高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程学案及答案，共17页。

我们知道，两点可以确定一条直线，因此，直线上其他的任意一点的位置都可以由已知两点确定，即直线上任意其他点的坐标和已知两点的坐标都存在着恒定的数量关系．
如图所示，已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，对于直线l上其他的任意一点Q(x，y)，A，B，Q三点坐标间的数量关系是怎样的呢？
知识点1 直线的两点式方程
两点式方程也可写成y-y2y1-y2＝x-x2x1-x2，需注意等号左右两边的字母、下标必须对应，不能乱写，并注意x1≠x2，y1≠y2.
知识点2 直线的截距式方程
(1)直线在x轴上的截距
把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距．
(2)直线的截距式方程
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距，所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便．
1．过点(1，2)，(5，3)的直线方程是( )
A．y-25-1＝x-13-1 B．y-23-2＝x-15-1
C．y-15-1＝x-35-3 D．y-32-3＝x-15-1
B [所求直线过点(1，2)，(5，3)，将两点坐标代入两点式，得y-23-2＝x-15-1．]
2．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是________．
－b2 [直线的截距式方程为xa2＋y-b2＝1，因此直线在y轴上的截距是－b2．]
3．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．
－32 [直线方程为y-91-9＝x-3-1-3，化为截距式为x-32＋y3＝1，则在x轴上的截距为－32．]
类型1 直线的两点式方程
【例1】 (源自湘教版教材)如图所示，已知三角形的三个顶点为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[解] (1)过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为y--4-2--4＝x-50-5.
整理得2x＋5y＋10＝0.
这就是BC边所在直线的方程．
(2)BC中点M的坐标为5+02，-4+-22＝52，-3.
过A(－3，2)，M52，-3的直线的两点式方程为y-2-3-2＝x--352--3.
整理得10x＋11y＋8＝0.
这就是BC边上的中线AM所在直线的方程．
利用两点式求直线的方程
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件．
若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
注意：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写出方程．
[跟进训练]
1．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求直线的方程．
[解] 由直线经过点A(1，0)，B(m，1)知，该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当m＝1时，直线斜率不存在，直线方程为x＝1；
(2)当m≠1时，直线斜率存在，利用两点式，可得直线方程为y-01-0＝x-1m-1，
即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
类型2 直线的截距式方程
【例2】 求过点A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
[解] (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为xa＋y-a＝1.
又l过点A(3，4)，所以3a＋4-a＝1，解得a＝－1.
所以直线l的方程为x-1＋y1＝1，即x－y＋1＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点A(3，4)，所以4＝3k，解得k＝43，直线l的方程为y＝43x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
[母题探究]
1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？
[解] (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，设直线l的方程为xa＋y-a＝1，又l过点A(－3，－4)，
所以-3a＋-4-a＝1，解得a＝1.
所以直线l的方程为x1＋y-1＝1，即x－y－1＝0.
(2)当直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过(－3，－4)，
所以－4＝k·(－3)，
解得k＝43.
所以直线l的方程为4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0.
2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？
[解] (1)当截距不为0时，设直线l的方程为xa＋ya＝1，
又l过(3，4)，∴3a＋4a＝1，解得a＝7，
∴直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为
y＝kx，又l过(3，4)，∴4＝k·3，
解得k＝43，∴直线l的方程为y＝43x，即4x－3y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
零截距的重要性
如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况．
[跟进训练]
2．(2022·杭州高级中学高二月考)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
[解] 法一：设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为xa＋yb＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴4a＋-3b＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝4k+3k.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝4k+3k，解得k＝1或k＝－1或k＝－34.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
类型3 直线方程的灵活应用
【例3】 过点P(1，4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点．
(1)若△ABO的面积为9，求直线l的方程；
(2)若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程．
[解] 设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，
则由直线的截距式方程得直线l的方程为xa＋yb＝1.将P(1，4)代入直线l的方程，得1a＋4b＝1.(*)
(1)依题意得，12ab＝9，
即ab＝18，由(*)式得，b＋4a＝ab＝18，从而b＝18－4a，
∴a(18－4a)＝18，整理得，2a2－9a＋9＝0，解得a1＝3，a2＝32，对应的b1＝6，b2＝12，因此直线l的方程为x3＋y6＝1或x32＋y12＝1，整理得，2x＋y－6＝0或8x＋y－12＝0.
