高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程一课一练

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知识点01：圆的一般方程
对于方程 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数），当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 叫做圆的一般方程.
①当 SKIPIF 1 < 0 时，方程表示以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径的圆；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，方程表示一个点 SKIPIF 1 < 0
③当 SKIPIF 1 < 0 时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：① SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有 SKIPIF 1 < 0 项；③ SKIPIF 1 < 0 .
【即学即练1】（多选）（2022秋·高二课时练习）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】根据二元二次方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆的条件，
对于A中，方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程是圆的一般方程；
对于B中，方程 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程不是圆的一般方程；
对于C中，方程 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的系数不相等，
所以方程不是圆的一般方程；
对于D中，方程 SKIPIF 1 < 0 中，存在 SKIPIF 1 < 0 项，所以方程不是圆的一般方程.
故选：BCD.
知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点
知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点 SKIPIF 1 < 0 和圆的一般式方程 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
则点 SKIPIF 1 < 0 与圆的位置关系：
①点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 外 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
②点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
③点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【即学即练2】（2022·高二课时练习）点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为2
点 SKIPIF 1 < 0 到圆心的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 在圆内．
故答案为：在圆内
题型01圆的一般方程的理解
【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 表示圆，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023·高二课时练习）方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆的充要条件是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2022秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆，则实数 SKIPIF 1 < 0 的可能取值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．0D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
选项中只有 SKIPIF 1 < 0 符合题意.
故选：D.
【变式2】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若 SKIPIF 1 < 0 表示圆，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 表示圆，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，不表示任何图形，故舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，表示以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，符合题意；
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型02求圆的一般方程
【典例1】（2023·高二课时练习）过三点 SKIPIF 1 < 0 的圆的一般方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将A，B，C三点的坐标代入方程，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求的圆的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
【典例2】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，且过点 SKIPIF 1 < 0 的圆；
(2)过三点 SKIPIF 1 < 0 的圆.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题知：
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）设圆的一般方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023·高二课时练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 经过两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则圆 SKIPIF 1 < 0 的一般方程为_______________；若直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是1，则 SKIPIF 1 < 0 的值是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】设圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由条件，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此圆的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故圆心 SKIPIF 1 < 0 ，因此圆心到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知,圆过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【变式2】（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上中线 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上的高 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，求：
(1)顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2) SKIPIF 1 < 0 外接圆的一般方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 边上的高 SKIPIF 1 < 0 所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得： SKIPIF 1 < 0 .
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为点C在直线 SKIPIF 1 < 0 上，所以可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 .
把 SKIPIF 1 < 0 代入直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可设为： SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
题型03圆的一般方程与标准方程转化
【典例1】（2023·高二课时练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．0或2B．0或-2
C．0或 SKIPIF 1 < 0 D．-2或2
【答案】A
【详解】将圆的方程化为标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 .
因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）若点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，则弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ．因为点 SKIPIF 1 < 0 为弦MN的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又AP的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【典例3】（2023秋·高二课时练习）求圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称圆方程.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，
设点P关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称圆的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆 SKIPIF 1 < 0 上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 化为标准方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
所以圆上的点到直线 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:C.
【变式2】（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离的最大值为（ ）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 ,即圆 SKIPIF 1 < 0
圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，得点P到x轴的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
题型04点与圆的位置关系
【典例1】（2023·江苏扬州·高二校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 外一点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因 SKIPIF 1 < 0 在圆外，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 表示圆，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
综上： SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 的外部，则 SKIPIF 1 < 0 的取值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：AC.
