山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山西省朔州市怀仁市大地学校高中部2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了 本试卷分第Ⅰ卷两部分， 考试结束后，将答题卡交回，100，635等内容，欢迎下载使用。

高二数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为
A．7B．12C．18D．24
2．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．二项式展开式的常数项为
A．B．70C．D．
4．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则
A． B．
C． D．
5．已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是
A． B．
C． D．
6．设随机变量X的分布列为，，则的值为
A．B．C．D．.
7.已知函数是定义在R上的增函数，则a的取值范围是
A．1,3B．1,2C．2,3D．0,3
8.已知函数的图象在x轴上方，对∀x∈R，都有，若的图象关于直线x=1对称，且f(0)=1， 则f(2023)+f(2024)+f(2025)=
A．3B．4C．5D．6
二、多项选择题（在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9．两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是
A．相关系数越接近，变量相关性越强
B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化
对于函数，下列说法正确的有
A．在处取得最小值B．在处取得最大值
C．有两个不同零点D．
11．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是
A．A，B是对立事件B．事件B，D相互独立
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 ．
13．已知函数在时取得极大值4，则 ．
14．设fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=ex，则不等式fx≥f2x−1的解集为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知幂函数fx=m2+2m−2xm2−7（m∈Z）的定义域为R，且在0,+∞上单调递增．
(1)求m的值；
(2)∀x∈1,2，不等式afx−3x+2>0恒成立，求实数a的取值范围
16．（15分）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．
17.（15分）已知函数fx的定义域为R，值域为0,+∞，且对任意m，n∈R，都有fm+n=fmfn．φx=fx−1fx+1．
(1)求f0的值，并证明φx为奇函数．
(2)若x>0，fx>1， 且f3=4，证明fx为R上的增函数，并解不等式φx>1517．
18．（17分）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；
(2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
19．（17分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：
(2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.
（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数
10
15
20
25
5
赞成的人数
6
12
20
12
2
青年
非青年
合计
喜欢
20
不喜欢
60
合计
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
一、单选题
1．（23-24高二上·甘肃白银·期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）
A．7B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】
根据题意，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】
从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人，
由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种.
故选：B.
2．（23-24高二上·福建南平·期末）下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项.
【详解】，，，.
故选：D.
3．（23-24高二上·辽宁·期末）二项式展开式的常数项为（ ）
A．B．70C．D．
【答案】D
【分析】由，令得出后代入计算即可得.
【详解】，
令，即，故，
即展开式的常数项为.
故选：D.
4．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由散点图得负相关，所以，
因为剔除点后，剩下点数据更线性相关性更强，则更接近，
所以.
故选：D.
5．（23-24高二上·重庆·期末）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据导数的图象变化，判断函数的图象的变化情况，结合选项，即可得答案.
【详解】由的图象可知时，，且的值随x的增大逐渐减小，
此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓，
当时，，且的值随x的增大逐渐增大，
此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭，
结合选项，符合的图象特征的为选项D中图象，
故选：D
6．设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，．
故选：A．
7.已知函数f(x)=−x2+2ax,x≤1(3−a)x+2,x>1是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．1,3B．1,2C．2,3D．0,3
【解题思路】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在x=1时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.
【解答过程】因为f(x)=−x2+2ax,x≤1(3−a)x+2,x>1是定义在R上的增函数，
所以−2a−2≥13−a>0−1+2a≤3−a+2，解得1≤a≤2.
故选：B.
8（2024·贵州毕节·三模）已知函数f(x)的图象在x轴上方，对∀x∈R，都有f(x+2)⋅f(x)=2f(1)，若y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，且f(0)=1，则f(2023)+f(2024)+f(2025)=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解题思路】先由函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，得函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即函数是偶函数，可得f(−x)=f(x)．再把x+2代入，可得函数周期为4，求得f(1)=2，f(3)=2，即可求解．
【解答过程】因为y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即函数y=f(x)是偶函数，故有f(−x)=f(x)．
因为∀x∈R，都有f(x+2)⋅f(x)=2f(1)，所以f(x+4)⋅f(x+2)=2f(1)，
所以f(x+2)⋅f(x)=f(x+4)⋅f(x+2)，又函数f(x)的图象在x轴上方，
所以f(x)≠0，所以f(x+4)=f(x)，即函数y=f(x)的周期为4．
当x=1，可得f(3)⋅f(1)=2f(1)，所以f(3)=2，
当x=−1，可得f(−1+2)⋅f(−1)=2f(1)，所以f(−1)=2，所以f(1)=2，
所以f(2023)+f(2024)+f(2025)=f(3)+f(0)+f(1)=2+1+2=5.
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分
9．两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数越接近，变量相关性越强
B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化
【答案】ACD
【详解】对于A，相关系数越接近，相关性越强，故A正确；
对于B，回归直线方程拟合效果的强弱由决定系数或相关系数判定，故B错误；
对于C，决定系数越小，残差平方和越大，效果越差，故C正确；
对于D，根据的实际意义可得，表示女大学生的身高解释了的体重变化，故D正确．
故选：ACD．
10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在处取得最小值B．在处取得最大值
C．有两个不同零点D．
【答案】BD
【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可.
