2023-2024学年山西省大同市第一中学校高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山西省大同市第一中学校高二上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．双曲线的左焦点的坐标为（ ）
A．(-2,0)B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线方程，可求得c的值，即可得答案.
【详解】由题意可知焦点在x轴上，，即，
所以左焦点坐标为(-2,0)，
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属基础题.
2．在空间直角坐标系中，点，，则（ ）
A．直线坐标平面B．直线坐标平面
C．直线坐标平面D．直线坐标平面
【答案】C
【分析】找到坐标平面与平面的法向量，利用与法向量之间的关系即可判断.
【详解】因为在空间直角坐标系中，易得平面的法向量为，
平面的法向量为
因为点，，所以,
易判断与，不平行，所以直线不垂直坐标平面，也不垂直坐标平面，故BD错误；
因为,所以直线不平行坐标平面，故A错误；
因为,所以直线平行坐标平面，故C正确；
故选：C.
3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下n（，）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（ ）
A．7B．10C．12D．22
【答案】A
【分析】根据递推关系逐步求解即可.
【详解】由已知可得，，.
所以解下4个圆环最少需要移动7次.
故选：A.
4．已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义及标准方程计算即可.
【详解】由题意可知该抛物线的焦点坐标为或，
所以其对应标准方程为为或.
故选：D
5．已知，则圆与直线的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离公式，根据圆心到直线的距离与半径的大小进行判断即可.
【详解】圆心到直线的距离，
因为，
即，所以圆与直线的位置关系是相交，
故选：B
6．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．或2
【答案】B
【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.
【详解】解：在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：B
7．已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出两点坐标，利用为正三角形，列方程解系数既可.
【详解】双曲线的两条渐近线方程为，
抛物线的焦点为，准线方程为，不妨取，，
为正三角形，由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得，
所以双曲线的两条渐近线方程为.
故选：C
8．已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的内切圆半径的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】寻找的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据面积的取值范围可以得到的内切圆半径的取值范围.
【详解】设的内切圆半径为r，椭圆方程为，
则，，，即，
又，
所以，
由于，
所以.
故选：D
二、多选题
9．已知、，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支
C．平面内满足的动点P的轨迹为抛物线
D．平面内满足的动点P的轨迹为圆
【答案】AD
【分析】由椭圆的定义可直接判定选项A；由双曲线的定义可直接判定选项B；由抛物线的定义可直接判定选项C；设点，列式化简即可判定选项D；
【详解】对于选项A,有、，且,由椭圆定义可知选项A正确;
对于选项B,有、，且,轨迹为射线，不符合双曲线的定义可知选项B错误;
对于选项C,有、，且,轨迹为线段的垂直平分线，不符合抛物线的定义可知选项C错误;
对于选项D,有、，且,设点，则，化简可得，可知选项D正确;
故选：AD
10．若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时，B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29D．公差的取值范围是
【答案】ABC
【分析】对于A，根据等差数列的定义求出公差的值，即可求出；又数列是正项等差数列，根据，即可求出公差的取值范围，继而可以判断B,C,D.
【详解】当,时，公差，，故A正确；
因为是正项等差数列，所以，即，且，
所以公差的取值范围是，故D错误；
因为，所以的取值范围是，故B正确；
，当为整数时，的最大值为29，故C正确；
故选：ABC.
11．圆，抛物线，过圆心的直线与两曲线的四个交点自下向上依次记为，若构成等差数列，则直线的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】设出直线的方程联立抛物线方程，利用韦达定理建立方程即可求解.
【详解】如图所示：

由题意圆的标准方程为，其圆心为，半径为，
所以抛物线的焦点为圆心，
又构成等差数列，
所以，
又因为，
所以，即，
不妨设，由抛物线定义可知：，即，
当直线斜率不存在时：；
当直线斜率存在时：设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
所以，解得，
所以直线的方程为或.
故选：CD.
12．已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的标准方程是
B．若的中点为，则直线的方程为
C．若点的坐标为，则直线的方程为
D．若点在直线上运动，则直线恒过点
【答案】BC
【分析】A选项，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点运算得解判断；B选项，运用点差法求得直线的斜率，即可得出直线方程可判断；C选项，设，将直线代入双曲线E方程，由，解得斜代回可得直线的方程；D选项，设出点，类比C选项，求出直线的方程，设出点代入直线，的方程比较可得直线的方程，从而得解.
