高考数学二轮复习专题复习之小题强化练(五)

小题强化练(五)　

一、单项选择题

1．已知集合A＝{1，3，4，5}，集合B＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，则A∩B的元素个数为(　　)

A．1  B.2

C．3  D．4

2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r，如下表：

则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？(　　)

A．甲  B.乙

C．丙  D．丁

3．在平面直角坐标系xOy中，点P(，1)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是(　　)

A．(－，1)  B.(－1，)

C．(－，1)  D．(－1，)

4．“a<1”是“∀x>0，≥a”的(　　)

A．充分不必要条件  B.必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为(　　)

6.

玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭反山文化遗址．玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm，外径17.6 cm.琮体四面均琢刻有完整的兽面神人图象．兽面的两侧各浅浮雕鸟纹．器体呈矮方柱形，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)(　　)

A．6 250  B.3 050

C．2 850  D．2 350

7．定义在R上的偶函数f(x)＝2|x－m|－1，记a＝f(－ln 3)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则(　　)

A．a<b<c  B.a<c<b

C．c<a<b  D．c<b<a

8.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(x0，2)(x0>)是抛物线C上一点．以P为圆心的圆与线段PF相交于点Q，与过焦点F且垂直于对称轴的直线交于点A，B，|AB|＝|PQ|，直线PF与抛物线C的另一交点为M，若|PF|＝|PQ|，则＝(　　)

A．1  B.

C．2  D．

二、多项选择题

9．已知双曲线－＝sin2θ(θ≠kπ，k∈Z)，则不因θ改变而变化的是(　　)

A．焦距   B.离心率

C．顶点坐标  D．渐近线方程

10．下图是《2018年全国教育事业发展统计公报》中1949－2018年我国高中阶段在校生数条形图和毛入学率的折线图，根据下图可知在(　　)

A．1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高

B．从1990年开始，我国高中阶段的在校生数和毛入学率在逐年增高

C．2010年我国高中阶段在校生数和毛入学率均达到了最高峰

D．2018年高中阶段在校生数比2017年下降了约0.91%，而毛入学率提高了0.5个百分点

11．已知函数f(x)对任意的x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，若f(a)＝－f(2 020)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上为单调函数，则下列结论正确的是(　　)

A．f(3)＝0

B．a＝8

C．f(x)是周期为4的周期函数

D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

12.如图，点O是正四面体P­ABC底面ABC的中心，过点O的直线分别交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则(　　)

A．若MN∥平面PAB，则AB∥RQ

B．存在点S与直线MN，使PC⊥平面SRQ

C．存在点S与直线MN，使·(＋)＝0

D.＋＋是常数

三、填空题

13．已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a的值为________．

14．(＋)8的展开式中x2项的系数是________．(用数字作答)

15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是偶函数，将y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．已知y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2π且y＝g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为－2，则g(x)在[0，π]上的最大值为________．

16．定义函数f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]＝1，[－1.5]＝－2，[2]＝2，当x∈[0，n)(n∈N*)时，f(x)的值域为An.记集合An中元素的个数为an，则 的值为________．

小题强化练(五)

1．解析：选C.由题意知B＝{x∈Z|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，

所以A∩B＝{1，3，4}，

所以A∩B中有3个元素．

2．解析：选D.根据题意可知，丁同学的相关系数r的绝对值|r|＝0.87，最大，所以丁同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性．故选D.

3．解析：选D.设Q(x，y)，由题易知，x<0，y>0，

·＝0，则(，1)·(x，y)＝0，即x＋y＝0，

又x2＋y2＝()2＋1＝4，联立可得即Q(－1，)，故选D.

4．解析：选A.当x>0时，＝x＋≥2＝2，

当且仅当x＝1时等号成立．

若∀x>0，≥a，则a≤2.

故“a<1”是“∀x>0，≥a”的充分不必要条件，故选A.

5．解析：选A.当x∈[－π，π]时，

f(－x)＝＝－＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数，故排除D.

又当x∈(0，π)时，x>sin x，故此时f(x)＝>0，

结合选项可知，只有选项A符合题意，故选A.

6．解析：选D. 由题意可知，神人纹玉琮王的体积近似为长方体的体积减去小圆柱的体积，得V＝17.6×17.6×8.8－π××8.8≈2 560(cm3)，结合选项以及该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可以估计该神人纹玉琮王的体积约为2 350 cm3，故选D.

7．解析：选C.根据题意，由偶函数的定义f(－x)＝f(x)，可知2|x－m|－1＝2|－x－m|－1，

解得m＝0，则f(x)＝2|x|－1＝

则函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．

易知a＝f(－ln 3)＝f(ln 3)，b＝f(log25)，c＝f(20)＝f(1)，

因为0<1<ln 3<2<log25，

所以c<a<b.故选C.