【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确，
令，解得，可得只有一个零点，故C错误，
易知，且结合单调性知，即成立，故D正确.
故选：BD
11．甲箱中有3个黄球、2个绿球，乙箱中有2个黄球、3个绿球（这10个球除颜色外，大小、形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件 “取出2个黄球”，“取出2个绿球”， “取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ）
A．A，B是对立事件B．事件B，D相互独立
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABD
三、填空题
12．（23-24高二上·陕西渭南·期末）一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 ．
【答案】24
【分析】根据给定条件，利用相邻问题及有位置要求的元素占位，结合排列列式计算即得.
【详解】把两名女生捆绑在一起视为一人，与两名男生作全排列有种方法，
再把老师插入中间的两个间隙中有种方法，而两名女生的排列有种方法，
所以不同站法的种数为.
故答案为：24
13．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ．
【答案】
【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.
【详解】由题意可知，
因为函数在时取得极大值4，所以，
解之得，
检验，此时，令或，
令，
即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，
故.
故答案为：
14．设fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=ex，则不等式fx≥f2x−1的解集为 23,2 .
【解题思路】根据偶函数的性质求出函数在x<0时的解析式，即可得到fx=ex，则不等式fx≥f2x−1，即ex≥ex−12，再根据指数函数的性质得到x≥2x−1，解得即可.
【解答过程】因为fx是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，fx=ex，
设x<0，则−x>0，所以f−x=e−x，又f−x=fx，所以fx=e−x x<0，
15．（13分）已知幂函数fx=m2+2m−2xm2−7（m∈Z）的定义域为R，且在0,+∞上单调递增．
(1)求m的值；
(2)∀x∈1,2，不等式afx−3x+2>0恒成立，求实数a的取值范围
【解题思路】（1）根据幂函数的性质求解即可.
（2）首先根据题意转化为∀x∈1,2，a>3x−2x2=31x−21x2恒成立．再利用换元法求解即可.
【解答过程】（1）m2+2m−2=1⇒m=1或m=−3，
又因为函数fx在0,+∞上单调递增，
m=1，fx=x−6（舍），
m=−3，fx=x2.
（2）∀x∈1,2，ax2−3x+2>0恒成立，
∀x∈1,2，a>3x−2x2=31x−21x2恒成立．
令t=1x∈12,1，gt=3t−2t2，
则gt在区间12,34上单调递增，在区间34,1上单调递减，
gtmax=g34=98，
故a>98．
16．（15分）（23-24高二上·河北沧州·期末）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）函数在上单调递增，可得当时，恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函数的最值问题，即可求得答案.
【详解】（1）
当时，，则，
∴，，
曲线在点处的切线方程为，即．
（2）
由题意得当时，恒成立，
∴在时恒成立，
∵，则，由于二次函数在上单调递减，
∴当时，，
∴，即实数a的取值范围是．
17.（15分）已知函数fx的定义域为R，值域为0,+∞，且对任意m，n∈R，都有fm+n=fmfn．φx=fx−1fx+1．
(1)求f0的值，并证明φx为奇函数．
(2)若x>0，fx>1，且f3=4，证明fx为R上的增函数，并解不等式φx>1517．
【解题思路】（1）赋值法令m=n=0，可得f0；由fx给定性质，证明φ−x=−φx即可.
（2）证明fx的单调性，再由单调性解不等式.
【解答过程】（1）令m=n=0，得f0=f0f0，
又函数fx的值域为0,+∞，∴f0=1．
∵f0=f−x+x=f−xfx，
∴f−x=1fx，
∴φ−x=f−x−1f−x+1=1fx−11fx+1=1−fx1+fx=−φx，
∴φx为奇函数．
（2）任取x1fx1−fx2=fx1−fx2−x1+x1
=fx1−fx2−x1fx1=fx11−fx2−x1．
∵x10．
∵当x>0时，fx>1，∴fx2−x1>1，∴1−fx2−x1<0．
又函数fx的值域为0,+∞，
∴fx11−fx2−x1<0，即fx1∴fx为R上的增函数．
由φx=1517，即fx−1fx+1>1517，化简得fx>16．
∵f3=4，
∴16=f3f3=f6，∴fx>f6．
又fx为R上的增函数，∴x>6，
故φx>1517的解集为xx>6．
18．（17分）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；
(2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以，
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以．
（2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4.
则，
，
．
所以的分布列为
所以.
19．（17分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：
(2)将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.
（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】(1)45
(2)（i）列联表见解析；有；（ii）
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
年龄在40岁以下的居民所占比例为，
年龄在50岁以下的居民所占比例为，
所以分位数位于内，
由，
所以，样本数据的分位数为45；
（2）（i）由题知，列联表为：
根据列联表中的数据，可得：
所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；
（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人．
设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为，
，
，
所以，
所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．
年龄段（单位：岁）
被调查的人数
10
15
20
25
5
赞成的人数
6
12
20
12
2
2
3
4
青年
非青年
合计
喜欢
20
不喜欢
60
合计
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
青年
非青年
合计
喜欢
90
20
110
不喜欢
60
30
90
合计
150
50
200