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人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优秀课堂检测
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线优秀课堂检测，文件包含321双曲线及其标准方程解析版docx、321双曲线及其标准方程原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共87页， 欢迎下载使用。
3．2．1 双曲线及其标准方程
【知识点梳理】
知识点一、双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
知识点诠释：
1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二、双曲线的标准方程
标准方程的推导：
如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．
（1）建系设点
取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴
（2）建立直角坐标系．
设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数．
（2）点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
．
（3）代数方程
∵，
∴
（4）化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
化简得：
两边再平方，整理得：
（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．）
由双曲线定义，即c＞a，所以．
设，代入上式得：
即，其中
这就是双曲线的标准方程．
双曲线的标准方程：
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆
双曲线
根据
根据
，
，
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
标准方程统一为：
方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线．
当，时，双曲线的焦点在x轴上；
当，时，双曲线的焦点在y轴上．
知识点诠释：
1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．
2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．
3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点三、求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．
知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．
【方法技巧与总结】
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出；
②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出的值；
④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积.
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线方程的充要条件
题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
题型五：双曲线上两点距离的最值问题
题型六：双曲线上两线段的和差最值问题
题型七：求轨迹方程
【典型例题】
题型一：双曲线的定义
例1．（2022·全国·高二课时练习）若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.
例2．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））若点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，，则（ ）．
A．5 B．13 C．5或13 D．1或5
例3．（2022·四川乐山·高二期末（文））已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（ ）
A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定
例4．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））方程化简的结果是（ ）
A． B．
C．， D．，
例5．（2022·全国·高二课时练习）如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．
例6．（2022·江苏·高二专题练习）在中，，，点C在双曲线上，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：双曲线的标准方程
例7．（2022·全国·高二专题练习）等轴双曲线的一个焦点为，则它的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高二期中）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
例10．（2022·安徽·六安外国语高级中学有限公司高二期末）已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
例11．（2022·全国·高二课时练习）若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2022·全国·高二课时练习）双曲线过点，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点、坐标分别为、，则该双曲线的标准方程为______．
例14．（2022·全国·高二课时练习）（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为_____．
（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为_____．
（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为_____．
题型三：双曲线方程的充要条件
例15．（2022·广东广州·高二期末）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则C是两条直线，都平行于y轴
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是椭圆．其焦点在轴上
D．若，则C是双曲线，渐近线方程为
例16．（2022·北京市第五十七中学高二期末）已知曲线C：，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则C是圆，其半径是
D．若，则C是两条直线
例17．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例18．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
例19．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．或5
题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例20．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
例21．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（ ）．
A． B． C． D．
例22．（2022·湖南·长沙市明德中学高二阶段练习）已知双曲线的左，右焦点为，P为双曲线右支上的一点，，I是的内心，则下列结论错误的是（ ）
A．是直角三角形 B．点I的横坐标为1
C． D．的内切圆的面积为
例23．（2022·陕西省安康中学高二期末（文））设双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例24．（2022·江苏·高二单元测试）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．30
例25．（2022·江苏·高二单元测试）已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为的中点，则的外接圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
例26．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·全国·高二课时练习）双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（ ）．
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
题型五：双曲线上两点距离的最值问题
例28．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
例29．（2022·安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理））已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2022·北京八中高二期中）已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，则|PA|的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
例31．（2022·全国·高二课时练习）若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.
例32．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知定点，且，动点满足，则的最小值是___________.
题型六：双曲线上两线段的和差最值问题
例33．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值．
例34．（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．14
例35．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
例36．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．14
例37．（2022·全国·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
例38．（2022·全国·高二专题练习）过双曲线的右支上一点分别向圆和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
例39．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二开学考试）已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例40．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________.
