数学选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率学案

这是一份数学选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率学案，共17页。

在平面几何中，我们已经学习了两条直线平行或垂直的性质定理和判定定理．那么，在平面直角坐标系中，怎样根据两条直线的倾斜角或斜率的关系来判断两条直线的平行或垂直关系呢？
知识点1 两条直线平行与斜率之间的关系
1．两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？
提示：不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．
知识点2 两条直线垂直与斜率之间的关系
2.“两条直线的斜率之积等于－1”是“这两条直线垂直”的充要条件吗？
提示：不是．“两条直线的斜率之积等于－1”可推出“这两条直线垂直”，但两条直线垂直时，除了斜率之积等于－1，还有可能一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
1．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为________．
－8 [由题意知m-4-2-m＝－2，
解得m＝－8．]
2．l1的斜率为－23，l2经过点A(1，1)，B(0，m)，当l1⊥l2时，m的值为________．
－12 [由条件l1⊥l2得－23×m-1-1＝－1，解得m＝－12．]
类型1 两直线平行的判定及应用
【例1】 (1)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为( )
A．1 B．0 C．0或1 D．0或2
(2)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
①l1经过点A(2，3)，B(－4，0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；
②l1的斜率为－12，l2经过点A(4，2)，B(2，3)；
③l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；
④l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)．
(1)C [法一：∵A(m，3)，B(2m，m＋4)，
∴其方向向量为AB＝(m，m＋1)．
∵C(m＋1，2)，D(1，0)，
∴其方向向量为CD＝(－m，－2)，
由直线AB与直线CD平行，得m×(－2)－(m＋1)×(－m)＝0，
解得m＝0或m＝1.
经检验，m＝0或m＝1时，两直线不重合，故选C．
法二：当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在，此时AB∥CD，满足题意．
当m≠0时，kAB＝m+4-32m-m＝m+1m，kCD＝2-0m+1-1＝2m，
由题意得kAB＝kCD，即m+1m＝2m，
解得m＝1或m＝0(舍去)．
经检验，m＝0或m＝1时，两直线不重合，
∴m的值为0或1.故选C．]
(2)[解] ①kAB＝3-02--4＝12，kMN＝2-1-2--3＝1，kAB≠kMN，所以l1与l2不平行．
②l1的斜率k1＝－12，l2的斜率k2＝3-22-4＝－12，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合．
③由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1∥l2.
④由题意，知kEF＝-1-1-2-0＝1，kGH＝3-42-3＝1，kEF＝kGH，所以l1与l2平行或重合．
需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝4--13--2＝1.
所以E，F，G，H四点共线，
所以l1与l2重合．
判断两条不重合的直线是否平行的两种方法
(1)利用直线的斜率判断：
(2)利用直线的方向向量判断：求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，进而得到两条直线是否平行．
[跟进训练]
1．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A134，514，B-54，-34，C114，-194，则点D的坐标为________．
294，354 [法一：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，AB∥CD，AD∥BC．
由两直线平行的条件知kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴514+34134+54=-194-n114-m，514-n134-m=-194+34114+54，
化简，得n-3m=-13，m+n=16，
解得m=294，n=354.
∴点D的坐标为294，354.
法二：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，AB＝DC.
依题意得，AB＝-92，-272，DC＝114-m，-194-n，
因此114-m=-92，-194-n=-272，解得m=294，n=354.
∴点D的坐标为294，354．]
类型2 两条直线垂直的判定及应用
【例2】 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
[解] 若∠A为直角，则AC⊥AB，
∴kAC·kAB＝－1，
即m+12-5×1+11-5＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即1+11-5×m-12-1＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
∴kAC·kBC＝－1，
即m+12-5×m-12-1＝－1，解得m＝±2.
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．
提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．
[跟进训练]
2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[解] ∵A，B两点纵坐标不相等，
∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，
∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，m≠－3.
(1)当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1.
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
(2)当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝4-2-2m-4--m-3＝2-m+1，
kCD＝3m+2-m3--m＝2m+1m+3.
∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，
即2-m+1·2m+1m+3＝－1，
解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
类型3 两条直线平行与垂直的综合应用
【例3】 已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD．
[解] 设D(x，y)，由题意得kAB＝-1-21-2＝3，kCD＝y-0x-3＝yx-3，kBC＝2-02-3＝－2，kAD＝y+1x-1.
因为直线CD⊥AB，且BC∥AD，
所以kAB·kCD＝3·yx-3＝－1，
kBC＝kAD，即y+1x-1＝－2.
联立解得x=0，y=1，即D(0，1)．
[母题探究]
将本例中的三点变为A(1，0)，B(3，2)，C(0，4)，其他的条件不变，求点D的坐标．
[解] 设点D的坐标为(x，y)，由已知得直线AB的斜率kAB＝1，直线CD的斜率kCD＝y-4x，直线BC的斜率kBC＝－23，直线AD的斜率kAD＝yx-1，由AB⊥CD，且AD∥BC，
得y-4x×1=-1，-23=yx-1，解得x=10，y=-6，
所以点D的坐标为(10，－6)．
关于直线平行与垂直的综合应用
(1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解．
(2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论．
[跟进训练]
3．已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
[解] ①若∠A＝∠D＝90°，如图1，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．

②若∠A＝∠B＝90°，如图2.设A(a，b)，
则kBC＝－3，kAD＝b-2a-1，kAB＝b+1a-6.
由AD∥BC⇒kAD＝kBC，即b-2a-1＝－3；由AB⊥BC⇒kAB·kBC＝－1，即b+1a-6·(－3)＝－1.解得a=125，b=-115，故A125，-115.
综上所述，A点坐标为(1，－1)或125，-115.
1．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是( )
A．13 B．－13 C．2 D．－2
B [由kPQ＝kMN，
即2m-23--m＝4--1-3-2，得m＝－13.
经检验知，m＝－13符合题意．]
2．对于两条不重合的直线，下列说法不正确的是( )
A．若两直线斜率相等，则两直线平行
B．若l1⊥l2，则k1·k2＝－1
C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交
D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行
B [当k1＝k2时，l1与l2平行，A正确；B中也可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，不正确；C，D正确．]
3．(多选)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面结论中正确的是( )
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．RP⊥QS
ABD [由斜率公式知：
kPQ＝-4-26+4＝－35，kSR＝12-62-12＝－35，kPS＝12-22+4＝53，kQS＝12+42-6＝－4，kPR＝6-212+4＝14，
所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.而kPS≠kQS，
所以PS与QS不平行，故A、B、D正确．]
4．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
－1 [若a＝3－b，则P，Q两点重合，不合题意．
故PQ斜率存在．
由kPQ＝3-a-b3-b-a＝1，
得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？
提示：两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在．
2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？
提示：两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
3．经过A，B两点的直线其斜率不存在，则A，B两点的坐标有什么特点？
提示：A，B两点横坐标相同，纵坐标不相同．
课时分层作业(十二) 两条直线平行和垂直的判定
一、选择题
1．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
C [易知kAB＝-1-12+1＝－23，kAC＝4-11+1＝32，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．故选C．]
2．(多选)已知两条不重合的直线l1，l2，下列说法正确的是( )
A．l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则“α1＝α2”是“l1∥l2”的充要条件
B．l1，l2的斜率分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的充分不必要条件
C．若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2
D．l1，l2是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则l1＝l2
ABC [由于两直线不重合，倾斜角相等，故两直线平行，反之亦成立，从而A正确；当k1＝k2时，两直线的倾斜角相等，故l1∥l2，而l1∥l2，也有可能l1与l2的斜率不存在，从而B正确；直线l1，l2的斜率不存在，则其倾斜角均为90°，从而l1∥l2, 从而C正确；若l1∥l2，则两直线的方向向量l1，l2可能同向，也可能反向，从而D错误．故选ABC．]
3．(多选)已知两条直线l1，l2，有如下说法，其中正确的是( )
A．直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且k1·k2＝－1，则l1⊥l2
B．直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在且为0，则l1⊥l2
C．若直线l1与l2相交，则必有k1≠k2
D．直线l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，若k1≠k2，则l1与l2一定相交
ABD [l1，l2的斜率都存在，且斜率之积为－1，则l1⊥l2，A正确；直线l1的斜率不存在，直线l1与x轴垂直，直线l2的斜率存在且为0，直线l2与x轴平行或重合，B正确；直线l1与l2相交，但斜率不一定存在，C错误；直线l1，l2的斜率存在，若k1≠k2，则l1与l2一定相交，D正确．故选ABD．]
4．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．可能重合 D．无法确定
B [由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立，
故方程有两个相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在，且不相等．设方程的两根分别为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．]
5．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A．(－3，1) B．(4，1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
A [如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B．
根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．]
二、填空题
6．已知直线l1的斜率k1＝34，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a＝________．
1或3 [∵kAB＝a2+1--20-3a＝a2+3-3a，又l1⊥l2，
∴a2+3-3a×34＝－1，得a＝1或a＝3．]
7．已知l1，l2不重合，过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线l1与直线l2平行，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－1n，若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为________．
－10 [由题意可得，直线l1的斜率为4-mm+2，直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，所以4-mm+2＝－2，解得m＝－8.
