
【答案】B
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解析】解：A、a3•a2＝a5，故A错误；B、（a2）3＝a6，故B正确；C、（2x2）3＝8x6，故C错误；D、（﹣ab）2＝a2b2，故D错误；故选：B．
7．计算：[（x+y）3]4＝___（结果用幂的形式表示）．
【答案】（x+y）12
【分析】直接利用幂的乘方法则计算即可．
【解析】解：[（x+y）3]4＝（x+y）12，故答案为：（x+y）12．
8．若am＝3，an＝2，则am＋2n＝_______．
【答案】12
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方逆运算法则计算即可．
【解析】解：am+2n=am•a2n=3×4=12．故答案为12．
9．若，则m的值为____________．
【答案】4
【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，即：，
∴1+2m=9，解得：m=4，
故答案是：4．
10．计算所得的结果是________．
【答案】
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解析】解：
=
=
=
故答案为：．
题组B 能力提升练
1．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则，求出每个式子的值，即可判断，得到答案．
【解析】解：A.，故此项错误；B. ，故此项错误；C. ，故此项错误；D. ，故此项正确；、故选：D．
2．已知，，那么的计算结果是（ ）
A．600B．625C．675D．695
【答案】C
【分析】逆用同底数幂的乘法以及积的乘方法则进行化简，再将，代入计算求解即可．
【解析】解：，将，代入可得：，故选：C．
3．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将所给出的条件式进行变形得出答案．
【解析】解：∵，，，
∴，，，
∵
，即
∴
故选：A
4．若x，y均为非负整数，且，则的值为（ ）
A．3或4或5B．4或5C．4成5或6D．3成4或5或6
【答案】D
【分析】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y＝7，即x+2y＝6，因为x，y均为非负整数，求出x，y，即可求出x+y．
【解析】解：∵2x+1•4y＝128，
∴2x+1•22y＝128，
∴2x+1+2y＝128，
∴x+1+2y＝7，
∴x+2y＝6，
∵x，y均为非负整数，
∴x＝6，y＝0，此时x+y＝6；
x＝4，y＝1，此时x+y＝5；
x＝2，y＝2，此时x+y＝4；
x＝0，y＝3，此时x+y＝3；
∴x+y＝3，4，5，6．
故选：D．
5．的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】解：2a2•(﹣a)3＝2a2•(﹣a3)＝﹣2a5．故选：B．
6．已知，，，那么、、之间满足的等量关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解析】A选项：，即，A错误；B选项：，即，B错误；C选项：，即，C错误；D选项：，D正确．故选：D．
7．已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A．a＜b＜c＜dB．d＜a＜c＜bC．a＜d＜c＜bD．b＜c＜a＜d
【答案】D
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及负指数幂的性质、分数的性质统一各数指数，进而比较即可．
【解析】解：∵a＝2﹣55＝（2﹣5）11＝，
b＝3﹣44＝（3﹣4）11＝，
c＝4﹣33＝（4﹣3）11＝，
d＝5﹣22＝（5﹣2）11＝
∴b＜c＜a＜d．
故选：D．
8．计算的值（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】将原式变形为，再利用同底数幂的乘法逆运算变为，然后运用乘法交换律及积的乘方的逆运算计算即可．
【解析】解：原式=
=
=
=
=
=1×
=
故选：D．
9．下列运算中，正确的有（ ）
（1）；（2）（3） （4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则计算即可.
【解析】（1），故错误；
（2），故正确；
（3），故错误；
（4），故正确，
∴正确的有2个，
故选B.
10．若，用的代数式表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等式的性质求得3m=x+1，然后再把变形为，最后把3m用x代换即可得解．
【解析】解：∵，
∴
∴
故选：D．
11．计算：
（1）1﹣4+9；
（2）4﹣（﹣2）×3；
（3）﹣4×÷（﹣）×2；
（4）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）6；（2）10；（3）8；（4）-42；（5）7；（6）-．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）先计算乘法，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（3）直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案；
（4）先算乘方，再算乘法，最后算加减；
（5）直接利用乘法分配律进而计算得出答案．
（6）先逆用积的乘方，再算乘方，乘法和除法，最后算加减．
【解析】解：（1）1﹣4+9=6；
（2）4﹣（﹣2）×3
=4+6
=10；
（3）﹣4×÷（﹣）×2
=4××2×2
=2×2×2
=8；
（4）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）
=-2×27+12
=-42；
（5）
=7；
（6）
=-．
12．计算：a•（2a2）2+a3•（﹣a2）．
【答案】．
【分析】先计算积的乘方，然后根据单项式乘法法则计算，再合并同类项即可．
【解析】解：，
=，
=，
=．
13．运用公式简便计算：．
【答案】
【分析】根据逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算计算即可．
【解析】解：
14．计算：
【答案】
【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方运算后，再合并同类项．
【解析】解：，
，
．
题组C 培优拔尖练
1．已知xm＝2，xn＝5，则x2m＋n＝___．
【答案】
【分析】根据逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算进行计算即可
【解析】 xm＝2，xn＝5，
x2m＋n
故答案为：
2．我们定义：三角形＝ab•ac，五角星＝z•（xm•yn），若＝4，则的值＝_____．
【答案】32
【分析】根据题意可得出算式，根据同底数幂的乘法得出，求出，根据题意得出所求的代数式是，再根据幂的乘方和积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
【解析】解：根据题意得：，
所以，
即，
所以
，
故答案为：32．
3．已知10a＝2，10b＝3，则102a＋3b＝______．
【答案】108
【分析】逆用同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可
【解析】解：∵10a＝2，10b＝3，
∴102a＋3b＝(10a)2•（10b)3＝4×27＝108，
故答案为108.