例41．（2022·江西·临川一中高二阶段练习（理））已知、分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于、，两点(其中点在第一象限)，设点、分别为、的内心，则的取值范围是____________．
题型七：求轨迹方程
例42．（2022·全国·高二课时练习）在矩形中，，AB＝6，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P的坐标满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例43．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例44．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知圆，点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例45．（2022·北京市第十九中学高二期末）设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A． B．
C． D．
例46．（多选题）（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2为正常数，满足r1+r2＜4或r1+r2＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
例47．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．
例48．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为______．
例49．（2022·全国·高二课时练习）我国边防局接到情报，在两个暗礁、所在直线的一侧处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在码头处，线段布满暗礁，已知，，，且．建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线或的路程相等的点的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形．
例50．（2022·江苏·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）关于，的方程（其中）表示的曲线可能是（ ）
A．圆心为非坐标原点的圆 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆
2．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知A，B分别为双曲线的左，右顶点，点P是C上的任意一点，是底角为30°的等腰三角形，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·浙江大学附属中学高二期中）设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）设是圆上一动点，点的坐标为，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川广元·高二期末（理））三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题．如图，在圆D中，为其一条弦，，C，O是弦的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．设双曲线T与弧的交点为E，则．若T的方程为，则圆D的半径为（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（2022·山西太原·高二期末）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（ ）
A．4 B．4或6 C．3 D．3或7
7．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））若以双曲线的左焦点为圆心，以左焦点到右顶点的距离为半径的圆的方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·江苏·高二单元测试）设 为实数，方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．若此方程表示圆，则圆的半径是
B．若此方程表示双曲线，则 的取值范围是
C．若此方程表示焦点在 轴上的双曲线，则 的取值范围是
D．若此方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是
10．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知平面内两个定点，直线相交于点，且它们的斜率之积为常数，设点的轨迹为.下列说法中正确的有（ ）
A．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值
B．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值
C．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值
D．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值
11．（2022·江苏·高二单元测试）（多选）已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
12．（2022·全国·高二单元测试）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则的方程为
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）经过点，的双曲线的方程是______.
14．（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为___________.
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，OA是双曲线的实半轴，OB是双曲线的虚半轴，F为双曲线的一个焦点，且，，则该双曲线的方程为______．
16．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．
四、解答题
17．（2022·全国·高二课前预习）已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求点的坐标．
18．（2022·山东省滕州市第五中学高二阶段练习）中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、且，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6，离心率之比为1:4．
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若点P是椭圆和双曲线的一个交点，求．
19．（2022·全国·高二课时练习）相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.
20．（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
21．（2022·全国·高二课时练习）在①左顶点为，②双曲线过点，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且______．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点P在双曲线上，且，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．2．1 双曲线及其标准方程
【知识点梳理】
知识点一、双曲线的定义
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
知识点诠释：
1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二、双曲线的标准方程
标准方程的推导：
如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．
（1）建系设点
取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴
（2）建立直角坐标系．
设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数．
（2）点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
．
（3）代数方程
∵，
∴
（4）化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
化简得：
两边再平方，整理得：
（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．）
由双曲线定义，即c＞a，所以．
设，代入上式得：
即，其中
这就是双曲线的标准方程．
双曲线的标准方程：
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
椭圆、双曲线的区别和联系：
椭圆
双曲线
根据
根据
，
，
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）
（a最大）
（c最大）
标准方程统一为：
方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线．
当，时，双曲线的焦点在x轴上；
当，时，双曲线的焦点在y轴上．
知识点诠释：
1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．
2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．
3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
知识点三、求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．
知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．
【方法技巧与总结】
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出；
②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出的值；
④利用公式求得面积。
（2）利用公式求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积.
【题型归纳目录】
题型一：双曲线的定义
题型二：双曲线的标准方程
题型三：双曲线方程的充要条件
题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
题型五：双曲线上两点距离的最值问题
题型六：双曲线上两线段的和差最值问题
题型七：求轨迹方程
【典型例题】
题型一：双曲线的定义
例1．（2022·全国·高二课时练习）若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为______.
例2．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））若点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，，则（ ）．
A．5 B．13 C．5或13 D．1或5
例3．（2022·四川乐山·高二期末（文））已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（ ）
A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定
例4．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））方程化简的结果是（ ）
A． B．
C．， D．，
例5．（2022·全国·高二课时练习）如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．
例6．（2022·江苏·高二专题练习）在中，，，点C在双曲线上，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：双曲线的标准方程
例7．（2022·全国·高二专题练习）等轴双曲线的一个焦点为，则它的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
例9．（2022·黑龙江·鸡西实验中学高二期中）已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
例10．（2022·安徽·六安外国语高级中学有限公司高二期末）已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
例11．（2022·全国·高二课时练习）若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2022·全国·高二课时练习）双曲线过点，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
例13．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点、坐标分别为、，则该双曲线的标准方程为______．
例14．（2022·全国·高二课时练习）（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为_____．
（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为_____．
（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为_____．
题型三：双曲线方程的充要条件
例15．（2022·广东广州·高二期末）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则C是两条直线，都平行于y轴
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是椭圆．其焦点在轴上
D．若，则C是双曲线，渐近线方程为
例16．（2022·北京市第五十七中学高二期末）已知曲线C：，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则C是圆，其半径是
D．若，则C是两条直线
例17．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例18．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5
例19．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．或5
题型四：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例20．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
例21．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（ ）．
A． B． C． D．
例22．（2022·湖南·长沙市明德中学高二阶段练习）已知双曲线的左，右焦点为，P为双曲线右支上的一点，，I是的内心，则下列结论错误的是（ ）
A．是直角三角形 B．点I的横坐标为1
C． D．的内切圆的面积为
例23．（2022·陕西省安康中学高二期末（文））设双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线左支的一个交点为若以为直径的圆与直线相切，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例24．（2022·江苏·高二单元测试）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．30
例25．（2022·江苏·高二单元测试）已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为的中点，则的外接圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
例26．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
例27．（2022·全国·高二课时练习）双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（ ）．
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
题型五：双曲线上两点距离的最值问题
例28．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
例29．（2022·安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理））已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若内切圆圆心为，则圆心到圆上任意一点的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2022·北京八中高二期中）已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足||PA|﹣|PB||＝3，则|PA|的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
例31．（2022·全国·高二课时练习）若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.