由于直线l3的斜率为－1n，因为l2⊥l3，
所以(－2)·-1n＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10．]
8．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________．
(－19，－62) [设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH，且kBH＝－15，kCH＝－13，
所以y-3x+6=5，y-1x-2=3，解得x=-19，y=-62.
所以A(－19，－62)．]
三、解答题
9．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
[解] A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝5-32--4＝13，kCD＝0-3-3-6＝13，kAD＝0-3-3--4＝－3，kBC＝3-56-2＝－12，
∴kAB＝kCD，
由图可知AB与CD不重合，
∴AB∥CD．
由kAD≠kBC，
∴AD与BC不平行．
又kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，
∴AB⊥AD．
故四边形ABCD为直角梯形．
10．将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2，0)与点(－2，4)重合，点(2 021，2 022)与点(m，n)重合，则m＋n＝( )
A．1 B．2 023 C．4 043 D．4 046
C [设A(2，0)，B(－2，4)，则点A，B所在直线的斜率为kAB＝4-0-2-2＝－1.由题意，知过点(2 021，2 022)，(m，n)的直线与直线AB平行，所以n-2 022m-2 021＝－1，整理得m＋n＝2 021＋2 022＝4 043.故选C．]
11．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是( )
A．19 B．194 C．5 D．4
B [由O，A，B，C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补，又由题意得∠COA＝90°，所以∠CBA＝90°，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即4-03-2×4-y3-0＝－1，解得y＝194.故选B．]
12．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3，2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________．
－2 [依题意，知直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有2+13-a＝1，所以a＝0.又直线l2与l1平行，所以1＝－2b，即b＝－2，所以a＋b＝－2．]
13．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________．
－2 2 [由根与系数的关系，知k1k2＝m2，
若l1⊥l2，则k1k2＝m2＝－1，得m＝－2；
若l1∥l2，则k1＝k2，
∴Δ＝16－8m＝0，得m＝2．]
14．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)．
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
[解] (1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
即yx-3×3＝－1.①
由已知得kPN＝－2，
由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
即y+1x-1＝－2.②
联立①②求解得x＝0，y＝1，即Q(0，1)．
(2)设Q(x，0)，
∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP.
又∵kNQ＝22-x，kNP＝－2，
∴22-x＝2，即x＝1，
∴Q(1，0)．
又∵M(1，－1)，
∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
15．已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达l1的位置，此时直线l1与直线l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________．
4＋3 [如图所示，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝3.
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时直线l2的斜率为0，不满足l1与l2平行；
当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝m-1-21-m＝m-31-m，所以线段AB的垂直平分线l2的斜率k2＝m-1m-3.由于l1与l2平行，所以k1＝k2，即3＝m-1m-3，得m＝4＋3．]
学习任务
1．理解两条直线平行与垂直的条件．(数学抽象)
2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理)
3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算)
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1＝k2
l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
图示
图示
对应
关系
l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2