4．已知，那么的值为_______．
【答案】1
【分析】由题意易得，进而可得，然后问题可求解．
【解析】解：∵，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴；
故答案为1．
5．已知，则a＋2b的值为________．
【答案】5
【分析】根据幂的乘方求出3a×9b＝3a×32b，根据同底数幂的乘法得出3a×32b＝3a＋2b，再根据243＝35，由此即可求出答案．
【解析】解：∵3a×9b＝243，
∴3a×(32)b＝35，
∴3a×32b＝35，
∴3a＋2b＝35，
∴a＋2b＝5，
故答案为：5．
6．我们知道，同底数幂的乘法则为：（其中，、为正整数）类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，若，那么________．
【答案】．
【分析】根据，利用新定义规则求出，，……发现规律，按规律计算即可．
【解析】解：，
，
，
，
……
，
=．
故答案为：．
7．请回答下列问题：
（1）已知，则________．
（2）化简：__________．
【答案】4
【分析】（1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方进行化简得到，然后对变形得到，代入求解即可；
（2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；
（2）
，
故答案为： ．
8．观察下列算式：，，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律写出的末位数字是______．
【答案】2
【分析】首先发现2n的个位是2，4，8，6四个一循环，再根据幂运算的性质得811=233，33÷4=8…1，则它的个位数字是2．
【解析】等式右边的个数数字分别为，2，4，8，6，2，4，8，6…．，体现数字的重复性，周期为4，
∵，
而，
∴的末位数字和的个位数相同，即为2．
故答案为：2．
9．（1）已知，，求的值；
（2）已知，求n的值．
【答案】（1）241；（2）1
【分析】（1）根据幂的乘方变形计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法化简计算即可；
【解析】（1）∵，，
∴原式；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
10．（1）已知2x+4y﹣3＝0，求4x×16y的值．
（2）已知x2m＝2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．
【答案】（1）8；（2）14．
【分析】（1）先把4x×16y化成同底数幂相乘，再得出指数为3求解即可；
（2）先把（2x3m）2﹣（3xm）2变形为4×（x2m）3﹣9x2m，代入数值计算即可．
【解析】解：（1）由2x+4y﹣3＝0可得2x+4y＝3，
∴4x×16y
＝22x•24y
＝22x+4y
＝23
＝8；
（2）∵x2m＝2，
∴（2x3m）2﹣（3xm）2
＝4x6m﹣9x2m
＝4×（x2m）3﹣9x2m
＝4×23﹣9×2
＝4×8﹣18
＝32﹣18
＝14．
11．阅读材料，解决问题．
材料一：比较和的大小．
解：因为，而，所以，即．
小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小．
材料二：比较和的大小．
解：因为，而，所以，即．
小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．
（1）比较，，的大小：
（2）比较，，的大小．
【答案】（1）344＞433＞522；（2）8131＞2741＞961
【分析】（1）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小；
（2）根据幂的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小．
【解析】解：（1）∵344=（34）11=8111，
433=（43）11=6411，
522=（52）11=2511，
∵81＞64＞25，
∴8111＞6411＞2511，
即344＞433＞522；
（2）∵8131=（34）31=3124，
2741=（33）41=3123，
961=（32）61=3122，
∵124＞123＞122，
∴3124＞3123＞3122，
即8131＞2741＞961．
12．规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么，例如：因为，所以
（1）根据上述规定，填空：= ；= ， ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，．小明给了如下的证明：设，所以，所以,请根据以上规律：计算：．
（3）证明下面这个等式：．
【答案】（1）3，0，-2；（2）0；（3）见解析
【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；
（2）可转化为，，可转化为，，从而可求解；
（3）设，，则，，从而可得，得，即有，从而得证．
【解析】（1）解：，
；
，
；
，
．
故答案为：3，0，；
（2）解：，，
，，
，，
；
（3）证明：设，，
则，，
，
，
，
，
，
又，，，
，，
13．找规律：观察算式
13＝1
13+23＝9
13+23+33＝36
13+23+33+43＝100
…
（1）按规律填空）
13+23+33+43+…+103＝ ；
13+23+33+43+…+n3＝ ．
（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）
（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）
【答案】（1）；；（2）1622600；（3）
【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；
（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；
（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题．
【解析】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝；
13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝；
（2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103）
＝
＝1622600；
（3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503）
＝23×＝．
课程标准
课标解读
1.了解整数指数幂的意义和基本性质；
2.能进行简单的整式乘法运算。
1.理解并掌握幂的乘方运算的法则；
2.理解并掌握积的乘方运算的法则；