2023-2024学年四川省南充市阆中中学高二上学期11月月考数学试题含答案

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题.（共40分，每小题5分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 四边形一定是平面图形
C. 梯形一定平面图形
D. 平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面的有关知识确定正确选项.
【详解】A，不在同一直线上的三个点，确定一个平面，所以A错误.
B，四边形可能是空间四边形，不一定是平面图形，所以B错误.
C，梯形有一组对边平行，所以是平面图形，所以C正确.
D，当时，两个平面没有公共点.
故选：C
2. 已知，，则线段AB中点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用中点坐标公式直接计算即可.
【详解】由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即.
故选：A
3. 如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理求解即可.
【详解】因为在平行六面体中，是的中点，
所以.
故选：A.
4. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）

A B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由给定的直观图画出原平面图形，再求出面积作答.
【详解】根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图，

其中 ，，
所以这个平面图形的面积为.
故选：D
5. 在正方体中，为棱的中点，则．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】画出正方体，如图所示．
对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确．
对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确．
对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确．
对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．
故选C．
【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题．
6. 龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙线，故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高18cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内注水，当水深为6cm时，则盆内水的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴截面和相似关系, 以及圆台体积即可求解.
【详解】如图所示, 画出圆台的立体图形和轴截面平面图形, 并延长 EC 与FD交于点G.

根据题意, ,
设 ,
所以 ,
解得 ,
所以 ,
故选: B.
7. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】
【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C．
8. 如图所示，空间四边形的各边都相等，分别是的中点，下列四个结论中不正确的是（ ）
A. 平面B. 平面
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行、线面垂直、面面垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，连接，由于分别是的中点，
所以，由于平面，平面，
所以平面，所以A选项正确.
B选项，连接，
由于三角形和三角形是等边三角形，
是的中点，所以，
由于平面，所以平面，B选项正确.
C选项，几何体是正四面体，
设在底面上的射影为，连接，则平面，
且是等边三角形的中心，
连接，由于分别是的中点，
所以是等边三角形的中位线，所以，
所以平面与平面不垂直，C选项错误.
D选项，连接，
同理B选项的分析可得平面，
由于平面，所以平面平面，所以D选项正确.
故选：C
二、多选题.（共20分，每小题5分，漏选扣3分，错选不给分）
9. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 向量与向量共线
C. 向量关于轴对称的向量为
D. 向量关于平面对称的向量为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据向量的模、共线向量、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，A选项正确.
B选项，，所以共线，B选项正确.
C选项，关于轴对称的向量为，C选项正确.
D选项，于平面对称的向量为，D选项错误.
故选：ABC
10. 已知，为空间中不同的两条直线，，为空间中不同的两个平面，下列命题错误的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则和为异面直线
D. 若，，且，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据线面位置关系，逐一检验，可得答案.
【详解】对于A，由，，则或，故A错误；
对于B，由，，，则或与异面，故B错误；
对于C，由，，则无法确定直线与的位置关系，
平行、相交、异面都有可能，故C错误；
对于D，由，，则与一定不相交；
假设与异面，由，，则，，，
由与异面，则与相交，但这与平行公理矛盾，故D正确.
故选：ABC.
11. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且，则以下说法正确的是（ ）

A. 平面B. 与平面所成角为
C. 面D. 点到面的距离为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用线线垂直可判定A项，利用线面角定义可判定B项，利用线线平行可判定C项，利用线面垂直可判定D项.
【详解】由于四边形是边长为2的正方形，故，
又面，面，∴面，故A正确；

连接PO，由A可知：与平面所成角为，由条件可得，
故B正确；
易知面，面，即面，故C正确；
由A可知点到面的距离为，而，故D错误.
故选：ABC
12. 如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A,由线面垂直的判定定理证明平面即可;对于B,根据面面平行的判定定理证明平面平面即可;对于C,根据线面平行将点到平面的距离等于点到平面的距离,再利用等体积法求解即可;对于D,将平面和平面沿直线展开为一个平面,利用余弦定理求解即可判断.
【详解】对于A,连接,如图:

平面,平面,
,
又平面,平面,
平面,
平面,
,
连接,同理可得,
平面,平面,
平面,
平面,
,故A正确;
对于B,连接,如图:

,
四边形为平行四边形,
,
平面,平面,
平面,
同理四边形为平行四边形,
,
平面,平面,
平面,
,平面,平面,
平面平面,
平面,
平面,故B正确;
对于C,如图:

由B知,
平面,平面,
平面,
点到平面的距离等于点到平面的距离,
,故C错误;
对于D,将平面和平面沿直线展开为一个平面,如图:

,
,
,
,
,
即 的最小值为,故D正确.
故选:ABD.
三、填空题.（共20分，每小题5分）
13. 已知二面角的大小为60°，若直线，直线，则异面直线，所成的角是______
【答案】60°
【解析】
【分析】
结合图像，根据二面角的定义，即可得解.
【详解】
如图，，，
作于，于，
作于，则，
所以为二面角的平面角，
则，
所以，
所以所成角为，
则异面直线，所成的角为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了利用空间二面角求异面直线所成角的大小，考查了二面角的定义，同时考查了空间感，属于基础题.
14. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形的序号是______（写出所有符合要求的图形序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据线面平行的判定和性质，以及面面平行的性质即可得解.
【详解】对于①：易知平面MNP平行于正方体右侧平面，
根据面面平行的性质即可得出平行于平面MNP.
对于②：若平行于平面MNP，
因为平面ABD，且平面ABD与平面MNP交线为NQ,
则根据线面平行的性质可得，平行于NQ，
所以，这与矛盾，故该选项错误；
对于③：
由中位线定理可得平行于,
而平行于，所以平行于,平面，平面，
所以平面
对于④：如图，连接，因为为所在棱的中点，则，
故平面即为平面，由正方体可得，
而平面平面，若平面，
由平面可得，故，矛盾，故该选项错误
故答案为：①③.
15. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出的取值范围．
【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，．
，，．
点在线段上运动，
，且．
，
，
∵，∴，即，
故答案为：．
16. 在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据梯形的边长可求出，由几何体翻折过程中体积最大可得平面平面，由面面垂直性质可确定外接球的球心以及半径，即可求得其表面积.
【详解】过点作，垂足为，如图下图所示：

因为为等腰梯形，，，所以，
，可得，
由余弦定理得，即，
易知，所以，
易知，当平面平面时，三棱锥体积最大，如图所示：

此时，平面，易知，，
记为外接球球心，半径为，
由于平面，，因此到平面的距离，
又的外接圆半径，
因此外接球半径，
即可得球表面积为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：在求解几何体外接球问题时，需根据几何体的特征确定球心位置，再利用半径相等构造等量关系解出半径即可.
四、解答题.（共70分）
17. 已知，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）-6
（2）-4
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线的坐标表示，即得解；
（2）利用向量加法和向量垂直的坐标表示，即得解；
【详解】解：（1），
∴，
∴.
（2），
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了向量平行，加法，数量积的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
18. 如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求证：四点共面；
（2）求异面直线所成的角.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，证得，结合确定平面的性质，得到与确定一个平面，即可得证；
（2）连结，证得，得到（或其补角）是异面直线与所成角，在中，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为分别是和的中点，所以且，
又因为且，所以四边形 是平行四边形，所以，
所以，所以与确定一个平面，
所以点，即四点共面．
【小问2详解】
解：连结，在正方体中，平行且等于,
所以四边形为平行四边形，可得，
因此（或其补角）是异面直线与所成的角，
设正方体的棱长为，在中，可得，
所以是等边三角形，可得，
即异面直线与所成的角等于.

19. 如图，平面，为圆O的直径，分别为棱的中点．

（1）证明：平面．
（2）证明：平面平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；
（2）线面垂直与面面垂直的判定定理证明即可.
【小问1详解】
因为分别为棱的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
因为为圆O的直径，所以．
因为平面，平面，所以．
又，平面，所以平面．
由（1）知，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
20. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，平面平面，，分别为，的中点.

（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理得，再利用面面垂直的性质得平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后结合菱形性质及线面垂直的判定定理证明即可；
（2）先通过线面关系及锥体体积求出，再利用等体积法求得点到平面的距离.
【小问1详解】
由题知，，所以，所以.
又因为平面平面，且交线为，平面，所以平面，
又平面，所以，连接，

因为四边形是边长为2的菱形，，所以为等边三角形.
又因为为的中点，所以，
又，平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
设点到平面的距离为，连接，则，
因为，所以，又由（1）知，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以，，
又，，
又由，，，平面，平面，
所以平面，且，，
所以，即，
即点到平面的距离为.
21. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】（Ⅰ）由已知得.
取的中点，连接，由为中点知，.
又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且
.
以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，
，，，，
， ，.
设为平面 的一个法向量，则
即
可取.
于是.
【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．
22. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的中点.

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可证得；根据，和平行关系可证得平面，从而得到；由线面垂直的判定可得平面，根据面面垂直的判定可得结论；
（2）取中点，过作，由线面垂直的判定与性质可证得，根据二面角平面角定义可知所求角为，由长度关系可求得结果.
【小问1详解】
为中点，，即，
又为中点，；
，，，四边形为矩形，
，即，，
，平面，平面，
，平面，又平面，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
【小问2详解】
由（1）知：平面，又平面，，
，，平面，平面；
取中点，过作，垂足为，连接，

分别为中点，，平面，
平面，，
又，，平面，平面，
平面，，
即为二面角的平面角，
，，
又，，