专题4.12 指数函数与对数函数全章综合测试卷-基础篇 高中数学培优讲义练习（必修一）

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第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷-基础篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·江西·高三阶段练习）函数y=loga(x-1)+2过定点（    ）A．(1,0) B．(1,1) C．(2,2) D．(2,0)【解题思路】根据函数y=logax恒过点(1,0)，令x-1=1，即得解.【解答过程】由于函数y=logax恒过点(1,0)，令x-1=1，则x=2，y=loga1+2=2，故函数恒过定点(2,2).故选：C.2．（5分）（2022·江苏省高一阶段练习）化简3a2a−1÷3a−83a15÷3a−3a−1的结果为（    ）A．a−1 B．a−2 C．1 D．a【解题思路】先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质计算即可.【解答过程】3a2a−1÷3a−83a15÷3a−3a−1=3a2a−12÷a−83a5÷3a−32a−12=3a32÷a73÷3a−2=a12÷a76÷a−23=a12−76÷a−23=a−23÷a−23=1故选：C.3．（5分）（2022·安徽·高三阶段练习）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A⋅h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式C=In⋅t，其中n=log322为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流I=10A时，放电时间t=56h，则当放电电流I=15A时，放电时间为（    ）A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h【解题思路】根据题意求出蓄电池的容量C，再把I=15A代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【解答过程】由C=Ilog322t，得I=10时，t=56，即10log322⋅56=C；I=15时，C=15log322⋅t；∴10log322⋅56=15log322⋅t，∴t=23log322⋅56=32-log322⋅56=2-1⋅56=12×56=28.故选：A.4．（5分）（2021·甘肃·高一期中）已知函数f(x)=ln(x+2)+2x-m的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：由二分法，方程ln(x+2)+2x-m=0的近似解（精确度为0.05）可能是（    ）A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066【解题思路】按照二分法的方法流程进行计算，根据f(a)⋅f(b)<0的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．【解答过程】由题意得f(x)=ln(x+2)+2x-m在区间(0,+∞)上单调递增，设方程ln(x+2)+2x-m=0的解的近似值为x0，由表格得f(0.53125)⋅f(0.5625)<0，所以x0∈(0.53125,0.5625),因为|0.53125-0.5625|=0.03125<0.05，所以方程的近似解可取为0.5625．故选：C.5．（5分）（2022·广东·高三阶段练习）设fx=12x，x∈R，那么fx是（    ）A．奇函数且在-∞,0上是增函数 B．偶函数且在-∞,0上是减函数C．奇函数且在-∞,0上是减函数 D．偶函数且在-∞,0上是增函数【解题思路】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断f(x)在-∞,0上的单调性即可.【解答过程】∵fx=(12)x，x∈R，∴f-x=(12)-x=(12)x=fx，故fx为偶函数,当x<0时，fx=2x，是增函数，故选：D．6．（5分）（2022·山东·高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（    ）A．2.30.7>0.83.1 B．0.7−2.5>0.7−2.9C．1.90.3>1.90.6 D．2.70.9<2.70.3【解题思路】根据指数函数的单调性即可比较B,C,D,由中间值法可求解A.【解答过程】对于A,由于2.30.7>2.30=1 ，0.83.1<0.80=1，故2.30.7>0.83.1,故正确，对于B,由于y=0.7x为单调递减函数，所以0.7-2.5<0.7-2.9 ，故错误，对于C，由于y=1.9x为单调递增函数，所以1.90.3<1.90.6，故错误，对于D，由于y=2.7x为单调递增函数，所以2.70.9>2.70.3，故错误,故选：A.7．（5分）（2022·北京·高一阶段练习）若a=log60.6，b=1.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是（    ）A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系【解答过程】∵a=log60.61.10=1，0=log0.51c>a.故选：B.8．（5分）（2022·河南信阳·一模（理））已知函数f(x)=log0.5x2-ax+3a在(2,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围（    ）A．(-∞,4] B．[4,+∞) C．[-4,4] D．(-4,4]【解题思路】令g(x)=x2-ax+3a，则函数g(x)在(2,+∞)内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围【解答过程】解：令g(x)=x2-ax+3a，∵ f(x)=log0.5x2-ax+3a在(2,+∞)上单调递减，∴ g(x)在(2,+∞)内递增，且恒大于0，∴a2≤2且g(2)≥0，∴-4≤a≤4．故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·全国·高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）A．−x=−x12 B．6y2=y13y<0C．х−13=13xx>0 D．3−x234=x12x>0【解题思路】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.【解答过程】−x=−x12x≥0，而−x12=−xx≤0，故A错误；6y2=−y13y<0，故B错误；x−13=13xx>0，故C 正确；3−x234=x2×13×34=x12x>0，故D正确.故选：CD.10．