【变式1】（2022·高二课时练习）若点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 内一点，则过点 SKIPIF 1 < 0 的最长的弦所在的直线方程是__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 可整理为 SKIPIF 1 < 0 ，所以圆心 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当过点 SKIPIF 1 < 0 的弦经过圆心时，弦长最长，所以过点 SKIPIF 1 < 0 的最长的弦所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·湖北·高二校联考期中）过点 SKIPIF 1 < 0 可作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆，
过点 SKIPIF 1 < 0 可作圆的两条切线，则点 SKIPIF 1 < 0 在圆外，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型05圆过定点问题
【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，则其坐标为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 由得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故填： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·高二课时练习）已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不论 SKIPIF 1 < 0 取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，它表示过圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交点的圆.
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
即定点坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为 SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 恒过定点，则定点坐标为__．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以定点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2013·辽宁大连·高二统考期中）对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以定点为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型06求动点的轨迹方程
【典例1】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点 SKIPIF 1 < 0 与两个定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离的比为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，曲线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴的交点都在圆 SKIPIF 1 < 0 上.
(1)求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上运动，求线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 .
设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入圆 SKIPIF 1 < 0 的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点B为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意，结合中点坐标公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 .
即线段AB中点P的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹方程为__________； SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故动点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，点 SKIPIF 1 < 0 在圆内部，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
题型07与圆有关的最值问题
【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）设 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 是圆的切线，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为（ ）
A．15B．6C．5D．4
【答案】D
【详解】解：由圆的方程 SKIPIF 1 < 0 ，易知圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是圆的切线，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
【典例2】（2023·山东烟台·统考二模）已知实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上一点
又点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 外，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点．则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
故圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 表示圆C上的点M到点 SKIPIF 1 < 0 的距离，
故其最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的平面内有一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由题意，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立平面直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
即点D是在以AC的中点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，半径为1的圆周上，
SKIPIF 1 < 0 ，即是求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
其几何意义为圆周上的一点D到AB的中点 SKIPIF 1 < 0 的距离的平方的最小值，显然当D，E，O共线时DE最小（如上图），即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）直线 SKIPIF 1 < 0 始终平分圆 SKIPIF 1 < 0 的周长，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】解：圆 SKIPIF 1 < 0 化为标准方程： SKIPIF 1 < 0 ，
圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 始终平分圆 SKIPIF 1 < 0 的周长，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型08关于点或直线对称的圆
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）与圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的圆的标准方程是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点坐标为 SKIPIF 1 < 0
则所求圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称圆的标准方程为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此所求圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）如果圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由圆的对称性知，圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上，故有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，则圆 SKIPIF 1 < 0 的方程是__________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径等于1，
设圆心 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 ，
由于对称圆 SKIPIF 1 < 0 的半径与圆 SKIPIF 1 < 0 的半径相等，
故圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
题型09圆的综合问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，设二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)请问圆 SKIPIF 1 < 0 是否经过某定点（其坐标与 SKIPIF 1 < 0 无关）？请证明你的结论.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）；
(3)过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 得抛物线与 SKIPIF 1 < 0 轴交点是 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设所求圆的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 的图象与两坐标轴的三个交点即为圆 SKIPIF 1 < 0 和坐标轴的交点，
令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得，这与 SKIPIF 1 < 0 是同一个方程，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得，此方程有一个根为 SKIPIF 1 < 0 ，代入此方程得出 SKIPIF 1 < 0 ，
∴圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）．
（3）把圆 SKIPIF 1 < 0 的方程改写为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故圆 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知经过圆 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程；
（2）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过 SKIPIF 1 < 0 作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0
①求证：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点.
②当点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 时，求三角形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆方程.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 .（2）①证明见解析；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）①设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）的结论的AP直线方程： SKIPIF 1 < 0 ，BP直线方程： SKIPIF 1 < 0 ，
通过点 SKIPIF 1 < 0 ，∴有 SKIPIF 1 < 0 ， ∴A，B满足方程： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线AB恒过点： SKIPIF 1 < 0 ，即直线AB恒过点 SKIPIF 1 < 0 .
