人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法课时训练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法课时训练，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用数学归纳法证明（，，是正整数），在验证时，左边所得的项为（ ）
A．1B．C．D．
2．在用数学归纳法求证：，（为正整数）的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（ ）
A．时不等式成立B．时不等式成立
C．时不等式成立D．时不等式成立
4．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A．B．
C．D．
5．用数学归纳法证明：对于任意正偶数n均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ）
A．假设时命题成立
B．假设时命题成立
C．假设时命题成立
D．假设时命题成立
6．满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（ ）
A．1B．1或2C．1，2，3D．1，2，3，4
7．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（ ）
A．B．
C．D．
8．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋（ ）
A．B．πC．D．2π
9．k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（ ）
A．f(k)+k-1B．f(k)+k+1C．f(k)+kD．f(k)+k-2
10．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）时等式成立
A．B．C．D．
11．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，
∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
13．设是定义在正整数集上的函数，且满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立D．若成立，则当时，均有成立
14．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（ ）
A．当时命题成立B．当时命题不成立
C．当时命题成立D．当时命题不成立
15．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立B．n=k+2时等式成立
C．n=2k+2时等式成立D．n=2(k+2)时等式成立
二、填空题
16．若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测______．
17．平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，则它们的交点数最多为______．
18．若，则_______．
19．用数学归纳法证明“”，推证当等式也成立时，只需证明等式____________成立即可．
20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.
三、解答题
21．已知数列的前项和满足（为正整数）.
(1)计算，，，并猜测通项公式；
(2)证明（1）中的猜想.
22．已知数列满足，且，
(1)求、的值；
(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
23．设函数对任意实数x、y都有．
(1)求的值；
(2)若，求、、的值；
(3)在（2）的条件下，猜想（n为正整数）的表达式，并证明．
24．将正整数作如下分组：，，，，，，…分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测的结果，并用数学归纳法证明.
，
，
，
，
，
，
…
参考答案：
1．C
【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令即可得出答案.
【详解】当时，，
在验证时，左边所得的项为.
故选：C.
2．D
【分析】根据题意，分别得到和时，左边对应的式子，两式作商，即可得出结果.
【详解】当时，左边，
当时，左边，
则.
故选：D.
3．B
【分析】利用已知及其数学归纳法的定义即可得出．
【详解】若已假设（，k为偶数）时命题为真，
因为n只能取偶数，
所以还需要证明成立．
故选：B．
4．B
【分析】取即可得到第一步应验证不等式.
【详解】由题意得，当时，不等式为．
故选：B．
5．C
【分析】依题意根据数学归纳法证明判断即可；
【详解】解：因为要证明的是对任意正偶数n均有等式成立，所以在验证正确后，
归纳假设应写成：假设时命题成立．
故选：C．
6．C
【分析】将分别代入等式进行检验可得答案.
【详解】当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边，右边，等式成立；
当时，左边，右边，等式成立，
当时，左边，右边，等式不成立.
故选：C
7．A
【分析】假设时命题成立，分解的过程中要分析出含有的项即可求解.
【详解】解：假设时命题成立，即：被3整除．
当时，
故选：A．
8．B
【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项.
【详解】由凸k边形变为凸k＋1边形时，
增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
故选：B
9．A
【分析】利用棱柱对角面的意义及每增加一条棱，对角面增加的个数即可判断作答.
【详解】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的，
k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面，
而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)= f(k)+k-1，
所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1.
故选：A
10．B
【分析】根据数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】若已假设（为偶数）时命题为真，
因为只能取偶数，所以还需要证明成立．
故选：B．
11．C
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合题意即可求解.
【详解】边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
故选：C
12．D
【分析】根据数学归纳法的定义即可判断答案.
【详解】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.
故选:D.
13．D
【分析】根据题中的信息，结合不等号的方向可判断A、C的正误；
再根据题意可得若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，据此可对B作出判断；同理判断出D的正误.
【详解】选项A、C与已知条件不等号方向不同，故A、C错误；
选项B中，若f(3)≥4成立，则当k≥3时，均有f(k)≥k+1成立，故B错误；
根据题意，若成立，则成立，即成立，结合，所以当时，均有成立.
故选：D.
14．D
【分析】利用原命题与它的逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法可得结论
【详解】解：由于原命题与它的逆否命题的真假性相同，
因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立，
所以当时命题不成立，则可以得到当时命题不成立，
故选：D
15．B
【解析】直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．
【详解】解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，
不是，因为是偶数，是奇数，
故选：．
16．3
【分析】计算出前几项，得出是周期为6的数列，即可根据周期得出答案.
【详解】，，
则，
，
，
，
，
，
即，，所以是周期为6的数列，
，
，
故答案为：3.
17．
【分析】根据题中已知可得出第条直线和前条直线都相交时交点数最多，可得答案.
【详解】由已知，平面内有条直线，设它们的交点个数，若增加一条直线，
即第条直线和前条直线都相交，增加了个交点，此时交点数最多，
交点数为，
故答案为：
18．
【分析】类比推理到下一项即可.
【详解】，
，
所以，
故答案为：.
19．
【分析】首先假设时成立，然后再写出时需证明的等式，两式相比较即可得出答案.
【详解】假设时成立，即成立，
当时，
，
故只需证明“”成立即可．
故答案为：.
20．Sn＝
【分析】根据Sn＝n2an，首先求出S1，S2，S3，S4，观察即可求解.
【详解】S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
故答案为：Sn＝
21．(1)
，，，；
(2)证明见解析
【分析】（1）赋值法求出，，，并猜测通项公式；
（2）利用数学归纳法证明出数列的通项公式.
【详解】（1）中令得：，解得：，
令得：，求出，解得：，
令得：，即，解得：，
令得：，即，解得：，
猜想：；
（2）证明：当时，，满足要求，
当时，假设成立，
则当时，，
即，由得：，
故，解得：，
综上：.
22．(1)，；
(2)，理由见解析
【分析】（1）赋值法求出、的值；
（2）猜想出，利用数学归纳法证明出结论.
【详解】（1）令得：，即，
故，
令得：，即，解得：，
（2）猜想，
证明如下：显然满足要求，
假设当时，成立，
则当时，，
，即，
即，
其中，
故
，
故，
综上：.
23．(1)
(2)，，
(3)，证明见解析
【分析】（1）赋值法得到；
（2）赋值法结合求出答案；
（3）猜想：（n为正整数），利用数学归纳法进行证明.
【详解】（1）令x＝y＝0，得；
（2）由，得，，．
（3）猜想：（n为正整数）．
证明： 当n＝1时，，等式成立．
假设当n＝k时，等式成立，即，则
当n＝k＋1时，，等式也成立．
综上：对任意正整数n都有．
24．；证明见解析；
【分析】由题意，写出至的情况，可推断得，再利用数学归纳法证明，与时对应的情况.
【详解】由题意，，当时，，当时，，当时，，当时，，故猜想：，下面利用数学归纳法证明：①当时，，等式成立；②假设当时等号成立，即，那么，当时，，所以当时，等式也成立，根据①②可知，对于任意的，都成立.
【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算的不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.