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    2023-2024学年山西省朔州市怀仁市第一中学校高二上学期第三次月考(11月)数学试题含答案

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    这是一份2023-2024学年山西省朔州市怀仁市第一中学校高二上学期第三次月考(11月)数学试题含答案,共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.已知椭圆的左顶点为A,上顶点为B,则( )
    A.B.3C.4D.
    【答案】D
    【分析】由方程得出的坐标,再由距离公式求解即可
    【详解】因为椭圆的左顶点为A,上顶点为B,
    所以,,
    所以.
    故选:D
    2.直线的倾斜角为( )
    A.B.C.D.不存在
    【答案】C
    【分析】根据倾斜角的定义可得结果
    【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为,
    故选:C.
    3.已知直线的一个方向向量,且直线经过和两点,则( )
    A.-2B.-1C.1D.2
    【答案】A
    【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可.
    【详解】因为,
    直线的一个方向向量为,
    所以有向量与向量为共线,
    所以,
    解得,,
    所以,
    故选:A.
    4.已知直线与直线平行,则它们之间的距离是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】利用两条直线平行的条件、平行直线的距离公式运算即可得解.
    【详解】解:∵直线与直线平行,
    ∴,解得,
    ∴直线,
    又∵直线可化为,
    ∴两平行线之间的距离.
    故选:C.
    5.如图所示,在平行六面体中,点E为上底面对角线的中点,若,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
    【详解】根据题意,得;
    故选:A
    6.如图,椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线与椭圆相交于P,Q 两点.若,,,则椭圆C的方程为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】根据椭圆的定义及已知求得,再解直角三角形求得求得即可求得椭圆的方程
    【详解】设,有,
    由可知,
    又由椭圆的定义有,
    可得,解得,
    可得,
    ,,
    故选:D.
    【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解,其中解答中熟记椭圆的定义,以及椭圆的几何性质,准确运算是解答的关键,着重考查推理与运算能力,属于基础题.
    7.已知直线l:x-my+4m-3=0(m∈R),点P在圆上,则点P到直线l的距离的最大值为( )
    A.3B.4C.5D.6
    【答案】D
    【分析】先求得直线过的定点的坐标,再由圆心到定点的距离加半径求解.
    【详解】解:直线l:x-my+4m-3=0(m∈R)即为,
    所以直线过定点,
    所以点P到直线l的距离的最大值为,
    故选:D
    8.设椭圆的左焦点为F,上下顶点分别为A、B,直线AF的斜率为,并交椭圆于另一点C,则直线BC的斜率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】首先根据,设出,,,从而得到椭圆,直线:,联立椭圆和直线得到,,再求直线BC的斜率即可.
    【详解】由题知:,,,
    ,设,则,,
    则椭圆,直线:.
    所以,解得,,
    则.
    因为,所以.
    故选:C
    二、多选题
    9.已知直线,直线,若,则实数a可能的取值为( )
    A.B.0C.1D.2
    【答案】BC
    【分析】由,可得,即可得出答案.
    【详解】解:因为,所以,解得或1.
    故选:BC.
    10.已知向量,,则( )
    A.
    B.
    C.向量,的夹角的余弦值为
    D.若向量(,为实数),则
    【答案】BC
    【分析】对于选项A,由空间向量平行的条件可判断;对于选项B,根据空间向量的模的计算公式可判断;对于选项C,由空间向量的夹角计算公式计算可判断;对于D选项,根据空间向量相等和线性运算可判断..
    【详解】解:对于选项A,由,故A选项不正确;
    对于选项B,由,,故B选项正确;
    对于选项C,由,得,故C选项正确;
    对于D选项,由,得,解得,,有,故D选项错误.
    故选:BC.
    11.直线与曲线恰有两个交点,则实数m的值可能是( )
    A.B.C.4D.5
    【答案】BC
    【分析】由曲线表示圆在轴的上半部分,利用直线与圆相切求出的值,结合图形即可得答案.
    【详解】解:曲线表示圆在轴的上半部分,
    当直线与圆相切时,,解得,
    当点在直线上时,,
    所以由图可知实数m的取值范围为,
    故选:BC.
    12.设点,分别为椭圆:的左、右焦点,点是椭圆上任意一点,若使得成立的点恰好是4个,则实数的取值可以是( )
    A.1B.3C.5D.4
    【答案】BD
    【分析】首先设点,得到,,结合点在椭圆上得到,若成立的点有四个,则在有两实数解,
    则有,解出其范围结合选项即得.
    【详解】设,∵,,∴,,由可得,又∵点在椭圆上,即,
    ∴,要使得成立的点恰好是4个,则,解得.
    故选:BD
    三、填空题
    13.已知在空间直角坐标系中,点A的坐标为,点B的坐标为,点A与点C关于x轴对称,则 .
    【答案】
    【分析】首先根据对称求出点的坐标,然后根据两点间的距离公式求的值即可.
    【详解】因为点A与点C关于x轴对称,所以点的坐标为,
    又因为点B的坐标为,所以.
    故答案为:.
    14.以为圆心的圆与圆相切,则圆的方程为 .
    【答案】或
    【分析】根据两圆相切,分内切和外切得到半径,从而得到圆的方程.
    【详解】两圆的圆心之间的距离为.