②已知点 SKIPIF 1 < 0 到直线AB的距离为 SKIPIF 1 < 0 . ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 ，直线AB的方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ，代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的外接圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的外接圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由对称性可知，三角形PAB的外接圆方程为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，设二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）若 SKIPIF 1 < 0 ，求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（Ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 取所允许的不同的实数值时（ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ），圆 SKIPIF 1 < 0 是否经过某定点（其坐标与 SKIPIF 1 < 0 无关）？请证明你的结论．
【答案】（Ⅰ） SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0
【详解】（Ⅰ）设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 是同一方程，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 有一根为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
转化为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故圆 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知圆C经过 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)如果AB是圆C的直径，证明：无论 SKIPIF 1 < 0 取何正实数，圆 SKIPIF 1 < 0 恒经过除 SKIPIF 1 < 0 外的另一个定点，求出这个定点坐标．
(2)已知点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 也在圆 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴分别交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，当圆 SKIPIF 1 < 0 的面积最小时，试求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1)证明见解析，定点为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，
因为AB是圆C的直径，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等式恒成立，故定点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 也在圆C上，
所以点C在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
又圆C的面积最小，所以圆C是以 SKIPIF 1 < 0 直径的圆，
设过点A与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由方程组 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所以圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知直线l斜率存在且不为零，设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
（当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号）
则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
题型10圆的实际应用
【典例1】（2022·高二课时练习）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度 SKIPIF 1 < 0 米，拱高 SKIPIF 1 < 0 米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，求与 SKIPIF 1 < 0 相距30米的支柱 SKIPIF 1 < 0 的高度.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （米）
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的直角坐标系
根据题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，圆拱所在圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则
因为 SKIPIF 1 < 0 在圆拱所在圆的方程上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
即圆拱所在的圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入圆方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以与OP相距30米的支柱MN的高度为 SKIPIF 1 < 0 （米）.
【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考阶段练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，行车道总宽度 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，侧墙高 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，弧顶高 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；
（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为 SKIPIF 1 < 0 ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）由题意，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 所求圆的圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上， SKIPIF 1 < 0 设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在圆上，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 圆的标准方程是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设限高为 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，交圆弧于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
将点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标 SKIPIF 1 < 0 代入圆的方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.
SKIPIF 1 < 0 .
故车辆通过隧道的限制高度为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，圆拱的最高点 SKIPIF 1 < 0 离水面 SKIPIF 1 < 0 的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，桥面 SKIPIF 1 < 0 离水面 SKIPIF 1 < 0 的高度为 SKIPIF 1 < 0 .

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求桥面在圆拱内部分 SKIPIF 1 < 0 的长度.（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】(1)建系见解析，圆拱方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(2)桥面在圆拱内部分 SKIPIF 1 < 0 的长度约为367.4m
【详解】（1）设圆拱所在圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 方向为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，
SKIPIF 1 < 0 中垂线向上为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.

设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 点，连接 SKIPIF 1 < 0
设圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆拱方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以桥面在圆拱内部分 SKIPIF 1 < 0 的长度约为367.4m
【变式2】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱 SKIPIF 1 < 0 高为8，灯杆 SKIPIF 1 < 0 是半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆 SKIPIF 1 < 0 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶 SKIPIF 1 < 0 到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设 SKIPIF 1 < 0 为圆心 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 连线与路面的交点．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，点 SKIPIF 1 < 0 恰好在路面中线上？
（2）记圆心 SKIPIF 1 < 0 在路面上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，且H在线段 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）以O为原点，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，点Q恰好在路面中线上．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，灯罩轴线所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，灯罩轴线所在方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵H在线段 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时取等号．
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆 SKIPIF 1 < 0 平分的直线是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 不过圆心，所以A错误，
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 不过圆心，所以B错误，
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过圆心，所以C正确，
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 不过圆心，所以D错误，
故选：C
2．（2023秋·高二课时练习）若圆 SKIPIF 1 < 0 关于直线l的对称图形为圆 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的方程为（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 .
由题意知，直线l是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线.