【详解】因为双曲线与双曲线共渐近线，
所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点，
所以，即，所以双曲线的标准方程是，故A错误；
设，，由，在双曲线上，得两式相减，
得，即，
又的中点为，所以，，所以，
直线的方程为，即，故B正确；
设直线，代入曲线E的方程得，，令，得
，解得，则切线方程为，
即直线的方程为，故C正确；
设，由选项C同理可得直线的方程为，由点在直线上运动，可设，
因为点在与上，所以，因此直线的方程为，
即，令，解得，
所以直线恒过点，故D错误．
故选：BC．
三、填空题
13．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用与关系即得.
【详解】因为，
当时，，
当时，，
所以．
故答案为：．
14．设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 .
【答案】5
【分析】过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，根据抛物线的定义可得，当、、三点共线时，小值．
【详解】抛物线，所以焦点为，准线方程为，
当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，
如图，
过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，
由抛物线的定义，可知，
故．
即当、、三点共线时，距离之和最小值为．
故答案为：．
15．已知椭圆：（）的左焦点为，经过原点的直线与交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】设椭圆右焦点为，由对称性知，，从而有，设，，由椭圆定义结合基本不等式得，在焦点三角形中应用余弦定理，代入，结合余弦函数性质可得离心率的范围．
【详解】如图，设椭圆右焦点为，由对称性知是平行四边形，，
∵，∴，
设，，由椭圆定义知，则，当且仅当时等号成立，
在中，由余弦定理得，
又，，∴，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是把已知条件转化为焦点中，，然后椭圆定义，余弦定理，基本不等式求得结论．
16．在棱长为2的正方体中，动点E在正方体内切球的球面上，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】取的中点为，连接，由数量积可得，求出的最大值和最小值，即可得出答案.
【详解】取的中点为，连接，则，
所以
，
正方体内切球的半径为，即，
设正方体内切球的球心为，面的中心为，连接，
由正方体的性质知：面，所以面，
所以，所以，所以，
所以，，
所以的取值范围是：.
故答案为：.
四、解答题
17．求适合下列条件的曲线方程：
(1)与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程；
(2)渐近线方程为，经过点双曲线的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意先求出椭圆的焦点坐标，设出椭圆的标准方程，代入点运算得解；
（2）设出共渐近线的双曲线方程，代入点运算得解.
【详解】（1）与椭圆有相同的焦点，则椭圆的焦点为，所以，
设椭圆的方程为，将代入可得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由渐近线方程为，设双曲线的方程为，，
代入点可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
18．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【答案】（1）；（2），最小值为–16．
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．
（2）[方法1]：邻项变号法
由可得．当，即，解得，所以的最小值为，
所以的最小值为．
[方法2]：函数法
由题意知，即，
所以的最小值为，所以的最小值为．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．
19．如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点.

(1)求到平面的距离；
(2)求证：平面平面.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，先求解出平面的一个法向量，然后利用公式即可求解出到平面的距离；
（2）先求解出平面的一个法向量，然后根据的运算结果判断的位置关系，由此完成证明.
【详解】（1）以为坐标原点，以为轴建立如图所示空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，
令，则，所以，
设到平面的距离为，
所以.
（2）因为，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，
令，则，所以，
又因为平面的一个法向量，
所以，所以，
所以平面平面.
20．已知数列满足，
(1)记，写出，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可求解.
（2）分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】（1）由题意知显然为偶数，则，，
所以，即，且，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
于是，，．
故数列的通向公式为.
（2）由题意知数列满足，，，，
所以．
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列；
由知数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列．
从而数列的前项和为：
.
故的前项和为.
21．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：
联立得：
则
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则
，
，
则
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
22．已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用离心率以及椭圆经过点的坐标联立解方程组，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为并于椭圆联立，利用韦达定理写出直线的方程，求出点横坐标表达式即可得.
【详解】（1）由离心率可得，
将点代入椭圆方程可得，又；
解得，
所以椭圆C的方程为
（2）设点，，则，直线的方程为，
直线与椭圆联立，消去，得，
则可得，，
易知，得
由题意，直线的方程为，
令，所以点的横坐标，
所以直线与轴交于定点