(2)由题意得S＝12ab＝12ab1a+4b2＝12×8+ba+16ab≥12×8+2ba·16ab＝12×(8＋8)＝8，
当且仅当ba＝16ab，即a＝2，b＝8时取等号，因此直线l的方程为x2＋y8＝1，即4x＋y－8＝0.
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取直线的点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距；
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用直线的截距式方程．
注意：不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
[跟进训练]
3．如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？
[解] 在线段EF上取一点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，则矩形PQCR即为要建的矩形草坪，
设矩形PQCR的面积是S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又因为m30＋n20＝1(0≤m≤30)，
所以n＝201-m30，
故S＝(100－m)80-20+23m
＝－23(m－5)2＋18 0503(0≤m≤30)，
当m＝5时，S有最大值，此时EPPF＝30-55＝5，即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大．
1．已知直线l的两点式方程为y-0-3-0＝x--53--5，则l的斜率为( )
A．－38 B．38 C．－32 D．32
A [由两点式方程y-0-3-0＝x--53--5，知直线l过点(－5，0)，(3，－3)，所以l的斜率为0--3-5-3＝－38．]
2．直线x3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )
A．1 B．－1 C．7 D．－7
B [直线x3－y4＝1的横截距为3，纵截距为－4，
所以直线x3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为－1．]
3．经过两点M(4，3)，N(1，5)的直线交x轴于点P，则P点的坐标是________．
172，0 [由直线的两点式方程，得MN所在直线的方程为y-35-3＝x-41-4，即2x＋3y－17＝0.
令y＝0，得x＝172，故P点坐标为172，0．]
4．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________．
2x－y＝0或x－y＋1＝0 [当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0.
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为xa－ya＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出直线的两点式方程．
提示：y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1.
2．试写出直线的截距式方程．
提示：xa＋yb＝1.
3．如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题？
提示：可设直线的截距式方程求解，应注意当截距为0时，直线过原点，不能用截距式方程表示.
课时分层作业(十四) 直线的两点式方程
一、选择题
1．经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为( )
A．x＝2 B．y＝2
C．x＝3 D．x＝6
B [由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线MN的方程为y＝2.故选B．]
2．(多选)求过两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线方程时，有下列说法，其中正确的是( )
A．当x1＝x2时，直线的方程为x＝x1
B．当y1＝y2时，直线的方程为y＝y1
C．直线的方程为y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1
D．方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)可表示平面内过P(x1，y1)，Q(x2，y2)的所有直线
ABD [当x1＝x2时，直线PQ与x轴垂直，A正确；当y1＝y2时，直线PQ与y轴垂直，B正确；当x1≠x2且y1≠y2时，直线的方程为y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1，C错误，D正确．故选ABD．]
3．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
A [点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得y-24-2＝x-32-3，
即2x＋y－8＝0．]
4．(多选)过点(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )
A．y＝32x B．x＋y＝5
C．y＝－32x D．x＋y＋5＝0
AB [设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.
当a＝b≠0时，直线方程为xa＋ya＝1，
∴2a＋3a＝1，
∴a＝5，∴x＋y＝5；当a＝b＝0时，k＝32，
∴y＝32x.综上所述，y＝32x或x＋y＝5．]
5．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(单位：元)与行李重量x(单位：kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为( )
A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg
C [由题图知点A(60，6)，B(80，10)，由直线的两点式方程，得直线AB的方程是y-610-6＝x-6080-60，即y＝15x－6.令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李．]
二、填空题
6．以点P(5，8)和Q(3，－4)为端点的线段的方程是________．
6x－y－22＝0(3≤x≤5) [过两点P(5，8)，Q(3，－4)的线段的方程是y-8-4-8＝x-53-5(3≤x≤5)，即6x－y－22＝0(3≤x≤5)．]
7．若直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为________．
x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0 [由题意可设直线l的方程为xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)，则a＋b＝12①.
因为直线l过点(－3，4)，所以-3a＋4b＝1②.
由①②解得a=9，b=3或a=-4，b=16.