线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线l的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 及半径 SKIPIF 1 < 0 分别为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程 SKIPIF 1 < 0 表示一个圆的充要条件是（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】关于x、y的方程 SKIPIF 1 < 0 表示一个圆的充要条件是
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．16B．12C．8D．6
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知A，B为圆 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点，P为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹方程为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ,半径 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点,所以 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0
故选：B
7．（2023秋·高一单元测试）已知点P为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，M，N分别为圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】B
【详解】解：圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的圆心分别为： SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 的最小值，
设 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示：

当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外接圆上一点，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．14
【答案】C
【详解】解：设所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的三个顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆的一般方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
其圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为5，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的外接圆相离，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0 .
二、多选题
9．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示一个圆，则实数 SKIPIF 1 < 0 可能的取值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】因为方程表示一个圆，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BC.
三、填空题
10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，与坐标轴交于 SKIPIF 1 < 0 三点，则过四点 SKIPIF 1 < 0 中的三点的一个圆的标准方程为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 0，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；抛物线的顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
设所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
当圆过 SKIPIF 1 < 0 三点时， SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
当圆过 SKIPIF 1 < 0 三点时， SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
当圆过 SKIPIF 1 < 0 三点时， SKIPIF 1 < 0 ,
所以圆的程为 SKIPIF 1 < 0 .
当圆过 SKIPIF 1 < 0 三点时， SKIPIF 1 < 0 ,
当圆过 SKIPIF 1 < 0 三点方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
11．（2023·全国·高三专题练习）直角坐标平面 SKIPIF 1 < 0 中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹方程是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
因此点P的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
12．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在圆E上，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或5；
(2)[ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ]．
【详解】（1）设过A、B、C的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0
得圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
将点D的坐标代入上述所得圆的方程，
得 SKIPIF 1 < 0 解得a＝1或5；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 在圆E： SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0
其几何意义为圆E上的点到 SKIPIF 1 < 0 距离的平方减1．
如图： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围是[ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ]．
13．（2023秋·河北沧州·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上的中线所在直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上的高线为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 坐标；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的外接圆方程．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题得直线OB的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 三点得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的外接圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
B能力提升
1．（2023秋·高一单元测试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为定值 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，若点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 __．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 .
此方程与 SKIPIF 1 < 0 为同一方程，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当P、B、C三点共线时等号成立）
此时 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x，y的二元二次方程 SKIPIF 1 < 0 ，当t为________时，方程表示的圆的半径最大．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆的半径为r，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆 SKIPIF 1 < 0 及点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 在圆上，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长及直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率；
（2）若M为圆C上的任一点，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 在圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为圆心C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又圆的半径是 SKIPIF 1 < 0 ，所以点Q在圆外，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
C综合素养
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体 SKIPIF 1 < 0 的一个侧面 SKIPIF 1 < 0 上运动，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图2所示，
设阿氏圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为r.因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球.
当点P在侧面 SKIPIF 1 < 0 内部时，如图2所示，截面圆与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交于点M，R，
所以点P在侧面 SKIPIF 1 < 0 内的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
因为在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点P在侧面 SKIPIF 1 < 0 内部的轨迹长为 SKIPIF 1 < 0 .

故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点P是直线 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为 SKIPIF 1 < 0 时，求点P的坐标；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2）圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，AB有最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由题可知，圆M的半径 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为PA是圆M的一条切线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆过定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（3）因为圆N方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ①
又圆 SKIPIF 1 < 0 ②
①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 到直线AB的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以相交弦长 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，AB有最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆为圆 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上运动时，圆 SKIPIF 1 < 0 是否过定点（异于原点 SKIPIF 1 < 0 ）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2）是过定点， SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的外接圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），∴圆 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
学习目标
①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。
②能准确的判定圆的存在所满足的条件。
③会判断点与圆的位置关系。
④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。
通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题.
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
圆心
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
半径
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0