人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第07讲 拓展一：异面直线所成角（2份打包，原卷版+含解析）

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第07讲 拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）一、知识点归纳1、（传统法）核心技巧：平移使相交具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两异面直线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的任意两点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 .二、题型精讲题型01求异面直线所成角（定值）(传统法） 【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（    ）  A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（    ）A．0 B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例3】（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校考阶段练习）正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为______．  【变式1】（2023春·吉林四平·高一校考阶段练习）在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023春·河南郑州·高一河南省新郑市第一中学校考阶段练习）如图， SKIPIF 1 < 0 是半圆柱底面的直径， SKIPIF 1 < 0 是半圆柱的高， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为________．  题型02求异面直线所成角（定值）(向量法）【典例1】（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，则 SKIPIF 1 < 0 ______；异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为______．【变式1】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）如图所示，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是正方形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中心，则 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）如图，圆柱的轴截面为矩形 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在上、下底面圆上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的侧棱与底面边长都相等， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，那么异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值等于________．题型03易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围【典例1】（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 =λ SKIPIF 1 < 0 ，若异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为（    ）  A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，将 SKIPIF 1 < 0 的菱形 SKIPIF 1 < 0 沿对角线 SKIPIF 1 < 0 折起，使得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）在四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值等于（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 题型04求异面直线所成角（最值或范围） 【典例1】（2023·辽宁大连·校考模拟预测）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为 SKIPIF 1 < 0 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的取值范围为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 2， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在上底面 SKIPIF 1 < 0 上，且满足三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积等于1，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值的最小值为_________.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体 SKIPIF 1 < 0 内接于半径为 SKIPIF 1 < 0 的球 SKIPIF 1 < 0 中，在平面 SKIPIF 1 < 0 内有一动点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______；直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的取值范围为______.【变式1】（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，当二面角 SKIPIF 1 < 0 处于 SKIPIF 1 < 0 过程中，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值取值范围是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为底面 SKIPIF 1 < 0 的中心，点 SKIPIF 1 < 0 在侧面  SKIPIF 1 < 0 的边界及其内部移动，若 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的最大值为（ ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式3】（2023·全国·高三专题练习）三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 两两垂直， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内的动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，记直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的所成角的余弦值的取值范围为_____________．题型05已知线线角求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且底面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内运动（不与 SKIPIF 1 < 0 重合），且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且四边形 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .（1）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值；（2）点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角最小时，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.【典例3】（2022·天津·校联考一模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值；(3)点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长.【变式1】（2022秋·辽宁大连·高二育明高中校考期中）已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不含端点），若线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 （不含端点），使得异面直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小为30°，则线段 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围是______.【变式2】（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)在 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为60°？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 点的位置，若不存在，请说明理由．