高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义教案设计

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2019人教A版选择性必修第二册67页运用信息技术演示割线的动态变化趋势，通过逼近方法将割线趋于确定位置的直线定义为切线，这真正反映了切线的直观本质.在获得切线定义后，利用数形结合，找到割线的斜率与切线的斜率的关系后，将切线斜率和导数相联系，揭示导数的几何意义.本节预案将带领同学们完成“利用导数研究曲线的切线问题”的思维体操.
教学目标
理解切线的定义，会用以直代曲的思想方法解决问题.
掌握在点，过点的切线方程；能判断公切线的条数；可以解决两曲线的公切线相关问题.
3.教学过程
(1)理解切线的定义，会用以直代曲的思想方法解决问题，会求在点，过点的切线方程；
在初中学习我们学习了直线与圆的位置关系，若直线与圆有且只有一个公共点，则称直线与圆相切，其中公共点为切点.在高中选择性必修第二册第五章5.1中我们学习了导数的几何意义：
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.完美诠释了“曲线的割线的极限状态是切线”并将此思维代数化.
导学1.已知曲线，则在点处的切线方程为______________________.(请画出函数与切线的简图)
你发现了什么问题？__________________________________________________________________________________________.
你能给出合理的解释吗？__________________________________________________________________________________________.
导学1解：因为点在曲线上，.所以切线的斜率.故切线方程为.
提出问题：通过图像发现切线与曲线有两个交点.
分析问题：曲线的切线的抽象定义：设曲线，为曲线上一点，为点附近任一点，存在割线，当，则割线直线，称直线为曲线在点处的切线，称点为切点.
解决问题：(1)切线是割线在某点的极限位置状态，并不仅是与曲线有且仅有一个公共点的位置状态；(2)在切点附近的切线近似可代替切点附近的曲线，这是以直代曲的思想.
设计意图：1.真正理解切线的定义达到数学抽象核心素养；2.会求在点处的切线方程渗透数学直观想象核心素养；
导学2.已知曲线，则过点处的切线方程为______________________.
点处是否在曲线上？点是切点吗？___________________________________________________________________________________________点不是切点时，谁是切点？怎么表示？怎样写出切线方程？
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通过以上例题，你能建立求曲线的切线方程的模型吗？
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导学2解：因为点在曲线上，
当时切点时，切线方程为.
当不是切点时，设切点坐标为，切线斜率
切线方程
将代入切线方程中得.
则由多项式除法或待定系数法解得或(此时为切点的横坐标故舍去),切线方程为
综上所述切线方程为或
通过以上例题，你能建立求曲线的切线方程的数学模型吗？
若已知曲线过点，求曲线过点的切线，则需要分点是切点和不是切点两种情况求解：
当点是切点时，切线方程为：；
当点不是切点时，可分以下几步完成：
第1步：设切点坐标；
第2步：写出在点的切线方程为；
第3步：将点的坐标代入切线方程求出；
第4步：将的值代入方程，可得过点的切线方程.
(2)能判断公切线的条数
设计意图：1.会求过点处的切线方程达到直观想象核心素养；2.会用多项式除法或待定系数法求解三次方程的根，渗透数学运算核心素养.
导学3.（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
如何分析题目？曲线的图像很简单，你能通过画图算出答案吗？点画在哪里呢？___________________________________________________________________________________________还可以怎样分析题目？你能转化为导学2的知识应用吗？试试看你得到了什么样的方程，它有几个解？
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你知道解决这类问题的核心是什么？
___________________________________________________________________________________________导学3解：法一：函数是增函数，恒成立，所以切点在轴上方，由图象可知：
若点在轴上或下方时，连线的斜率小于0，不满足题意；
若点在曲线上，不满足题意；
若点在曲线上方，没有切线，不满足题意；
若点在曲线的下方，并且在轴上方时，有两条切线，即.
故选：．
法二：设切点则切线方程为，可得，
设，可得，
当，，在单调递增
当，，在单调递减
因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：．
解决问题的核心：1.从图形的角度可以运用分类讨论，数学结合思想解决问题；2.从代数角度处理曲线的切线方程条数问题的核心是判断关于切点横坐标的方程有几个实数解即对应几条切线方程.
设计意图：1.能判断公切线的条数；2.可以运用分类讨论，数学结合思想解决问题渗透直观想象核心素养.
导学4.已知函数，，直线与函数，的图像都相切.试讨论直线的条数，并说明理由.
你能写出与函数相切的直线方程吗？你能写出与函数相切的直线方程吗？怎样保证这两条切线方程是同一条？
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你能建立解决两条曲线的切线条数问题的数学模型吗？
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___________________________________________________________________________________________导学4解：设直线分为切，的图像于点，.
由，得的方程为：.
由，得的方程为：.
所以，消去得：……①
令，.
则.令得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
从而.
当时，，方程①在存在唯一解，即存在一条满足题意的直线.
当时，，方程①在无解，不存在满足题意的直线.
解决两条曲线的公切线条数问题的数学建模：
第1步：设两个不同的切点，.
第2步：分别写出切线方程，
第3步：因为，是同一条直线，所多得方程组①
第4步：研究方程组①是否有解，若①无解则不存在公切线；若*有几组解则存在几条公切线；若①恒有解则总存在公切线.
设计意图：1.可以解决两曲线的公切线问题.2.会用消元思想和构造函数方法解超越方程组的解，渗透数学运算核心素.
导学5.(2019•新课标Ⅱ节选)已知函数，设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.
相信你能通过导学4建立的模型来解决导学5.请在下面的横线上记录你的解题步骤和解题后的反思.
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导学5解：是的一个零点，则有，
曲线在点处的切线方程为：即.
曲线在点处的切线方程为：即.
当时，，而
所以
而
所以两条切线方程为同一条.
设计意图：1.巩固本节预案中知识的应用能力；2.培养学习学生的直观想象和数学运算的核心素养.
（3）本主题我们学习了什么？请同学们总结学习后的反思与心得.
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(4)教师教学设想
本主题教学是在学习了2019人教A第五章后对导数的概念的几何意义的再次深入学习.这部分知识是高考考查的重点和难点，纵观近几年的全国卷高考题，函数的形式在不断创新，试题注重数学思想方法和数学核心素养的考查，对学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，以及思维的深度和广度都有很高的要求.因此非常有必要对此知识进一步探究.在教学预案设计中注重学生共同经历的问题的发现与提出的过程，交流想法，碰撞思维，直击问题的核心，共同商讨解决问题的策略，激发学生主动探究的欲望，培养优秀的学习品质，发现问题、分析问题、解决问题的能力.若教学班级基础较弱，本主题可2课时完成.
(5)教学后的自我反思______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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