    当两圆外切时,圆的半径为;
    当两圆内切时,圆的半径为.
    ∴圆的方程为或.
    故答案为:或.
    15.已知点,平面经过原点,且垂直于向量,则点到平面的距离为 .
    【答案】/
    【分析】根据点到平面距离的向量求法求解即可.
    【详解】由题意,,,故,所以点到平面的距离为.
    故答案为:
    16.已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点为,该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为1,则该椭圆的标准方程为 .
    【答案】
    【分析】由点差法可得,则,又,联立解得,即可得出椭圆方程.
    【详解】设椭圆的标准方程为,
    由题意,椭圆被直线所截得弦的中点的坐标为,
    设,则,
    由,得,
    即,则,
    ,即,又,所以,
    故椭圆的标准方程为.
    故答案为:.
    四、解答题
    17.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
    (1)焦点在轴上,中心为坐标原点,经过点,.
    (2)以点,为焦点,经过点.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)设椭圆的标准方程为,代入所过的点后求出可得所求的椭圆方程.
    (2)根据椭圆的定义可求,再求出后可求椭圆的标准方程.
    【详解】解:(1)设椭圆的标准方程为,
    由题意有,可得,
    故椭圆的标准方程为.
    (2)设椭圆的标准方程为,焦距为.
    由题意有,,,
    有,,
    故椭圆的标准方程为.
    【点睛】方法点睛:椭圆的标准方程,关键是基本量的确定,方法有待定系数法、定义法等,注意根据问题的特征选择合适的方法来处理.
    18.如图,在正方体中,E为的中点,F为的中点.
    (1)求证:EF//平面ABCD;
    (2)求直线DE,BF所成角的余弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2).
    【分析】(1)根据平行线的传递先证明线线平行,继而证明线面平行;
    (2)以D为坐标原点,向量,,方向分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,根据空间角的计算公式计算即可.
    【详解】(1)证明:如图连
    ∵几何体为正方体,
    ∴,
    ∴EF∥BD
    ∵EF∥BD,平面ABCD,平面ABCD,
    ∴平面ABCD;
    (2)解:以D为坐标原点,向量,,方向分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系
    令,可得点D的坐标为,点E的坐标为,点F的坐标为,点B的坐标为,

    DE,BF所成角的余弦值为
    19.在平面直角坐标系中,点到,两点的距离之和为4
    (1)写出点轨迹的方程;
    (2)若直线与轨迹有两个交点,求的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)利用定义法求椭圆方程即可;
    (2)利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可.
    【详解】(1)由椭圆定义可知,轨迹是以,为焦点,长半轴长为2的椭圆,
    故,,,其椭圆方程为.
    (2)联立得,
    因为有两个交点,所以,
    解得,所以的取值范围为.
    20.如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,平面PAD,E是AD的中点,为等腰直角三角形,,.
    (1)求证:;
    (2)求PC与平面PBE所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)根据平面得到,根据等腰三角形的性质得到,利用线面垂直的判定定理得到平面,最后利用线面垂直的性质即可得到;
    (2)建立空间直角坐标系,利用空间向量的方法求角即可.
    【详解】(1)证明:∵平面,平面PAD,∴,
    又∵是等腰直角三角形,是斜边AD的中点,∴,
    又∵平面,平面,,
    ∴平面
    ∵平面ABCD,∴;
    (2)
    解:如图,以为原点,EP,EA所在的直线为轴,轴,在平面ABCD内,
    通过点作AD的垂线为轴,建立空间直角坐标系,
    不妨设,则,,,则,,
    设平面PBE的法向量为,
    ,取,则,
    故为平面PBE的一个法向量,
    设PC与平面PBE所成的角为,则,
    ∴与平面PBE所成角的正弦值为.
    21.在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,且满足(如图1),将沿EF折起到的位置,使二面角成直二面角,连接,(如图2).
    (1)求证:;
    (2)求二面角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)中,由余弦定理求EF,由勾股定理证,再由平面平面BEP证平面,即可证
    (2)分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由向量法求出平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值,即可二面角求正弦值
    【详解】(1)证明:由题意,在图1中,,,又,
    所以由余弦定理可得,
    所以,所以,所以在图2中,即,
    因为二面角为直二面角,即平面平面BEP,
    又平面平面,平面,
    所以平面.∵平面,∴;
    (2)分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
    则,,,,,
    ,,,,
    设平面的法向量为,
    则取,得
    设平面的法向量为,
    则取,得,
    ∴,,
    所以二面角的正弦值为.
    22.已知M,N是椭圆的上顶点和右顶点,且直线的斜率为.
    (1)求椭圆E的离心率;
    (2)设A为椭圆E的左顶点,B为椭圆E上一点,C为椭圆E上位于第一象限内的一点,且,求直线的斜率.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)由已知可得,再由,可求出离心率,
    (2)由离心率可得椭圆方程为,设,则由可得,再由在椭圆上,可得,从而可求出直线的斜率
    【详解】(1)椭圆的上顶点为和右顶点为,
    因为直线的斜率为,
    所以,,
    所以离心率为,
    (2)因为离心率,所以,则,
    所以椭圆方程为,,
    设,
    则,得,则,
    因为在椭圆上,所以,,
    解得,
    则直线的斜率为,
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