故直线l的方程为x9＋y3＝1或x-4＋y16＝1，即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0．]
8．直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．
(－∞，－1)∪12，+∞ [设直线的斜率为k；如图，
过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1过定点A的直线经过点C(－3，0)时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝12，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪12，+∞．]
三、解答题
9．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
[解] (1)设C(x，y)，∵A(－1，2)，B(4，3)，
∴AC的中点坐标为Mx-12，y+22，
BC的中点坐标为Nx+42，y+32，
又AC中点在y轴上且BC中点在x轴上，
∴x＝1，y＝－3，故C(1，－3)．
(2)由(1)可知M0，-12，N52，0，
由截距式方程得x52＋y-12＝1，
整理得MN的方程为2x－10y－5＝0.
10．(多选)已知直线l过点(1，2)，且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可以是( )
A．2x－y＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＝0 D．x－y＋1＝0
ABD [由题意设所求直线的横截距为a.
①当a＝0时，由题意可设直线的方程为y＝kx，将(1，2)代入可得k＝2，∴直线的方程为2x－y＝0；
②当a≠0时，由截距式方程可得直线的方程为xa＋ya＝1(截距相等)或xa＋y-a＝1(截距相反)，将(1，2)代入可得a＝3或a＝－1，
∴直线的方程为x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.故选ABD．]
11．已知点A(4，0)，B(0，2)，若点C(a，b)在线段AB(不含端点)上，则1a+1－b的最小值为( )
A．2－52 B．2－32
C．32－2 D．52－2
A [由点A(4，0)，B(0，2)可得直线AB的方程为x4＋y2＝1.
因为点C(a，b)在线段AB(不含端点)上，
所以a4＋b2＝1(a>0，b>0)，
所以1a+1－b＝1a+1－2＋a2＝1a+1＋a+12－52≥21a+1·a+12－52＝2－52，当且仅当1a+1＝a+12，即a＝2－1时等号成立．故选A．]
12．直线xm－yn＝1与xn－ym＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

A B C D
B [易知直线xm－yn＝1的斜率为nm，直线xn－ym＝1的斜率为mn，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足题意．]
13．(2022·四川眉山高二期中)光线从点A(－3，4)射出，到x轴上的点B后被x轴反射到y轴的点C上，又被y轴反射，这时反射线恰好经过点D(－1，6)，则BC所在的直线方程为________．
5x－2y＋7＝0 [由题意可知点A关于x轴的对称点为A′(－3，－4)，
点D关于y轴的对称点为D′(1，6)．
由入射角等于反射角及对顶角相等可知，点A′，D′都在直线BC上，
∴直线BC的方程为y+46+4＝x+31+3，即5x－2y＋7＝0.
]
14．已知A(－2，0)，P(1，3)，B(5，0)．
(1)求过点B且与直线AP垂直的直线方程；
(2)经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3∶4两部分，求直线l的方程．
[解] (1)∵A(－2，0)，P(1，3)，∴kAP＝0-3-2-1＝1，
∴过点B(5，0)且与直线AP垂直的直线方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.
(2)设直线l与x轴相交于点M(x，0)，
∵经过点P的直线l把△PAB的面积分割成3∶4两部分，
∴MBMA＝34或43.
∴x--25-x＝34或x--25-x＝43，
解得x＝1或x＝2.∴M(1，0)或M(2，0)，
∴直线l的方程为x＝1或3x＋y－6＝0.
15．(2022·陕西师大附中高二月考)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
[解] 由题意知直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l在两坐标轴上的截距相等，设为a(a≠0)，则直线方程为xa＋ya＝1，即x＋y－a＝0.因为12|a|·|a|＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以直线方程为x＋y±6＝0.若l在两坐标轴上的截距互为相反数，设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，故直线方程为xa＋y-a＝1，即x－y－a＝0.因为12|－a|·|a|＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以直线方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
学习任务
1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象)
2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象)
3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)
名称
两点式
已知条件
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
方程
_y-y1y2-y1＝x-x1x2-x1
使用范围
不表示垂直于坐标轴的直线
名称
截距式
已知条件
在x，y轴上的截距分别为a，b
示意图
方程
xa＋yb＝1
使用范围
不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线