（5分）（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（    ）A．log38log35=log85 B．3a2⋅a3=a136C．若a+a−1=14，则a12+a−12=3 D．12−log27+lnlne=7【解题思路】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.【解答过程】解：对于选项A，由换底公式可得log38log35=log58，故A不正确；对于选项B，3a2⋅a3=a23⋅a32=a23+32=a136，故B正确；对于选项C，设a12+a−12=t t>0，两边分别平方可得a+a−1+2=t2，因为a+a−1=14，所以t2=16，故a12+a−12=4，故C不正确；对于选项D，12−log27+lnlne=2log27+ln1=7+0=7，故D正确．故选：BD．11．（5分）（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在−1,1上的函数fx=−2⋅9x+4⋅3x，则下列结论中正确的是（　　）A．fx的单调递减区间是0,1 B．fx的单调递增区间是−1,1C．fx的最大值是f0=2 D．fx的最小值是f1=−6【解题思路】首先换元，设t=3x，x∈−1,1，y=−2t2+4t=−2t−12+2，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.【解答过程】设t=3x，x∈−1,1，则t=3x是增函数，且t∈13,3，又函数y=−2t2+4t=−2t−12+2在13,1上单调递增，在1,3上单调递减，因此fx在−1,0上单调递增，在0,1上单调递减，故A正确，B错误；fxmax=f0=2，故C正确；f−1=109，f1=−6，因此fx的最小值是−6，故D正确．故选:ACD．12．（5分）（2022·浙江·高一期末）关于函数f(x)=ln1−x1+x，下列说法中正确的有（    ）A．fx的定义域为−∞,−1∪1,+∞B．fx为奇函数C．fx在定义域上是减函数D．对任意x1，x2∈−1,1，都有fx1+fx2=fx1+x21+x1x2【解题思路】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断【解答过程】对于A，由1−x1+x>0得−1b>c ．【解题思路】利用指数函数以及对数函数的性质判断a,b,c的取值范围，即得答案.【解答过程】因为a=20.7>20=1，b=130.7=3-0.7∈(0,1)，c=log213=-log23<0，故a>b>c，故答案为：a>b>c.15．（5分）（2022·全国·高一专题练习）设不等式4x−m4x+2x+1≥0对于任意的x∈0,1恒成立，则实数m的取值范围是 (−∞,13] ．【解题思路】参变分离可得m≤11+12x+14x，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出11+12x+14x的取值范围，即可得解.【解答过程】解：由4x−m4x+2x+1≥0，得m4x+2x+1≤4x，即m≤4x4x+2x+1=11+12x+14x，  ∵x∈0,1，∴12x∈12,1，则12x2+12x+1=12x+122+34∈74,3，∴11+12x+14x∈13,47，则m≤13，即m∈−∞,13．故答案为：−∞,13.16．（5分）（2022·云南省高一阶段练习）已知函数 fx 是定义在 1-2a，a+1 上的偶函数，当 0⩽x⩽a+1 时， fx=x-3x+1. 若flog2m>1， 则 m 的取值范围是 18，14∪4，8 .【解题思路】由奇偶性得a的值，再根据函数的奇偶性与单调性化简后求解，【解答过程】由题意可得1-2a+a+1=0， 则a=2.当x∈0，3时，fx=x-3x+1单调递增，因为fx是偶函数，所以当x∈-3，0时，fx单调递减，而f-2=f2=1. 故flog2m>1等价于flog2m>f2，得−3⩽log2m⩽3log2m>2，解得18⩽m<14或41.故取以t为底的对数，可得xlogt3=ylogt4=zlogt6=1.∴x=1logt3，y=1logt4，z=1logt6.1z−1x=logt6−logt3=logt2=12logt4=12y，∴x、y、z之间的关系为1z−1x=12y.（2）p=2xy=2logt3⋅logt4=2⋅log34=log316.由9<16<27，得log391知169>2716，∴p−2=log3169>log32716=3−p.从而所求正整数为3.（3）∵3x−4y=3log3t−4log4t=3lgtlg3−4lgtlg4=(3lg4−4lg3lg3⋅lg4)lgt=lgtlg3⋅lg4(lg43−lg34).而lgt>0，lg3>0，lg4>0，lg430，lg4>0，lg6>0，lg620，且a≠1）的图象经过点A(1,4)，B(3,16).(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)=f(x)−f(−x)(x≥2)，求函数g(x)的值域【解题思路】（1）将给定的点代入函数式，再解方程组作答.（2）由（1）求出函数g(x)的解析式，判断函数单调性求解作答.【解答过程】（1）依题意，ab=4ba3=16，而a>0，解得a=2,b=2，即有f(x)=2⋅2x=2x+1，所以函数f(x)的解析式是f(x)=2x+1.（2）由（1）知，g(x)=f(x)−f(−x)=2x+1−2−x+1=2(2x−12x)，因函数y=2x和y=−12x在[2,+∞)上都单调递增，因此函数g(x)在[2,+∞)上单调递增，g(x)max=g(2)=152，所以函数g(x)的值域为[152,+∞).22．（12分）（2022·四川省高三阶段练习（理））已知函数f(x)=loga1-mxx-1（a>0且a≠1）是奇函数．(1)求m的值；(2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明；(3)当a>1，x∈(1,3)时，f（x）的值域是（1，＋∞），求a的值.【解题思路】（1）由已f-x=-fx可得loga1+mx-x-1+loga1-mxx-1=0化为1-m2x2=1-x2，求得m=±1，检验可得结果；（2）任取1fx1，此时fx为增函数，当a∈(1,+∞)时，loga(x2+1)(x1-1)(x2-1)(x1+1)＜0，∴fx21时，fx在(1,+∞)为减函数，又(1,3)⊂(1,+∞)，即f(x)在(1,3)上递减，∴f(3)=loga3+13-1=1，∴a=3+13-1=(3+1)22=2+3.x00.50.531250.56250.6250.751fx-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099区间中点的值中点函数值符号−1,10f0=−1<0−1,0－0.5f(−0.5)=72>0−0.5,0－0.25f(−0.25)=98>0−0.25,0－0.125f(−0.125)=132>0−0.125,0－0.0625f(−0.0625)=−63128<0