山西省朔州市怀仁市第一中学校、大地学校高中部2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

怀仁一中高二年级2023~2024学年上学期第一次月考

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5．本卷主要考查内容：必修第二册。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（    ）

A． B． C． D．

2．在中，内角、、所对的边分别为，，，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

3．在连续六次数学考试中，甲、乙两名同学的考试成绩情况如图，则（    ）

A．甲同学最高分与最低分的差距低于30分

B．乙同学的成绩一直在上升

C．乙同学六次考试成绩的平均分高于120分

D．甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学

4．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

5．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子．已知某盲盒产品共有2种玩偶．假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形（    ）

A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定

7．如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点．设与平面的交点为，则（    ）

A．三点，，共线，且 B．三点，，共线，且

C．三点，，不共线，且 D．三点，，不共线，且

8．已知，是不共线的两个向量，，，若，，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．一组数据3，6，8，，5，9的平均数为6，则对此组数据下列说法正确的是（    ）

A．极差为6 B．中位数为5 C．众数为5 D．方差为4

10．已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（    ）

A．如果，，，那么

B．如果，，那么

C．如果，，那么

D．如果，，那么与所成的角和与所成的角相等

11．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（    ）

A．2张卡片都不是红色  B．2张卡片恰有一张蓝色

C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色

12．已知圆锥的母线长为，为底面圆的一条直径，．用一平行于底面的平面截圆锥，得到截面圆的圆心为．设圆的半径为，点为圆上的一个动点，则（    ）

A．圆锥的体积为

B．的最小值为

C．若，则圆锥与圆台的体积之比为

D．若为圆台的外接球球心，则圆的面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．甲、乙两组共200人，现采取分层随机抽样的方法抽取40人的样本进行问卷调查，若样本中有16人来自甲组，则乙组的人数为________．

14．在中，，，，将绕直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为________．

15．如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为________．

16．如图，在中，，圆为单位圆．

（1）若点在圆上，，则________；（2分）

（2）若点在与圆的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为________．（3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知为虚数单位，复数，对应的复平面上的点分别为，，若，关于实轴对称．

（1）求，的值；

（2）若角的终边经过点，求的值．

18．（本小题满分12分）

已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求；

（2）若在上，是的角平分线，且，求的面积的最小值．

19．（本小题满分12分）

如图，在平行四边形中，，，．

（1）若，求的值；

（2）若，，求边的长．

20．（本小题满分12分）

某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分．上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示．

（1）估计所打分数的众数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）

（2）该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深人调查，之后从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率．

21．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，中，平面，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

22．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形，，．是棱上一点，且，平面．

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

怀仁一中高二年级2023~2024学年上学期第一次月考·数学

参考答案、提示及评分细则

1．D  ．

2．B  由正弦定理有．

3．C  由图可知，C正确，B错误，且由于甲同学成绩波动较大，则甲同学六次成绩方差大，所以D错误．

4．B  ，，．∴．

5．A  假设二种玩偶分别为，，则买3个盲盒，出现的玩偶为，，，，，，，，共八种，∴集齐2种的概率为．故选A．

6．C  由正弦定理，得，解得．

因为，所以．又因为，所以或，故此三角形有两解．故选C．

7．B  连接．∵直线，平面，∴平面．

又∵平面，平面平面，∴直线，∴三点，，共线．

∵，∴，∴．

8．B  依题意可设，的夹角为，则由题意可得，

由得，所以，

又因为，所以，

所以，所以，所以，故选B．

9．ACD  ，得，∴极差，故A正确；

中位数，故B错误；众数为5，故C正确；

，故D正确．

10．BCD  对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，

不妨设为直线，为直线，四边形所在的平面为，四边形所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；

B正确，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，则，由知，从而；

由平面与平面平行的定义知，如果，，那么，C正确；

由平行的传递性及线面角的定义知，如果，，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确．故选BCD．

11．ABD  6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是“2张都不是红色”，“2张恰有一张蓝色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥．故选ABD．

12．ABD  由圆锥的母线长为，底面圆的半径为2，可得圆锥的高．

考察A选项：，A选项正确；

考察B选项：已知，设点在底面的投影为，则，

所以，B选项正确；

考察C选项：当时，，所以，又，所以，C选项错误；

考察D选项：若点是圆台的外接球球心，则由，解得，所以，D选项正确．故选ABD．

13．120人  （人）．

14．  该几何体的底面半径为，高为的圆锥，．

15．  连接交于点，作点为的中点，连接，则与所成的角等于与所成的角，在中，，，．所以，．

16．（1）（2）

（1）在中，，，，则；

（2）

，

因为，所以，

故的取值范围为．

法二：

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，

则，，，所以，，

则

，

∵，则，∴，．

即．

17．解：（1）由已知，有，，

又，关于实轴对称，所以，；

（2）因为点的坐标为，所以，，

从而，，所以．

18．解：（1）因为，由正弦定理可得，

即，

所以，而，∴，故，因为，所以；

（2）由题意可知，，

由角平分线性质和三角形面积公式得，

化简得，又，从而，当且仅当时，等号成立，

故，因此的最小值为．

19．解：（1）因为在平行四边形中，，，

所以，

又，∴，，∴；

（2）设的长为，

∵

，

∴，解得或（舍去），即．

20．解：（1）由众数概念可知，人数出现最多的为之间，所以众数为70，

平均值

；

（2）由直方图知，第一二组的频率分别为0.05和0.1，

则第一、二组人数分别为5和10，

所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第一组和第二组的人数之比为，

则第一组有2人，记为，；第二组有4人，记为，，，．

从中随机抽取2人的所有情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，

其中，两人来自不同组的情况有：，，，，，，，，共8种，

故两人来自不同组的概率为，

答：监督员来自不同组的概率为．

21．解：（1）证明：连接，

∵，分别是棱，的中点，∴，

∵平面，平面，∴平面，

∵，分别是棱，的中点，∴，，

∴四边形是平行四边形，则，

∵平面，平面，∴平面，

∵，平面，且，∴平面平面，

∵平面，∴平面；

（2）连接，∵为中点，∴，

由题意，，∴，

作于，则面，且，即三棱锥的高为，

∴．

22．（1）证明：在矩形中，所以，

∵平面，平面，平面，∴，，

∴，

在中，∵，，∴为中点，，

∴，即，

又，，平面，平面，∴平面，

又平面，∴平面平面；

（2）解：由（1）知，，

∵平面，平面，∴，又，，，平面，

∴平面，又，∴平面，又平面，∴，

∵，平面平面，平面，

∴平面，由（1）知为中点，所以到平面距离为，

设到平面的距离为，由，即，解得，

设直线与平面所成的角为，则．