8．解析：选B.连接PA，PB，设圆的半径为r，

则|AB|＝|PQ|＝|PB|＝|PA|＝r，

所以△PAB为正三角形，

所以x0＝，由抛物线的定义及|PF|＝|PQ|，

可得＝r，

化简得到＝，

因为P，F，

所以直线PF的方程为y＝，

联立方程组

消去y可得x2－x＋＝0，由根与系数的关系可知x0xM＝，

所以xM＝＝＝＝，

由抛物线的定义可知|FM|＝xM＋＝，

所以＝＝·＝×＝.故选B.

9．解析：选BD.由题得双曲线方程可化为－＝1，

所以a2＝4sin2θ，b2＝2sin2θ，c2＝6sin2 θ，

则e2＝1＋＝，

渐近线方程为y＝±x＝±x，

所以不因θ改变而变化的是离心率和渐近线方程．故选BD.

10．解析：选AD.由题图可知，1978年我国高中阶段的在校生数和毛入学率比建国初期大幅度提高，A正确；

2012年与2010年相比，2015年与2012年相比在校生人数均有所下降，所以B错误；

2010年我国高中阶段在校生数达到了最高峰，2018年毛入学率最高，C错误；

2018年高中阶段在校生数比2017年下降了×100%≈0.91%，而毛入学率提高了0.5个百分点，D正确．故选AD.

11．解析：选AB.因为函数f(x)对任意的x∈R，满足f(x)＝－f(6－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)，

所以函数f(x)＝－f(6－x)＝－f(－(x－5)＋1)＝－f(x－5＋1)＝－f(x－4)，

所以f(x－4)＝－f(x)，

所以f(x－8)＝f(x－4－4)＝－f(x－4)＝f(x)，故8为函数f(x)的周期，故C错误；

f(a)＝－f(2 020)＝－f(252×8＋4)＝－f(4)＝－f(3＋1)＝－f(－2)＝－[－f(6－(－2))]＝f(8)，

因为a∈[5，9]且函数f(x)在区间[5，9]上单调，

所以a＝8，故B正确；

因为f(x)＝－f(6－x)，

所以f(3)＝－f(6－3)＝－f(3)，

所以f(3)＝0，故A正确；

因为f(x＋1)＝f(－x＋1)，

所以直线x＝1为函数f(x)图象的对称轴，故D错误．故选AB.

12．解析：选ABD.A选项，因为MN∥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，

所以MN∥AB.又平面SQR∩平面PAB＝QR，

所以MN∥QR，

所以AB∥QR，A正确．

B选项，取PC的中点G，连接AG，BG，则AG⊥PC，BG⊥PC，AG∩BG于点G，所以PC⊥平面ABG，当M，N，S分别为AC，BC，GC的靠近点A，B，G的三等分点时，MS∥AG，SN∥BG，则平面ABG∥平面SMN，

所以存在点S与直线MN，使PC⊥平面SRQ，B正确．

C选项，因为·(＋)＝·＋·＝||·||·cos 60°＋||·||·cos 60°

＝||(||＋||)>0，所以C错误．

D选项，＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝(＋＋)，＝，＝，＝，

设||＝x，||＝y，||＝z，

则＝＋＋，

因为O，Q，R，S四点共面，

所以＋＋＝1，

所以＋＋＝，

所以＋＋＝，得证．

故选ABD.

13．解析：因为＝＝－i是纯虚数，

所以解得a＝.

答案：

14．解析：(＋)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x)8－r·＝2r·C·x，

令＝2，

得r＝2，所以的展开式中x2项的系数是22·C＝112.

答案：112

15．解析：因为函数f(x)是偶函数且0<φ<π，

所以φ＝，

所以函数f(x)＝Asin(ωx＋)＝Acos ωx.

将函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，可得y＝Acos ω(x＋)，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

可得g(x)＝Acos，设g(x)的最小正周期为T，

因为y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2π，

所以＝2π，

所以T＝4π，

即＝4π，解得ω＝1.

又函数y＝g(x)的图象在其某对称轴处对应的函数值为－2，则A＝2，

所以g(x)＝2cos.

因为0≤x≤π，

所以≤x＋≤，

所以当x＋＝，

即x＝0时，函数g(x)在区间[0，π]上取得最大值，且g(x)max＝2×＝.

答案：

16．解析：因为[x]表示不超过x的最大整数，

所以[x]＝

则有x[x]＝

则[x[x]]在各区间中的元素个数是1，1，2，3，…，n－1.

故an＝1＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＝1＋，

＝(n≥2)，

则 ＝＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝2

＝2＝.

答案：