人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时学案，共18页。


远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增．
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
解说：这是明朝著名数学家吴敬在《九章算法比类大全》中编写的一道著名诗题．文字优美，读来琅琅上口，算来颇具趣味，题目的意思是有一座高大雄伟的宝塔，共有七层．每层都挂着红红的大灯笼，各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏．
问：这个宝塔最上面一层有多少盏灯？
知识点 等比数列前n项和的性质
(1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列．
(2)性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝q．
②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则S奇-a1S偶＝q．
③当q≠－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比是qm．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n．( )
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋k，则k＝－1．( )
[答案] (1)√ (2)√
2．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于( )
A．50 B．70
C．80 D．90
B [因为等长连续片段的和依然是等比数列，因此可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，解得前9项的和为70，故选B．]
类型1 等比数列前n项和公式的函数特征应用
【例1】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2．求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列．
[解] 法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1．
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．
∴an＝1，n=1，2×3n-1，n≥2．
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列．
法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列．
(1)已知Sn，通过an＝S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
[跟进训练]
1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n-1＋t，则t＝________．
－13 [显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝13×3n＋t，∴t＝－13．]
类型2 等比数列前n项和性质的应用
【例2】 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为( )
A．28 B．32 C．21 D．28或－21
(2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________．
[思路引导] (1)发现S2，S4，S6之间的关系，可以直接求出S4；也可以试着用公式，直接解决；
(2)尝试用S偶S奇＝q，S奇＋S偶＝S2n求解．
(1)A (2)24 [(1)法一：∵{an}为等比数列，
∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，
即7，S4－7，91－S4成等比数列，
∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21．
∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2
＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28．
法二：由条件可以看出q≠1，∴S2＝a11-q21-q，S4＝a11-q41-q，S6＝a11-q61-q，∴S6S2＝1＋q2＋q4．又S6＝91，S2＝7，
∴q4＋q2－12＝0，即q2＝3．又S4S2＝1＋q2．
∴S4＝S2(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28．
(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，
S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79．则S1S2＝q＝3，即S1＝3S2．
又S1＋S2＝S80＝32，∴43S1＝32，解得S1＝24．
即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24．]
[母题探究]
1．(变条件，变结论)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值．
[解] 法一：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，
所以(x-2)2=214-x， 14-x2=x-2y-14，
所以x=6，y=30或x=-4，y=-40(舍去)，所以S4n＝30．
法二：∵Sn＝2，S3n＝14．∴q≠1．
∴Sn＝a11-qn1-q，S3n＝a11-q3n1-q＝a11-qn1+qn+q2n1-q，
∴S3nSn＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2，
又S4n＝a11-q4n1-q，∴S4nSn＝(1＋q2n)(1＋qn)．
∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30．
2．(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
[解] 法一：∵S99＝a11-q991-q＝56，q＝2，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·1-q3331-q3＝32．
法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，
b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，
b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，
则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，
∴b1(1＋q＋q2)＝56．
∴b1＝561+2+4＝8，
∴b3＝b1q2＝8×22＝32．
即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32．
等比数列的性质及应用技巧
(1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和为Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和为Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列．
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
(3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比等于公比q，即S偶S奇＝q．
[跟进训练]
2．(1)已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是( )
A．30 B．60
C．90 D．120
(2)(源于人教B版教材)如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列前15项的和等于多少？