例32．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知定点，且，动点满足，则的最小值是___________.
题型六：双曲线上两线段的和差最值问题
例33．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，求的最小值．
例34．（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．14
例35．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
例36．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．14
例37．（2022·全国·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
例38．（2022·全国·高二专题练习）过双曲线的右支上一点分别向圆和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
例39．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二开学考试）已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例40．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________.
例41．（2022·江西·临川一中高二阶段练习（理））已知、分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于、，两点(其中点在第一象限)，设点、分别为、的内心，则的取值范围是____________．
题型七：求轨迹方程
例42．（2022·全国·高二课时练习）在矩形中，，AB＝6，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P的坐标满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例43．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例44．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知圆，点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
例45．（2022·北京市第十九中学高二期末）设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A． B．
C． D．
例46．（多选题）（2022·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，有两个圆C1：（x+2）2+y2＝r12和C2：（x﹣2）2+y2＝r22，其中r1，r2为正常数，满足r1+r2＜4或r1+r2＞4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是（ ）
A．两个椭圆 B．两个双曲线
C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线
例47．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．
例48．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为______．
例49．（2022·全国·高二课时练习）我国边防局接到情报，在两个暗礁、所在直线的一侧处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在码头处，线段布满暗礁，已知，，，且．建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线或的路程相等的点的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形．
例50．（2022·江苏·高二课时练习）求下列动圆的圆心的轨迹方程：
(1)与圆和圆都内切；
(2)与圆内切，且与圆外切．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高二开学考试）关于，的方程（其中）表示的曲线可能是（ ）
A．圆心为非坐标原点的圆 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆
2．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）已知A，B分别为双曲线的左，右顶点，点P是C上的任意一点，是底角为30°的等腰三角形，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·浙江大学附属中学高二期中）设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）设是圆上一动点，点的坐标为，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川广元·高二期末（理））三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题．如图，在圆D中，为其一条弦，，C，O是弦的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．设双曲线T与弧的交点为E，则．若T的方程为，则圆D的半径为（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（2022·山西太原·高二期末）已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（ ）
A．4 B．4或6 C．3 D．3或7
7．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））若以双曲线的左焦点为圆心，以左焦点到右顶点的距离为半径的圆的方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·江苏·高二单元测试）设 为实数，方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．若此方程表示圆，则圆的半径是
B．若此方程表示双曲线，则 的取值范围是
C．若此方程表示焦点在 轴上的双曲线，则 的取值范围是
D．若此方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是
10．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知平面内两个定点，直线相交于点，且它们的斜率之积为常数，设点的轨迹为.下列说法中正确的有（ ）
A．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值
B．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值
C．存在常数，使上所有的点到两点的距离之和为定值
D．存在常数，使上所有的点到两点的距离之差的绝对值为定值
11．（2022·江苏·高二单元测试）（多选）已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
12．（2022·全国·高二单元测试）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则的方程为
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）经过点，的双曲线的方程是______.
14．（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线过三点，，中的两点，则的方程为___________.
15．（2022·全国·高二课时练习）如图，OA是双曲线的实半轴，OB是双曲线的虚半轴，F为双曲线的一个焦点，且，，则该双曲线的方程为______．
16．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．
四、解答题
17．（2022·全国·高二课前预习）已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求点的坐标．
18．（2022·山东省滕州市第五中学高二阶段练习）中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、且，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6，离心率之比为1:4．
(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若点P是椭圆和双曲线的一个交点，求．
19．（2022·全国·高二课时练习）相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.
20．（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如图所示，A，B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过点O的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足接收到点A的信号比接收到点B的信号晚一秒（注：信号每秒传播米）．在时，测得机器鼠距离点O为4米.
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，求时机器鼠所在位置的坐标；
(2)游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动:时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？
21．（2022·全国·高二课时练习）在①左顶点为，②双曲线过点，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且______．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点P在双曲线上，且，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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