(1)D [设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31，
S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a31)＝3S1，
又S1＋60＝S2，则S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90，
故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120．故选D．]
(2)[解] 因为S5＝10，S10＝50，
所以S10－S5＝40，
S15－S10＝S15－50，又S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，
所以402＝10(S15－50)，
所以S15＝210．
类型3 等差数列与等比数列的综合应用
【例3】 已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是12S2和13S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项．
(1)求S2和S3；
(2)求数列{an}的前n项和；
(3)求数列{Sn}的前n项和．
[思路引导] 先利用等差中项与等比中项求出S2与S3，进而求出a1与公比q，再写出Sn，根据Sn的特点求{Sn}的前n项和．
[解] (1)根据已知条件12S2+13 S3=2，2S2·3S3=62，
整理得3S2+2S3=12，S2S3=6，解得S2=2，S3=3．
(2)因为q≠1，所以a11+q=2，a11+q+q2=3，
解得q=-12，a1=4．
所以Sn＝41--12n1+12＝83－83-12n．
(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn
＝83n－83·-121--12n1--12
＝83n＋891--12n．
与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：
(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题．
(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用．
(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．
[跟进训练]
3．已知等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b3＝a5．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
[解] (1)设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q，q>0，
因为a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b3＝a5，
所以1＋d＋1＋3d＝10，q2＝1＋4d，∴d＝2，q＝3．
因此an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，bn＝1×3n-1＝3n-1．
(2)数列{bn}的前n项和Sn＝1-3n1-3＝12(3n－1)．
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
A [在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝34S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A．]
2．已知等比数列{an}，an＝2×3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为( )
A．3n-1 B．3n
C．14(9n－1) D．34(9n－1)
D [这里a2＝6，即新数列的首项为6，公比为9．∴新数列的前n项和为Tn＝69n-19-1＝34(9n－1)．故选D．]
3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}为等比数列，已知S5＝10，且b10＝a2＋a4，则b5b15＝________．
16 [设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由S5＝10，且b10＝a2＋a4，
可得5a1＋10d＝10，b10＝2a1＋4d，
即有b10＝4，b5b15＝b102＝16．]
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________．
32 [由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列．
由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为S8-S4S4＝2，
故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)，
所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
(1)等比数列的前n项和有哪些重要性质？
[提示] ①若等比数列前n项和Sn＝A·qn＋B，那么A＋B＝0(A≠0，q≠1)．
②若项数为2n，则S偶S奇＝q(S奇≠0)；
若项数为2n＋1，则S奇-a1S偶＝q(S偶≠0)．
③等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．
(2)应用等比数列前n项和时常见的误区有哪些？
[提示] ①等比数列前n项和公式中项数的判断易出错．
②前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
课时分层作业(十) 等比数列前n项和的性质及应用
一、选择题
1．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为( )
A．8 B．－2
C．4 D．2
D [由S偶S奇＝q，可知q＝2．]
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A．18B．－18
C．578D．558
A [因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，
即8，－1，S9－S6成等比数列，
所以8(S9－S6)＝1，
即S9－S6＝18，
所以a7＋a8＋a9＝18．]
3．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
D [设这个等比数列为{an}，其项数为2m，公比为q，
∵S奇＝341，S偶＝682，∴q＝S偶S奇＝2，
∴由S奇＝a11-q2m1-q2＝341，
解得m＝5，∴2m＝10．
故这个等比数列的项数为10．]
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4S8＝13，则S8S16＝( )
A．19B．14
C．15D．215
C [由题意知等比数列{an}的公比q≠－1，
故根据等比数列的性质，知S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列．
由S4S8＝13，设S4＝m(m≠0)，
则S8＝3m，S8－S4＝2m，∴S12－S8＝4m，∴S12＝7m．
又S16－S12＝8m，
∴S16＝15m．
∴S8S16＝3m15m＝15．]
5．(多选)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝512，其前n项积为Tn，且T13＝T6，则Tn取得最大值时，n的值是( )
A．8 B．9
C．10 D．11
BC [∵等比数列a1＝512，其前n项积为Tn，且T13＝T6．
∴a7·a8·a9·a10·a11·a12·a13＝1，∴a107＝1，
∴a10＝a1·q9＝1，故q＝12．
法一：∵a10＝1，q＝12，所以前n项积有T9＝T10．
又因为an＜1(n＝11，12，…)，所以T9，T10为前n项积的最大值．
法二：∵a1＝512，q＝12．∴an＝a1·qn-1＝512×12n-1＝210-n．
当an=210-n≥1an+1=210-n+1≤1时，Tn有最大值，解得9≤n≤10．
∴n＝9或10时，Tn有最大值．故选BC．]
二、填空题
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝______，如果a1＝1，则S4＝________．
2 15 [由4a1，2a2，a3成等差数列，可得4a1＋a3＝4a2，
即4a1＋a1q2＝4a1q，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，
又因为a1＝1，则S4＝1-241-2＝15．]
7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
2 [由条件可知，S2n＝S偶＋S奇＝3S奇，∴S偶＝2S奇，
又∵S偶S奇＝q．∴q＝2．]
8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________．
2n－1 [设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则
S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，
∵S22＝S1·S4，∴(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2，
∴an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1．]
三、解答题
9．(1)设数列{xn}满足lg2xn＋1＝1＋lg2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，求S20．
(2)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，求ba1+ba2+ba3+…+ba6．
[解] (1)∵lg2xn＋1＝1＋lg2xn＝lg2(2xn)，
∴xn＋1＝2xn，且xn>0，
∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，
∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250．
(2)设数列{bn}的公比为q，则q＝2，
∵ban+1ban＝b1·qan+1-1b1·qan-1＝qan+1-an＝2，
∴{ban}是首项为b2＝2，公比为2的等比数列．
∴ba1+ba2+…+ba6＝21-261-2＝126．
10．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，{bn}是正项等比数列，若a1＝b1，a7＝b7，则( )
A．a4＝b4 B．a5＜b5
C．a8＞b8 D．a9＜b9
D [公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数，n∈N*，图象中的孤立的点在一条直线上，而等比数列{bn}的通项公式是关于n的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，当公差d＞0时，如图1所示，当公差d＜0时，如图2所示，

由图可知当a1＝b1，a7＝b7时，a4＞b4，a5＞b5，a8＜b8，a9＜b9．]
11．(多选)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A．a5＝－16
B．S5＝－63
C．数列{an}是等比数列
D．数列{Sn＋1}是等比数列
AC [因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，
所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；
因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；
又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；
因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误．故选AC．]
12．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是( )
A．{an}为单调递增数列
B．S6S3＝9
C．S3，S6，S9成等比数列
D．Sn＝2an－a1
BD [由a6＝8a3，可得q3a3＝8a3，则q＝2，当首项a1<0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误；由S6S3＝1-261-23＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，可得S62＝S9×S3，
即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，不成立，显然S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由{an}是公比为q的等比数列，可得Sn＝a1-anq1-q＝2an-a12-1＝2an－a1，所以Sn＝2an－a1，故D正确．]
13．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________．
12 2 [在等比数列的项数为奇数项时，S奇-a1S偶＝q，
即8532-22116＝12，∴公比q＝12．
又∵a1＝2，q＝12，∴a2＝1，当n≥3时，an∈(0，1)．
∴n＝1或n＝2时Tn最大，最大值为2．]
14．已知数列{an}中，a1＝2，________，其中n∈N*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an，求证：数列{bn}是等比数列；
(3)求数列{an＋bn}的前n项和Tn．
从①前n项和Sn＝n2＋n，②an＋1－2＝an，③a4＝8且2an＋1＝an＋an＋2，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
[解] (1)选①：因为a1＝2，Sn＝n2＋n，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，
当n＝1时，等式也成立，
所以an＝2n，n∈N*；
选②：由a1＝2，an＋1－2＝an，
所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以an＝2n，n∈N*；
选③：由a1＝2，a4＝8且2an＋1＝an＋an＋2，
可得数列{an}为等差数列，设公差为d，
则d＝a4-a14-1＝2，所以an＝2n，n∈N*．
(2)证明：bn＝2an＝22n＝4n，可得bn+1bn＝4n+14n＝4，
所以数列{bn}是首项和公比均为4的等比数列．
(3)an＋bn＝2n＋4n，
Tn＝(2＋4＋…＋2n)＋(4＋42＋…＋4n)＝n2＋n＋41-4n1-4＝n2＋n＋13(4n+1－4)．
15．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}满足cn＝1，n为奇数，bn2，n为偶数．求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
依题意，得3q=3+2d，3q2=15+4d，解得d=3，q=3，
故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n-1＝3n．
所以，{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n．
(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)
＝n×3+nn-12×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)
＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．
记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①
则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n+1，②
②－①得2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n+1＝－31-3n1-3＋n×3n+1＝2n-13n+1+32．
所以，a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×2n-13n+1+32＝2n-13n+2+6n2+92(n∈N*)．
学习任务
1．掌握等比数列前n项和的性质的应用．(数学运算)
2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(数学运算)